1樓:援手
平行沒抄錯啊,你為啥認為梯襲
度是垂直於xoy平面呢?梯度是一個向量,它的
方向是方向導數取得最大值的方向,而方向導數就是指二元函式f(x,y)沿xoy平面上某一過原點直線的導數,自然梯度方向是平行於xoy平面的。你是記錯了吧,應該是梯度方向和等值線垂直。
平面上一個點的梯度方向,是垂直於這個平面的切平面嗎?
2樓:匿名使用者
應該是曲面上的一點。
首先要了解梯度和切平面的概念。
對一個二元函式來說z=f(x,y)確定了一個曲面。而它的梯度為gradf(x,y)=бf/бx*i+бf/бy*j而在曲面z=f(x,y)上任意一點的法向量為顯然梯度是在二維平面內的方向導數,而曲面的法向量是在三維空間裡面的方向。
梯度的方向是與過曲面上點p(x0,y0,z0)的等高線f(x,y)=z0在點p的法線的一個方向相同,且從數值較低的等高線指向數值較高的等高線。
所以梯度的方向應該是垂直於等高面,而不是曲面的切平面。也就是說,梯度的方向與切平面的法向量在xoy平面上的投影的方向平行。
3樓:
平面上的點,怎麼會有梯度,您再仔細看看
4樓:夢想是毀滅
注意!!!!注意 你去**http://translate.
翻譯下level su***ce。你會發現它是 水平表面的意思!!!
二元函式z=f(x,y)的函式值在某點m(x,y)變化最快的方向是m點處的梯度來表示的!但m點的梯度為二位向量啊
5樓:匿名使用者
二元函式自變數只有兩個啊 那麼他的座標平面就是xoy平面
他的方向導數向量就只能在xoy平面內啊 就是二維的
所以梯度就是二維的
6樓:匿名使用者
z=0,這是一個特殊的三維空間,二維是三維空間的特殊情況下,z實為定值,幫此時不加以考慮。
為什麼梯度方向是等高線的法線方向。。怎麼理解啊
7樓:老師
你可以這樣想象一個z=f(x,y)的三維影象,每一個(x,y)點都有一個z與之對映,可以想象得到那將是一個曲面,然後你想象曲面上一個特定的點,它就像你在爬山的時候站在半山腰一樣。
如果你平的在那個半山腰左右走,那麼你的高度是不會變的。這裡高度就是z的值。這條你剛剛走的線就是等值線。
既然在求梯度的時候要求導,正如一元函式一樣,你把「很小的曲面」當作「平面」來求導,正如你在一元函式中把「一小段曲線」當化做"直線"一樣。你可以想象如果你筆直朝著山頂走,就可以最快的上升(如果是平面,而且你的速度一定的話)。這條向上的線的就是梯度向量加上z的增量所組成的向量。
(注意,二元函式的梯度是二維的向量。兩個維度是自變數。)
現在你已經在這個曲面上找到了等值線和梯度了,試想下,你在一個斜的平面上走,向上升最快的方向是不是唯一的呢?平著走和向上走兩個方向是不是垂直的呢?所以說,梯度是等值線的法線方向.
這就是梯度幾何意義,如果用向量乘來計算,那將是
→ →
δz = grad z · l
我很奇怪為什麼打出來這個點乘符號這麼小。左邊是z的增加量,就是上升多少,右邊是一個向上走的方向,一個是你現在選擇的前進的方向向量。這裡選擇前進方向為(δx,δy),得到:
δz=z'|x · δx +z'|y ·δy 你可以看到,這就是二元函式偏導的定義.
現在把你前進的速度定為1,也就是l的長度定為1,得到的值就是方向導數.這是因為你選定了方向和速度,那麼左邊就是你上升的速度,也就是方向導數.
希望我的話對你理解有所幫助.
梯度的方向是如何確定的?
