1樓：che葉
準確的來說三重積分指的是立體的質量，即當積分函式為1時，其密度均勻分佈，則質量等於體積
當積分函式不為1時，則代表密度不是均勻分佈，這時，你就需要進行積分，其函式本身看作一個土豆塊的點密度，dv則是一個個無限小土豆塊。
當然三重積分計算出來是四維的，無法表示
2樓：匿名使用者
沒錯，二重積分求的是曲頂柱體的體積。但是 三重積分的dxdydz本身就是體積元，對體積元的積分當然是體積。所以三重積分可以求體積
迷茫了 高數，二重積分求體積，三重積分也是求體積
3樓：桐碧蓉龔罡
二重積分是求體積，三重積分是求以被積函式為密度函式，積分空間為體積的質量。說簡單點就是二重積分求體積，三重積分求質量。
4樓：睢舒雲呂季
這麼說吧
定積分可以求面積,二重積分也可以求面積,
這個理解吧
道理是一樣的
但是不能把積分僅僅理解為求面積或求體積
求面積或求體積只是積分的幾何應用
對三重積分,只當被積函式=1時是求體積
對一般的被積函式,比如可以理解為求非均勻密度的空間物體的質量
5樓：完顏安珊龔琲
三重積分可以化為兩重，兩重也可以化為一重，積分的本質都是一樣的，無論哪個，高數的題多做點，自然就不會混淆了
再看看別人怎麼說的。
6樓：仵曼妮甕司
最好從代數的觀念來看定積分，
1：二重積分求體積沒有問題。也可以求曲面的質量；關鍵是變數個數
2：三重積分的積分變數是三個，二重積分是兩個！
定積分與二重積分，三重積分的區別與聯絡是什麼，急，**等 20
7樓：阿樓愛吃肉
定積分與二重積分、三重積分有3點不同
：一、三者的概述不同：
1、定積分的概述：定積分是積分的一種，是函式f(x)在區間[a,b]上積分和的極限。
2、二重積分的概述：二重積分是二元函式在空間上的積分，同定積分類似，是某種特定形式的和的極限。本質是求曲頂柱體體積。
重積分有著廣泛的應用，可以用來計算曲面的面積，平面薄片重心等。
3、三重積分的概述：設三元函式f(x,y,z)在區域ω上具有一階連續偏導數，將ω任意分割為n個小區域，每個小區域的直徑記為rᵢ（i=1,2,...,n）。
體積記為δδᵢ，||t||=max，在每個小區域內取點f(ξᵢ，ηᵢ，ζᵢ)，作和式σf(ξᵢ，ηᵢ，ζᵢ)δδᵢ，若該和式當||t||→0時的極限存在且唯一(即與ω的分割和點的選取無關)；
則稱該極限為函式f(x,y,z)在區域ω上的三重積分，記為∫∫∫f(x,y,z)dv，其中dv=dxdydz。
二、三者的幾何意義不同：
1、定積分的幾何意義：表示平面圖形的面積。
2、二重積分的幾何意義：表示曲頂柱體體積。
3、三重積分的幾何意義：表示立體的質量。
三、三者的注意事項不同：
1、定積分的注意事項：一個函式，可以存在不定積分，而不存在定積分；也可以存在定積分，而不存在不定積分。一個連續函式，一定存在定積分和不定積分；若只有有限個間斷點，則定積分存在；若有跳躍間斷點，則原函式一定不存在，即不定積分一定不存在。
2、二重積分的注意事項：平面區域的二重積分可以推廣為在高維空間中的（有向）曲面上進行積分，稱為曲面積分。
3、三重積分的注意事項：當積分函式為1時，就是其密度分佈均勻且為1，質量就等於其體積值。當積分函式不為1時，說明密度分佈不均勻。
定積分與二重積分、三重積分均是高等數學中重要內容，其中，定積分是學習二重積分、三重積分的基礎。
8樓：高數線代程式設計狂
問題很抽象。
從變數維度區分：
一般的定積分指的一元函式積分；二重積分是二元函式的積分，三重積分是三元函式的積分。
從幾何意義來說：
一般定積分是求面積；二重積分求曲頂柱體體積，三重積分求空間封閉區域體積
9樓：她鄉的**
從應用上來說，定積分用來算曲邊梯形面積；二重積分可以算空間旋轉體的面積於體積，我覺得二重積分其實是針對旋轉體的，因為空間體是三維的，需要xyz三個座標表示，但是旋轉體的特性便是根據xy平面上的旋轉面的資料就可以推算旋轉體的體積於面積，所以就有了二重積分。比如由直角三角形繞直角邊旋轉一週得到圓錐體的體積面積計算；三重積分就是來算二重積分無法計算的非旋轉體的體積。比如三菱錐。
高等數學，三重積分，不是說二重積分求得的是體積嗎？這裡為什麼用三重積分求體積
10樓：匿名使用者
沒錯，二重積分求的是曲頂柱體的體積。但是 三重積分的dxdydz本身就是體積元，對體積元的積分當然是體積。所以三重積分可以求體積
一重積分求的是長度，二重積分求的是面積，三重積分求的是體積。這樣說有道理嗎？那曲面積分又是什麼呢？
11樓：匿名使用者
一重積分求的是面積，二重積分求的是體積，三重積分求的是質量。曲面積分可以說時求曲面的質量(有個面密度)
簡述定積分,二重,三重積分的聯絡
12樓：匿名使用者
我把我以前答過的那篇文章拿出來了。
一重積分(定積分)：只有一個自變數y = f(x)
當被積函式為1時，就是直線的長度(自由度較大)
∫(a→b) dx = l(直線長度)
被積函式不為1時，就是圖形的面積(規則)
∫(a→b) f(x) dx = a(平面面積)
另外，定積分也可以求規則的旋轉體體積，分別是
盤旋法(disc method)：v = π∫(a→b) f²(x) dx
圓殼法(shell method)：v = 2π∫(a→b) xf(x) dx
