求30道可以用因式分解法解的一元二次方程,要好解一點的。初三的。可以拍教輔書只要好解就行。三十道直

2022-09-03 17:25:28 字數 5393 閱讀 9539

1樓:匿名使用者

這個好解,你解那個有什麼用

初三一元二次方程30個題目及詳解

2樓:及千風

例1.解方程(1)(3x+1)2=7 (2)9x2-24x+16=11

分析:(1)此方程顯然用直接開平方法好做,(2)方程左邊是完全平方式(3x-4)2,右邊=11>0,所以

此方程也可用直接開平方法解。

(1)解:(3x+1)2=7×

∴(3x+1)2=5

∴3x+1=±(注意不要丟解)

∴x=∴原方程的解為x1=,x2=

(2)解: 9x2-24x+16=11

∴(3x-4)2=11

∴3x-4=±

∴x=∴原方程的解為x1=,x2=

2.配方法:用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)

先將常數c移到方程右邊:ax2+bx=-c

將二次項係數化為1:x2+x=-

方程兩邊分別加上一次項係數的一半的平方:x2+x+( )2=- +( )2

方程左邊成為一個完全平方式:(x+ )2=

當b2-4ac≥0時,x+ =±

∴x=(這就是求根公式)

例2.用配方法解方程 3x2-4x-2=0

解:將常數項移到方程右邊 3x2-4x=2

將二次項係數化為1:x2-x=

方程兩邊都加上一次項係數一半的平方:x2-x+( )2= +( )2

配方:(x-)2=

直接開平方得:x-=±

∴x=∴原方程的解為x1=,x2= .

3.公式法:把一元二次方程化成一般形式,然後計算判別式△=b2-4ac的值,當b2-4ac≥0時,把各項

係數a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。

例3.用公式法解方程 2x2-8x=-5

解:將方程化為一般形式:2x2-8x+5=0

∴a=2, b=-8, c=5

b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0

∴x= = =

∴原方程的解為x1=,x2= .

4.因式分解法:把方程變形為一邊是零,把另一邊的二次三項式分解成兩個一次因式的積的形式,讓

兩個一次因式分別等於零,得到兩個一元一次方程,解這兩個一元一次方程所得到的根,就是原方程的兩個

根。這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

例4.用因式分解法解下列方程:

(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0

(3) 6x2+5x-50=0 (選學) (4)x2-2( + )x+4=0 (選學)

(1)解:(x+3)(x-6)=-8 化簡整理得

x2-3x-10=0 (方程左邊為二次三項式,右邊為零)

(x-5)(x+2)=0 (方程左邊分解因式)

∴x-5=0或x+2=0 (轉化成兩個一元一次方程)

∴x1=5,x2=-2是原方程的解。

(2)解:2x2+3x=0

x(2x+3)=0 (用提公因式法將方程左邊分解因式)

∴x=0或2x+3=0 (轉化成兩個一元一次方程)

∴x1=0,x2=-是原方程的解。

注意:有些同學做這種題目時容易丟掉x=0這個解,應記住一元二次方程有兩個解。

(3)解:6x2+5x-50=0

(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式時要特別注意符號不要出錯)

∴2x-5=0或3x+10=0

∴x1=, x2=- 是原方程的解。

(4)解:x2-2(+ )x+4 =0 (∵4 可分解為2 ·2 ,∴此題可用因式分解法)

(x-2)(x-2 )=0

∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。

小結:一般解一元二次方程,最常用的方法還是因式分解法,在應用因式分解法時,一般要先將方程寫成一般

形式,同時應使二次項係數化為正數。

直接開平方法是最基本的方法。

公式法和配方法是最重要的方法。公式法適用於任何一元二次方程(有人稱之為萬能法),在使用公式

法時,一定要把原方程化成一般形式,以便確定係數,而且在用公式前應先計算判別式的值,以便判斷方程

是否有解。

配方法是推導公式的工具,掌握公式法後就可以直接用公式法解一元二次方程了,所以一般不用配方法

解一元二次方程。但是,配方法在學習其他數學知識時有廣泛的應用,是初中要求掌握的三種重要的數學方

法之一,一定要掌握好。(三種重要的數學方法:換元法,配方法,待定係數法)。

例5.用適當的方法解下列方程。(選學)

(1)4(x+2)2-9(x-3)2=0 (2)x2+(2-)x+ -3=0

(3) x2-2 x=- (4)4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0

分析:(1)首先應觀察題目有無特點,不要盲目地先做乘法運算。觀察後發現,方程左邊可用平方差

公式分解因式,化成兩個一次因式的乘積。

(2)可用十字相乘法將方程左邊因式分解。

(3)化成一般形式後利用公式法解。

(4)把方程變形為 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0,然後可利用十字相乘法因式分解。

(1)解:4(x+2)2-9(x-3)2=0

[2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0

(5x-5)(-x+13)=0

5x-5=0或-x+13=0

∴x1=1,x2=13

(2)解: x2+(2- )x+ -3=0

[x-(-3)](x-1)=0

x-(-3)=0或x-1=0

∴x1=-3,x2=1

(3)解:x2-2 x=-

x2-2 x+ =0 (先化成一般形式)

