1樓：粒下
因為擺線的方程為 x=a（t-sin t）,y=a（1-cos t）,其中0所以 v=∫2πx*y*dx，其中積分割槽域為［0，2πa］，而且 dx=x´ dt=a(1-cos t) dt
將 x=a（t-sin t）,y=a（1-cos t），dx=x´ dt=a(1-cos t) dt代入積分方程得
v=∫2π*a（t-sin t）*a（1-cos t）*a(1-cos t) dt=2π*a^3*∫（t-sin t）*（1-cos t）*(1-cos t) dt
其中積分割槽域為［0，2π］。
所以 v=2π*a^3*∫（t-sin t）*（1-2cos t+cos^2t）dt，其中積分割槽域為［0，2π］。
即 v=2π*a^3*∫（t-2t*cos t+t*cos^2t-sin t+sin 2t-sin t*cos^2t）dt，其中積分割槽域為［0，2π］。
計算解得 v=2π*a^3*2π^2=4*π^3*a^3。
2樓：達興老師聊教育
解：=∫<0,2π>π[a(1-cosθ)]²*a(1-cosθ)dθ
=πa³∫<0,2π>(1-cosθ)³dθ
=πa³∫<0,2π>(1-3cosθ+3cos²θ-cos³θ)dθ
=πa³∫<0,2π>[5/2-3cosθ+(3/2)cos(2θ)-(1-sin²θ)cosθ]dθ
=πa³[5θ/2-3sinθ+(3/4)sin(2θ)-sinθ+sin³θ/3]│<0,2π>
=πa³[(5/2)(2π)]
=5π²a³
性質：1、它的長度等於旋轉圓直徑的 4 倍。尤為令人感興趣的是，它的長度是 一個不依賴於π的有理數。
2、在弧線下的面積，是旋轉圓面積的三倍。
3、圓上描出擺線的那個點，具有不同的速度——事實上，在特定的地方它甚至是靜止的。
4、當彈子從一個擺線形狀的容器的不同點放開時，它們會同時到達底部。
5、x=r*(t-sint)； y=r*(1-cost)r為圓的半徑， t是圓的半徑所經過的弧度（滾動角），當t由0變到2π時，動點就畫出了擺線的一支，稱為一拱。
3樓：
把立體圖畫出來會好明白一些
詳細過程請見下圖
4樓：匿名使用者
擺線的一拱，直線y=0所圍成的圖形繞y軸旋轉而成的旋轉體體積 v=2π∫xydx
計算有擺線x=a(t-sint),y=a(1-cost)相應於t屬於0到2π，直線y=0所圍成圖形分別繞y軸旋轉成的旋轉體的體積
5樓：聆月
解題步驟如下圖：
體積，幾何學專業術語，是物件佔有多少空間的量。體積的國際單位制是立方米。一件固體物件的體積是一個數值用以形容該物件在三維空間所佔有的空間。
一維空間物件（如線）及二維空間物件（如正方形）在三維空間中都是零體積的。
體積是指物質或物體所佔空間的大小，佔據一特定容積的物質的量（表示三維立體圖形大小）。
示例1：木箱的體積為3立方米；
2：電解水時放出二體積的氫與一體積的氧。
6樓：匿名使用者
首先未換元時的積分割槽間是0-2a，換元之後積分割槽間也要跟著變，而那個大的體積可以看成只由右半部分的曲線繞y軸旋轉所得。那麼重點來了，對於右半部分，當y=0時，x=2派a，所以t只能等於2派，當y=2a時，x=派a，所以t只能等於派a.只要記住引數方程的換元要兼顧x和y，能和圖形上的點對應就行了
求擺線的一拱繞x軸旋轉所得的旋轉體的側面積
7樓：粒下
由題目可以知道x=a（t-sint），y=a（1-cost），0由積分公式可以知道，側面積s=2π∫y(t)ds，積分割槽間為[0，2πa]，ds=√[x＇(t)^2+y＇(t)^2]dt.
