1樓：匿名使用者
即證n-[1/2+1/3+1/4+……+1/(n+1)]＜n－ln[(n＋2)/2]
1/2+1/3+1/4+……+1/(n+1)>ln[(n＋2)/2]
方法1：可用數學歸納法。
n=1時，左邊-右邊=1/2-ln(3/2)=1/2*[1-ln(9/4)]>0，左邊》右邊成立。
假設當n=k（k≥1）時有1/2+1/3+1/4+……+1/(k+1)>ln[(k＋2)/2]。則當n=k+1時，有
左邊=1/2+1/3+1/4+……+1/(k+1)+1/(k+2)>ln[(k＋2)/2]+1/(k+1)=ln[(k＋3)/2]-+1/(k+1)=ln[(k＋3)/2]-ln[(k+3)/(k+2)]+1/(k+1)=ln[(k＋3)/2]-ln[1+1/(k+2)]+1/(k+1)
考慮函式f(x)=ln(1+x)-x，顯然f(0)=0，當x>0時f'(x)=1/(1+x)-1<0，故f(x)在x>0時嚴格單調遞減，於是有x>0時ln(1+x)ln[(k＋3)/2]-1/(k+2)+1/(k+1)=ln[(k＋3)/2]+1/[(k+2)*(k+1)]>ln[(k＋3)/2]=右邊。
於是對於所有的n∈n，都有1/2+1/3+1/4+……+1/(n+1)>ln[(n＋2)/2]成立。於是原命題得證。
:方法2：設sn=1/2+1/3+1/4+……+1/(n+1)-ln[(n＋2)/2]，則
s(n+1)-sn=1/(n+2)-ln[(n＋3)/2]+ln[(n＋2)/2]=1/(n+2)-ln[1+1/(n+2)]
同樣的，考慮函式f(x)=ln(1+x)-x，顯然f(0)=0，當x>0時f'(x)=1/(1+x)-1<0，故f(x)在x>0時嚴格單調遞減，於是有x>0時ln(1+x)1/(n+2)-1/(n+2)=0
於是s(n)為單調遞增數列。則s(n)>s1=1/2-ln(3/2)>0，於是有1/2+1/3+1/4+……+1/(n+1)-ln[(n＋2)/2]>0，得1/2+1/3+1/4+……+1/(n+1)>ln[(n＋2)/2]。命題得證。
2樓：匿名使用者
不妨設數列bn的和tn為n－ln((n＋2)／2)bn=tn-t(n-1)=1-ln(1+1/(n+1))bn-an=1/(n+1)-ln(1+1/(n+1)).......1式
對於這個不等式應該很清楚吧？
令f(x)=x-ln(x+1)(x>0)
f'(x)=x/(x+1)>0
f(x)>f(0)=0
所以令x=1/(n+1)
故原不等式得證。
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