1樓：
簡單的迴應一下你問題的要求，但是：
1、以下沒有圖形解釋，只有函式，自己畫，都是簡單函式！
2、正例不舉了，這三個定理及其相關推論在基本函式的影象中都一目瞭然，自己隨便寫個函式，畫座標圖看看即可。
3、正向推導中這些條件的必要性到可以說說，用來解釋你的「為什麼」。
4、給你點反例。
關於羅爾定理：
首先理一下該定理證明的思路：
連續且閉=>有最大最小=>存在x1使f(x1)=max=>f'x1=0
其中前兩步推導就是最大值最小值定理
或稱維爾斯特拉斯極值定理
其前提條件「連續且閉」不可或缺
後一步推導就是費馬定理
其前提條件「x處可導」不可或缺
因此羅爾定理的應用條件：閉連續+開可導
反例：1、(a,b)可導，f(a)=f(b),則必存在x使得f'(x)=0
錯！反例：f(x)=x(0,1];=1(x=0)
這表明兩端處連續性不可或缺！
2、f(x)=x[0,0.5];=1-x(0.5,1],所以存在f'(x)=0
錯！最大值f(0.5)處沒有導數！
這表明可導性不可或缺！
關於拉格朗日定理：
還是先理一下證明思路：
引進輔助函式g(x)=f(x)-*(x-a)
把函式圖形做一個線性量上下移動後
即可將羅氏定理中結論用上。
因此拉氏是羅氏的變形，其應用前提一樣
反例：1、(a,b)可導,則存在x使f'(x)=[f(b)-f(a)]/(b-a)
錯！反例：f(x)=x(0,1];=1(x=0)
這表明兩端連續不可或缺
2、[a,b]連續，則存在x使得f'(x)=[f(b)-f(a)]/(b-a)
錯！反例：f(x)=|x|[0,1]
這表明可導性不可或缺
3、f(x)=1/x(x不等於0)；=0（x=0）
不能應用拉氏定理
因為x=0為間斷點
嚴格地說是：
結論未必能夠成立（事實上不成立）
關於柯西中值定理：
先提醒一點：不能直接由拉氏作商或作差推出柯氏！！！
理一下定理推倒的思路
引入h(x)=f(x)-[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]*[g(x)-g(a)]作為輔助函式
=>存在有h'(x)=0
=>即可可見基本同拉氏（拉氏是柯氏的特殊情況）
反例類似（略）
單調性是拉氏定理的倒推，所以需要這兩個條件
凹凸性的充分性證明中用到的微分中值公式和拉氏差不多，所以也需要。
注：凹凸性證明中，一般用一介導判據的增減性或二介導的正負性判斷，這些判據的前提條件中沒有「閉連續」，其實是一樣的，因為可導必然連續（但有開閉之分）。
注：對於類似|x|和x^2+|x|等不可導的函式，但並不意味著無法判斷，因為導數判據是其結論的充分條件，因此只能用凹凸性的定義證明，而且前者最終的結論是非嚴格凹性（因為有等號成立）。
但其實一般應用中都是可導的簡單函式，最多出現二介導不存在或零點的情況，分段即可。
注：除了和拉氏、羅氏相同的兩個條件外，
柯氏中還有一個前提條件:「分母導數」不為零
2樓：匿名使用者
你的問題有點太大了，不太容易簡潔的回答
像拉格朗日定理之類的，為啥都是閉區間上連續，而開區間上可導呢？
3樓：不是苦瓜是什麼
因為函式
抄在閉區間上連續要求左
襲端點右連續、右端點左連續；而函式可導則要求函式在一點的左右導數均存在且相等，若為閉區間，則只能驗證左端點是否有右導數，右端點是否有左導數，故函式在閉區間的端點處不可導。
中值定理就是函式某點或者函式的某條斜率代替原函式的定理，所以需要閉區間連續開區間可導。
該定理給出了導函式連續的一個充分條件。（注意：必要性不成立，即函式在某點可導，不能推出導函式在該點連續，因為該點還可能是導函式的振盪間斷點。）
函式在某一點的極限不一定等於該點處的函式值；但如果這個函式是某個函式的導函式，則只要這個函式在某點有極限，那麼這個極限就等於函式在該點的取值。
4樓：銀河系劉星辰
因為這幾個中值定理研究的都是那種可以畫影象的那種函式（函式點表示位內建，導數表示影象的方
容向），中值定理好像研究的就是函式某點或者函式的某條斜率代替原函式的定理，所以需要閉區間連續開區間可導。我猜的如果有錯請見諒。
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