所以s=2πa^2∫（1-cost）√[(1-cost)^2+sint^2]dt，積分割槽間為[0，2π]。
然後s=2πa^2∫（1-cost）√[1-2cost+cost^2+sint^2]dt
化簡得s=2πa^2∫（1-cost）√[2-2cost]dt
然後s=2πa^2*√2∫（1-cost）√[1-cost]dt
計算的s=2πa^2*√2*16/3=32πa^2√2/3。
所以擺線的一拱繞x軸旋轉所得的旋轉體的側面積為s=2πa^2*√2*16/3=32πa^2√2/3。
8樓：mono教育
s=2πa^2∫（1-cost）√[(1-cost)^2+sint^2]dt，積分割槽間為[0，2π]。
由題目可以知道x=a（t-sint），y=a（1-cost），0由積分公式可以知道，側面積s=2π∫y(t)ds，積分割槽間為[0，2πa]，ds=√[x＇(t)^2+y＇(t)^2]dt.
所以擺線的一拱繞x軸旋轉所得的旋轉體的側面積為s=2πa^2*√2*16/3=32πa^2√2/3。
定義：在空間，一條曲線г繞著定直線 l旋轉一週所生成的曲面叫做旋轉曲面，或稱迴轉曲面。曲線г叫做旋轉曲面的母線，定直線 l 叫做旋轉曲面的旋轉軸，簡稱為軸。
母線上任意一點繞旋轉軸旋轉的軌跡是一個圓，稱為旋轉曲面的緯圓或緯線。以旋轉軸為邊界的半平面與旋轉曲面的交線稱為旋轉曲面的經線。
9樓：茹翊神諭者
簡單計算一下即可，答案如圖所示
10樓：慕容璃茉
東南大學校友前來致敬
11樓：
同學，你是東南大學的吧！
12樓：奔走的奶牛
ds=2πy√(1+y`^2)dx
=2πa(1-cost)ds
x=a(t-sint) y=a(1-cost)dx/dt=a(1-cost) dy/dt=asintds=2asint/2dt
ds=2πa(1-cost)2asint/2dt
13樓：我是武四
擺線的引數方程為 x=a(t-sint), y=a(1-cost)，其中a為常數，0<=t<=2*pi.
ds=((dx)^2+(dy)^2)^(1/2)dt=a((1-cost)^2+(sint)^2)^(1/2)dt=a(2-2cost)^(1/2)dt
擺線繞x軸旋轉而成的旋轉體側面積為
s=∫2pi*yds=2pi∫a^2√2*(1-cost)^(3/2)dt =2√2*pi*a^2∫(2*sin(t/2))^(3/2)dt
=8*pi*a^2∫(1-cos^2u)sinu*du [u=t/2]
= 8*pi*a^2*(4/3)=32*pi*a^2/3
擺線繞y軸旋轉與x軸所圍成旋轉體的側面積
14樓：冒樹花邗媚
圖我這裡就不畫了
曲線y=x^2/3是一個以原點為頂點
y為對稱軸
x>0時
單調遞增
開口向下的二條拋物線
與y=x交點為(1,1)
繞y軸旋轉體積：
y=x繞y軸體積(這是個圓錐體)
減去y=x^2/3即x=y^3/2繞y軸旋轉體積符號不好打
下面用∫(0,1)
表示從0積到1
v1=1/3πr^2*h-∫(0,1)πr^2dy=π/3-∫(0,1)πy^3dy
=π/3-πy^4/4(0,1)
=π/3-π/4
=π/12
繞x軸：
y=x^2/3即x=y^3/2繞x軸旋轉體積減去y=x繞y軸體積（剛求出來是π/3）
v2=∫(0,1)πr^2dx-π/3
=∫(0,1)πx^4/3dx-π/3
=(3πx^7/3)/3(0,1)-π/3=π-π/3
=2π/3
15樓：茹翊神諭者
簡單計算一下即可，答案如圖所示
16樓：莊廷謙姚燕
shooper：
1：bn*an
-bn+1an+1≥t*an+1;