8樓:過去的日子
在向量微積分中,標量場的梯度是一個向量場。標量場中某一點上的梯度指向標量場增長最快的方向,梯度的長度是這個最大的變化率。更嚴格的說,從歐幾里得空間rn到r的函式的梯度是在rn某一點最佳的線性近似。
在這個意義上,梯度是雅可比矩陣的一個特殊情況。
在單變數的實值函式的情況,梯度只是導數,或者,對於一個線性函式,也就是線的斜率。
梯度一詞有時用於斜度,也就是一個曲面沿著給定方向的傾斜程度。可以通過取向量梯度和所研究的方向的點積來得到斜度。梯度的數值有時也被稱為梯度。
設體系中某處的物理引數(如溫度、速度、濃度等)為w,在與其垂直距離的dy處該引數為w+dw,則稱為該物理引數的梯度,也即該物理引數的變化率。如果引數為速度、濃度、溫度或空間,則分別稱為速度梯度、濃度梯度、溫
溫度梯度的表示式
度梯度或空間梯度。其中溫度梯度在直角座標系下的表示式如右圖。
在向量微積分中,標量場的梯度是一個向量場。標量場中某一點上的梯度指向標量場增長最快的方向,梯度的長度是這個最大的變化率。更嚴格的說,從歐氏空間rn到r的函式的梯度是在rn某一點最佳的線性近似。
在這個意義上,梯度是雅戈比矩陣的一個特殊情況。
在單變數的實值函式的情況,梯度只是導數,或者,對於一個線性函式,也就是線的斜率。
梯度一詞有時用於斜度,也就是一個曲面沿著給定方向的傾斜程度。可以通過取向量梯度和所研究的方向的點積來得到斜度。梯度的數值有時也被稱為梯度。
在二元函式的情形,設函式z=f(x,y)在平面區域d內具有一階連續偏導數,則對於每一點p(x,y)∈d,都可以定出一個向量
(δf/x)*i+(δf/y)*j
這向量稱為函式z=f(x,y)在點p(x,y)的梯度,記作gradf(x,y)
類似的對三元函式也可以定義一個:(δf/x)*i+(δf/y)*j+(δf/z)*k 記為grad[f(x,y,z)]
梯度本意是一個向量(向量),當某一函式在某點處沿著該方向的方向導數取得該點處的最大值,即函式在該點處沿方向變化最快,變化率最大(為該梯度的模)。
定義在向量微積分中,標量場的梯度是一個向量場。標量場中某一點上的梯度指向標量場增長最快的方向,梯度的長度是這個最大的變化率。
9樓:匿名使用者
你這個問題很無聊嘛。 你知道如何求出梯度和梯度是一個怎麼樣的方向,規定了方向導數的什麼性質就可以了。 至於在哪個座標系,難道你覺得會在不同的座標系討論一個函式?
10樓:匿名使用者
朝不同方向有不同的梯度值·方向題目或者你自己根據需要定
高數中為什麼梯度的方向總是外法線的方向
11樓:匿名使用者
內法線是法線中的一種, 一般有內法線和外法線之分,是數學幾何類概念。但是我們一般用的說的都是內法線。法線就是垂直於面的直線,有方向之分。
對於立體表面而言,法線是有方向的:一般來說,由立體的內部指向外部的是法線正方向即內法線,反過來的是法線負方向。而內法線就是所謂正方向的法線。
同時外法線的斜率和切向量的斜率的乘積應為-1,而內外法線斜率為相反數。
12樓:匿名使用者
不懂裝懂不懂裝懂
不懂裝懂
為什麼梯度的方向是等值面法線方向
13樓:玉潤釁振凱
簡單來說,梯度方向是函式增長最快的方向,很顯然增長最快的方向是過該點的等量面的法線方向,所以,函式在一點的梯度方向是這點的法線方向
14樓:勁無憂
所謂梯度的方向,是函式值增大最快的方向,從一條等值線到下一條等值線,斜著走是不是需要走更遠的路?那就不是最快的方向,只有處處垂直等值線,才會在走同樣的距離的情況下,跨過最多的等值線。
15樓:
真不知道上面那些回答的人有沒有認真看過梯度的定義,估計是複製黏貼來的吧,居然還有人點贊。。。
首先問題應該是錯了,二元函式中,正確表述是梯度是等值線的法向量,梯度不可能和等值面正交,梯度和等值面是平行的(或者就在等值面內)。
以下是不嚴謹的證明:以二元函式為例,設函式z=f(x, y)。那麼它在點 p上的梯度向量為:
v1=(fx(p), fy(p))。設等值線函式為且過點p,根據隱函式求導法則,可以求出等值線函式在點p處的導數為:-fx(p)/fy(p)。
於是可以設一個向量v2=(1, -fx(p)/fy(p)) ,然後就會發現v1和v2兩個向量內積為0,兩個向量正交。
在三元函式中,等值線升維成等值面,梯度依然是法向量,證明方法同上。
16樓:匿名使用者
我認為就是這樣規定的,其它方向的值幾乎各不相同
17樓:匿名使用者
某點的梯度是該點最大的方向導數,此方向與等值面垂直!
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