△=(-2 )2-4 ×=12-8=4>0

∴x=∴x1=,x2=

(4)解:4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0

4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0

[2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0

2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0

∴x1= ,x2=

例6.求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根。 (選學)

分析:此方程如果先做乘方,乘法,合併同類項化成一般形式後再做將會比較繁瑣,仔細觀察題目,我

們發現如果把x+1和x-4分別看作一個整體,則方程左邊可用十字相乘法分解因式(實際上是運用換元的方

法) 解:[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0

即 (5x-5)(2x-3)=0

∴5(x-1)(2x-3)=0

(x-1)(2x-3)=0

∴x-1=0或2x-3=0

∴x1=1,x2=是原方程的解。

例7.用配方法解關於x的一元二次方程x2+px+q=0

解:x2+px+q=0可變形為

x2+px=-q (常數項移到方程右邊)

x2+px+( )2=-q+()2 (方程兩邊都加上一次項係數一半的平方)

(x+)2= (配方)

當p2-4q≥0時,≥0(必須對p2-4q進行分類討論)

∴x=- ±=

∴x1= ,x2=

當p2-4q<0時,<0此時原方程無實根。

說明:本題是含有字母系數的方程,題目中對p, q沒有附加條件,因此在解題過程中應隨時注意對字母

取值的要求,必要時進行分類討論。

一元二次方程1、直接開平方法;2、配方法;3、公式法;4、因式分解法。 的步驟解法及運用(適合初三數學)

3樓:鈺瀟

1、直接開平方法

直接開平方法就是用直接開平方求解一元二次方程的方法.用直接開平方法解形如(x-m)²=n (n≥0)的 方程,其解為x=±√n+m 。

例:解方程(3x+1)²=7

∵(3x+1)²=7

∴3x+1=±√7

∴x= ﹙﹣1±√7﹚/3

∴原方程的解為x1=﹙√7﹣1﹚/3,x2=﹙﹣√7-1﹚/3

2、配方法

用配方法解方程ax²+bx+c=0 (a≠0) .先將常數c移到方程右邊:ax²+bx=-c ,將二次項係數化為:

x²+bx/a=- c/a ,方程兩邊分別加上一次項係數的一半的平方:x²+bx/a+( b/2a)²=- c/a+( b/2a)²。

方程左邊成為一個完全平方式:(x+b/2a)²= -c/a﹢﹙b/2a﹚² .當b²-4ac≥0時,x+b/2a =±√﹙﹣c/a﹚﹢﹙b/2a﹚² ,所以x=﹛﹣b±[√﹙b²﹣4ac﹚]﹜/2a(這就是求根公式)

例:用配方法解方程 3x²-4x-2=0

將常數項移到方程右邊 3x²-4x=2 ,將二次項係數化為:x²-﹙4/3﹚x= 2/3,方程兩邊都加上一次項係數一半的平方:x²-﹙4/3﹚x+( 4/6)²=2/3 +(4/6 )²

配方:(x-4/6)²= 2/3 +(4/6 )² ,直接開平方得:x-4/6=± √[2/3+(4/6 )² ]

∴x= 4/6± √[2/3 +(4/6 )² ]

原方程的解為x1=4/6﹢√﹙10/9﹚,x2=4/6﹣√﹙10/9﹚

3、公式法

把一元二次方程化成一般形式,然後計算判別式△=b²-4ac的值,當b²-4ac≥0時,把各項係數a,b,c的值代入求根公式x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a) ,(b²-4ac≥0)就可得到方程的根。

例:用公式法解方程 2x²+4x+1=0

∴a=2,b=4 ,c=1

⊿=b²-4ac=16-4*2*1=8>0

x=(-b±√⊿)/(2a)=(-4±2√2)/4=(-2±√2)/4

∴原方程的解為x1=(-2+√2)/4 x2==(-2-√2)/4

4、因式分解法

把方程變形為一邊是零,把另一邊的二次三項式分解成兩個一次因式的積的形式,讓兩個一次因式分別等於零,得到兩個一元一次方程,解這兩個一元一次方程所得到的根,就是原方程的兩個根.這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

例:用因式分解法解方程:6x²+5x-50=0

6x²+5x-50=0

(2x-5)(3x+10)=0

∴2x-5=0或3x+10=0

∴原方程的解x1=5/2,x2=-10/3

4樓:小小芝麻大大夢

一元二次方程解法:

一、直接開平方法

形如(x+a)^2=b,當b大於或等於0時,x+a=正負根號b,x=-a加減根號b;當b小於0時。方程無實數根。

二、配方法

1.二次項係數化為1

2.移項,左邊為二次項和一次項,右邊為常數項。

3.配方,兩邊都加上一次項係數一半的平方,化成(x=a)^2=b的形式。

4.利用直接開平方法求出方程的解。

三、公式法

四、因式分解法

如果一元二次方程ax^2+bx+c=0中等號左邊的代數式容易分解,那麼優先選用因式分解法。

求因式分解的練習題,求因式分解練習題20道

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x 2 2 x2 4 x 2 2 x2 4 0 x 2 2 x 2 x 2 0 x 2 x 2 x 2 0 4 x 2 0 x 2 0x 2 括號x減二的平方等於九括號x加三的平方用因式分解法解下列方程 x 2 2 9 x 3 2 即bai x 2 du2 3x 9 2 注 zhi9是3的平方,移到...

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