1樓：匿名使用者
不知道你具體要什麼，就給你這個吧做參考
完全平方數
知識要點：
如果n是一個整數，那麼n2就叫做完全平方數。
性質：（1） 任何完全平方數的個位數字只能是：0、1、4、5、6、9中的一個，即個位數字是2、3、7、8的整數肯定不是完全平方數。
（2） 偶數的平方必能被4整除。
（3） 任何奇數的平方被8除餘1。
（4） 末位數字是5的平方數的十位數字和百位數字均是偶數。如25、225、625。
（5） 若a、b都是平方數，且a=bc，則c也是完全平方數。
例100=4×25 102=4×52 4=22
（6） 設a是平方數，p是質數，若p∣a，那麼p2∣a。例3∣36，那麼32∣36。
（7） 完全平方數有基數個不同是約數。
例 25的約數有1、5、25 3個
36的約數有1、2、3、4、6、9、12、18、36 9個
49的約數有1、7、49 3個
（8） 形如3k+2、4k+2、4k+3、5k+2、5k+3、8k+2、8k+3、8k+5、8k+6、8k+7、9k+2、
9k+3、9k+5、9k+6、9k+8的數不是完全平方數。
（9） 算術基本定理：
對於任一整數n>1，可以分解成 （k≤1，p11），如果它的標準分解式為 ，那麼它的約數個數為(1+a1)(1+a2)……（1+an）。
例120=22×3×10，約數為(1+2)(1+1)(1+1)=12個。
例1. 證明：形如3n+2的數不是完全平方平方數。
解題思路：整數被3除，只有三種可能，即3k、3k+1、3k+2，因此，只需證明任何整數平方後都不可能是3n+2的形即可。
證明：∵整數被3除，只有三種可能性，即餘數為0、1、2
可以表示為3k、3k+1、3k+2
∵(3k)2=9k2=3(3k2)
(3k+1)2=9k2+6k+1=3(3k2+2k)+1
(3k+2)2=9k2+12k+4=9k2+12k+3+1=3(3k2+4k+1)+1
即被3除的任何整數平方後，只能是3n或3n+1的形式
∴形如3n+2的數不可能是完全平方數。
例2. 求證：⑴奇數的平方被8除餘1
⑵偶數的平方數一定是4的倍數
證明：⑴∵任何奇數都可以表示為2k+1的形式
∴(2k+1)2=4k2+4k+1=4k(k+1)+1
又∵4∣4，且2∣k(k+1)
∴8∣4k(k+1)
即任何奇數的平方被8除餘1。
⑵任何偶數都可以表示成2k的形式
∵(2k)2=4k2
∵4∣4k2
∴任何偶數的平方都被4整除。
例3. 在下列括號中填入適當的正整數。
5=( )2-( )2 7=( )2-( )2 9=( )2-( )2 11=( )2-( )2
從以上填空中，你發現了什麼規律？請用等式表現出來。
解：5=32-22 7=42-32 9=52-42 11=62-52
…… …… (2n+1)=(n+1)2 -n2
例4. 試證：完全平方數個位數字是奇數時，其十位上的數字必為偶數。
證明：當奇數是一位數時，其完全平方數的十位數字是偶數
如32=9 52=25 72=49 92=81 (32=9 9的十位數字是0，0是偶數)
如果這個奇數是多位數，設個位數字為b，十位數以上為a
則該奇數可以寫成10a+b，其中a是正整數，b為奇數
∵(10a+b)2=100a2+20ab+b2
其中b2的十位數字是偶數，20ab也是偶數
故(10a+b)2的十位數字是偶數
即完全平方數個位數字是奇數時，其十位上的數字必為偶數。
例5. 試證：一個整數的平方，個位數字是6時，十位數字必為奇數。
證明：設完全平方數n的個位數字為6
那麼n=a2，a的個位數字必為4或6
當a=10k+4時 n=a2=(10k+4)2=100k2+80k+16=10(10k2+8k+1)+6
當a=10k+6時 n=a2=(10k+6)2=100k2+120k+36=10(10k2+12k+3)+6
n的十位數字是10k2+8k+1 或10k2+8k+1的個位數字，顯然是奇數。
例6. 如果a、b都是自然數，並且b3=1176a，求a可以取到的最小值。
解題關鍵：把1176用整數的質因數連乘積表示法表示出來。
解：∵1176=8×3×49=23×3×72
∴ ∵a是自然數
∴b=2×3×7=42
∴a=63
例7. 自然數6432有多少公約數？6432與132的最大公約數減7等於多少？
解：∵6432=25×3×67
∴約數有(5+1)(1+1)(1+1)=24個
∵132=22×3×3
∴6432與132的最大公約數是12。
∴12-7=5
例8. 有多少個自然數除200，餘數為8？
解：設x為符合題意的自然數
則200=xq+8 (x>8)
即qx=200-8=192
x是192的約數
∵192=64×3=26×3
約數的個數為(6+1)(1+1)=14個
∵x>8
∴小於等於8的約數為1、2、3、4、6、8，共6個
∴符合題意的自然數為14。
例9. 自然數n的正約數共有10個，則n的最小值為________
解題關鍵：利用正整數的約數個數定理。
解：設則n的正約數的個數=(1+a1)(1+a2)……(1+ak)
∵10=1×10=2×5
∴(1+a1)(1+a2)=1×10或(1+a1)(1+a2)=2×5
由 1+a1=1 得 a1=0
1+a2=10 a2=9
∴此時最小的n為：29=512
由 1+a1=2 得 a1=1
1+a2=5 a2=4
∴此時最小的n為：24×31=16×3=48
因此，具有10個正約數的自然數n的最小值為48。
什麼是完全平方數
2樓：匿名使用者
完全平方指用一個整數乘以自己例如1*1，2*2，3*3等，依此類推。
若一個數能表示成某個整數的平方的形式，則稱這個數為完全平方數。