計算方法有換元積分法，極座標法等，定積分接觸得多，不詳說了
∫(α→β) (1/2)[a(θ)]² dθ = a(極座標下的平面面積)
二重積分：有兩個自變數z = f(x，y)
當被積函式為1時，就是面積(自由度較大)
∫(a→b) ∫(c→d) dxdy = a(平面面積)
當被積函式不為1時，就是圖形的體積(規則)、和旋轉體體積
∫(a→b) ∫(c→d) dxdy = v(旋轉體體積)
計算方法有直角座標法、極座標法、雅可比換元法等
極座標變換：{ x = rcosθ
{ y = rsinθ
{ α ≤ θ ≤ β、最大範圍：0 ≤ θ ≤ 2π
∫(α→β) ∫(h→k) f(rcosθ，rsinθ) r drdθ
三重積分：有三個自變數u = f(x，y，z)
被積函式為1時，就是體積、旋轉體體積(自由度最大)
∫(a→b) ∫(c→d) ∫(e→f) dxdydz = v(旋轉體體積)
當被積函式不為1時，就沒有幾何意義了，有物理意義等
計算方法有直角座標法、柱座標切片法、柱座標投影法、球面座標法、雅可比換元法等
極座標變化(柱座標)：{ x = rcosθ
{ y = rsinθ
{ z = z
{ h ≤ r ≤ k
{ α ≤ θ ≤ β、最大範圍：0 ≤ θ ≤ 2π
∫(α→β) ∫(h→k) ∫(z₁→z₂) f(rcosθ，rsinθ，z) r dzdrdθ
極座標變化(球座標)：{ x = rsinφcosθ
{ y = rsinφsinθ
{ z = rcosφ
{ h ≤ r ≤ k
{ a ≤ φ ≤ b、最大範圍：0 ≤ φ ≤ π
{ α ≤ θ ≤ β、最大範圍：0 ≤ θ ≤ 2π
∫(α→β) ∫(a→b) ∫(h→k) f(rsinφcosθ，rsinφsinθ，rcosφ) r²sin²φ drdφdθ
所以越上一級，能求得的空間範圍也越自由，越廣泛，但也越複雜，越棘手，而
且限制比上面兩個都少，對空間想象力提高了。
重積分能化為幾次定積分，每個定積分能控制不同的伸展方向。
又比如說，在a ≤ x ≤ b裡由f(x)和g(x)圍成的面積，其中f(x) > g(x)
用定積分求的面積公式是∫(a→b) [f(x) - g(x)] dx
但是升級的二重積分，面積公式就是∫(a→b) dx ∫(g(x)→f(x)) dx、被積函式變為1了
用不同積分層次計算由z = x² + y²、z = a²圍成的體積？
一重積分(定積分)：向zox面投影，得z = x²、令z = a² --> x = ± a、採用圓殼法
v = 2πrh = 2π∫(0→a) xz dx = 2π∫(0→a) x³ dx = 2π • (1/4)[ x⁴ ] |(0→a) = πa⁴/2
二重積分：高為a、將z = x² + y²向xoy面投影得x² + y² = a²
所以就是求∫∫(d) (x² + y²) dxdy、其中d是x² + y² = a²
v = ∫∫(d) (x² + y²) dxdy = ∫(0→2π) dθ ∫(0→a) r³ dr、這步你會發覺步驟跟一重定積分一樣的
= 2π • (1/4)[ r⁴ ] |(0→a) = πa⁴/2
三重積分：旋轉體體積，被積函式是1，直接求可以了
柱座標切片法：dz：x² + y² = z
v = ∫∫∫(ω) dxdydz
= ∫(0→a²) dz ∫∫dz dxdy
= ∫(0→a²) πz dz
= π • [ z²/2 ] |(0→a²)
= πa⁴/2
柱座標投影法：dxy：x² + y² = a²
v = ∫∫∫(ω) dxdydz
= ∫(0→2π) dθ ∫(0→a) r dr ∫(r²→a²) dz
= 2π • ∫(0→a) r • (a² - r²) dr
= 2π • [ a²r²/2 - (1/4)r⁴ ] |(0→a)
= 2π • [ a⁴/2 - (1/4)a⁴ ]
= πa⁴/2
三重積分求體積時能用的方法較多，就是所說的高自由度。
既然都說了這麼多，再說一點吧：
如果再學下去的話，你會發現求(平面)面積、體積 比 求(曲面)面積的公式容易
學完求體積的公式，就會有求曲面的公式
就是「曲線積分」和「曲面積分」，又分「第一類」和「第二類」
當被積函式為1時，第一類曲線積分就是求弧線的長度，對比定積分只能求直線長度
∫(c) ds = l(曲線長度)
被積函式不為1時，就是求以弧線為底線的曲面的面積
∫(c) f(x，y) ds = a(曲面面積)
當被積函式為1時，第一類曲面積分就是求曲面的面積，對比二重積分只能求平面面積
∫∫(σ) ds = a(曲面面積)、自由度比第一類曲線積分大
∫∫(σ) f(x，y，z) ds，物理應用、例如曲面的質量、重心、轉動慣量、流速場流過曲面的流量等
而第二類曲線積分/第二類曲面積分以物理應用為主要，而且是有"方向性"的，涉及向量範圍了。
13樓：安柏林
簡單點說就是緯度的問題。定積分是求線下面積著你應該瞭解了，二重積分就是求體積，這個就不是求導了，而是求偏導數了。三重積分我也沒搞明白，就只在證明球體表面積時候用到過。
希望可以幫到你，望採納謝謝
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