完全平方數是非負數，而一個完全平方數的項有兩個。
3樓：
一）完全平方數的性質
一個數如果是另一個整數的完全平方，那麼我們就稱這個數為完全平方數，也叫做平方數。例如：
0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,…
觀察這些完全平方數，可以獲得對它們的個位數、十位數、數字和等的規律性的認識。下面我們來研究完全平方數的一些常用性質：
性質1：完全平方數的末位數只能是0,1,4,5,6,9。
性質2：奇數的平方的個位數字為奇數，十位數字為偶數。
證明 奇數必為下列五種形式之一：
10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9
分別平方後，得
(10a+1)=100+20a+1=20a(5a+1)+1
(10a+3)=100+60a+9=20a(5a+3)+9
(10a+5)=100+100a+25=20 (5a+5a+1)+5
(10a+7)=100+140a+49=20 (5a+7a+2)+9
(10a+9)=100+180a+81=20 (5a+9a+4)+1
綜上各種情形可知：奇數的平方，個位數字為奇數1,5,9；十位數字為偶數。
性質3：如果完全平方數的十位數字是奇數，則它的個位數字一定是6；反之，如果完全平方數的個位數字是6，則它的十位數字一定是奇數。
證明 已知=10k+6，證明k為奇數。因為的個位數為6，所以m的個位數為4或6，於是可設m=10n+4或10n+6。則
10k+6=(10n+4)=100+(8n+1)x10+6
或 10k+6=(10n+6)=100+(12n+3)x10+6
即 k=10+8n+1=2(5+4n)+1
或 k=10+12n+3=2(5+6n)+3
∴ k為奇數。
推論1：如果一個數的十位數字是奇數，而個位數字不是6，那麼這個數一定不是完全平方數。
推論2：如果一個完全平方數的個位數字不是6，則它的十位數字是偶數。
性質4：偶數的平方是4的倍數；奇數的平方是4的倍數加1。
這是因為 (2k+1)=4k(k+1)+1
(2k)=4
性質5：奇數的平方是8n+1型；偶數的平方為8n或8n+4型。
在性質4的證明中，由k(k+1)一定為偶數可得到(2k+1)是8n+1型的數；由為奇數或偶數可得(2k)為8n型或8n+4型的數。
性質6：平方數的形式必為下列兩種之一：3k,3k+1。
因為自然數被3除按餘數的不同可以分為三類：3m,3m+1, 3m+2。平方後，分別得
(3m)=9=3k
(3m+1)=9+6m+1=3k+1
(3m+2)=9+12m+4=3k+1
同理可以得到：
性質7：不能被5整除的數的平方為5k±1型，能被5整除的數的平方為5k型。
性質8：平方數的形式具有下列形式之一：16m,16m+1, 16m+4,16m+9。
除了上面關於個位數，十位數和餘數的性質之外，還可研究完全平方數各位數字之和。例如，256它的各位數字相加為2+5+6=13，13叫做256的各位數字和。如果再把13的各位數字相加：
1+3=4，4也可以叫做256的各位數字的和。下面我們提到的一個數的各位數字之和是指把它的各位數字相加，如果得到的數字之和不是一位數，就把所得的數字再相加，直到成為一位數為止。我們可以得到下面的命題：
一個數的數字和等於這個數被9除的餘數。
下面以四位數為例來說明這個命題。
設四位數為，則
= 1000a+100b+10c+d
= 999a+99b+9c+(a+b+c+d)
= 9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)
顯然，a+b+c+d是四位數被9除的餘數。
對於n位數，也可以仿此法予以證明。
關於完全平方數的數字和有下面的性質：
性質9：完全平方數的數字之和只能是0,1,4,7,9。
證明 因為一個整數被9除只能是9k,9k±1, 9k±2, 9k±3, 9k±4這幾種形式，而
(9k)=9(9)+0
(9k±1)=9(9±2k)+1
(9k±2)=9(9±4k)+4
(9k±3)=9(9±6k)+9
(9k±4)=9(9±8k+1)+7
除了以上幾條性質以外，還有下列重要性質：
性質10：為完全平方數的充要條件是b為完全平方數。
證明 充分性：設b為平方數，則
==(ac)
必要性：若為完全平方數，=，則
性質11：如果質數p能整除a，但p的平方不能整除a，則a不是完全平方數。
證明 由題設可知，a有質因數p，但無因數，可知a分解成標準式時，p的次方為1，而完全平方數分解成標準式時，各質因數的次方均為偶數，可見a不是完全平方數。
性質12：在兩個相鄰的整數的平方數之間的所有整數都不是完全平方數，即若
n^2 < k^2 < (n+1)^2
則k一定不是完全平方數。
性質13：一個正整數n是完全平方數的充分必要條件是n有奇數個因數(包括1和n本身)。
(二)重要結論
1.個位數是2,3,7,8的整數一定不是完全平方數；
2.個位數和十位數都是奇數的整數一定不是完全平方數；
3.個位數是6，十位數是偶數的整數一定不是完全平方數；
4.形如3n+2型的整數一定不是完全平方數；
5.形如4n+2和4n+3型的整數一定不是完全平方數；
6.形如5n±2型的整數一定不是完全平方數；
7.形如8n+2, 8n+3, 8n+5, 8n+6,8n+7型的整數一定不是完全平方數；
8.數字和是2,3,5,6,8的整數一定不是完全平方數。
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