bn-1*an-1-bnan≥t*an;
'''''''''''''
b1a1-b2a2≥t*a2;
n個相加；
b1a1-
bn+1an+1≥t*（a2+a2+a3+.......+an+1);
bn*an
-bn+1an+1≥t*an+1》0；
所以單減
b1a1-
bn+1an+1有界
根據級數收斂定義可得；
dy/dx＝(dy/dt)
/(dx/dt)＝sint/(1－cost)，t＝π/2時，dy/dx＝1
t＝π/2時，x＝2(π/2－1)＝π－2，y＝2切線方程：y－2＝x－(π－2)，即y＝x－π＋4
定積分的幾何應用求擺線繞y軸旋轉的體積，積分上下限怎麼找的？
17樓：匿名使用者
將擺線oba分成ob段和ba段兩段；
用ba段繞y軸旋轉所得到的旋轉體的體積，減掉 oa段繞y軸旋轉得到的旋轉體的體積。
**********==（這一步能看懂嗎？）o點對應的引數t=0，b點對應的引數t=π，a點對應的引數t=2π**********==（這一步能看懂嗎？）ba段繞y軸旋轉所得到的旋轉體的體積，從a點的y=0到b點的y=2a，相當於引數t=2π到引數t=π
**********==（這一步能看懂嗎？）ob段繞y軸旋轉所得到的旋轉體的體積，從o點的y=0到b點的y=2a，相當於引數t=0到引數t=π
**********==（這一步能看懂嗎？）
18樓：匿名使用者
這是旋轉的，旋轉360度，也就是2pai（圓周率），從零度開始旋轉，然後把直角座標系換成極座標系（應該能明白吧）
微積分旋轉體繞y軸旋轉體積~我看不懂**上的公式~請大家分析下
19樓：諸葛小兔兔
看**，這個繞y軸的公式需要認真理解。將繞成的立體圖形隨便擷取一段切開後得到一小卷，將卷後是一段長方體，2xπ是其長，ᐃx是其寬，所以2xπ·△x是其面積，再乘f(x)就是長方體體積。最後將區間內的無數個這樣的小長方體積分即可。
參考圖示加強理解即可。望採納。
20樓：匿名使用者
取柱殼微元：半徑為(x+dx)的圓柱體摳掉半徑為x的圓柱體。柱殼微元體積就等於微元面積×高：
dv=ds×h=πr²h
h也就是f(x)。
先計算微元面積，把內部面積摳掉：
ds=π(x+dx)²-πx²
=2πxdx+(dx)²
其中(dx)²是dx項的高階無窮小，所以捨去。
dv=ds×f(x)=2πxf(x)dx
21樓：
將a到b的數軸等分成n分，每份寬△x
則函式繞y軸旋轉，每一份的體積為一個圓環柱，該圓環柱的底面圓的周長為2πx，所以底面面積約為2πx*△x該圓環柱的高為f(x)
所以當n趨向無窮大時，vy=∫(2πx*f(x)*dx)=2π∫xf(x)dx
22樓：匿名使用者
我是理解成一個捲筒紙，一卷的長度(一個圓周2πx)×一卷的高f(x)×厚度dx
23樓：匿名使用者
沿x軸旋轉時 半徑=f(x) 圓的面積s=π[f(x)]^2dv=π[f(x)]^2dx
積分 vx=∫π[f(x)]^2dx
=π∫f(x)^2dx
沿y軸旋轉時 圓環的面積s=π(x+dx)^2-πx^2=π[(x+dx-x)(x+dx+x)]
=πdx*(2x+dx)
=2πxdx+π(dx)^2
因為 dx 無限小 所以 π（dx）^2 也是無限小所以上式就可以取 2πxdx
dv=2πxdx*f(x)=2πxf(x)dx積分 vy=∫2πx*f(x)dx=2π∫xf(x)dx
求由拋物線y 2 x和直線x y 0所圍成的平面圖形分別繞x
解 拋物線y x與直線y x相交於 1，1 繞x軸旋轉一週所得旋轉體的體積v 0，1 x x dx 0，1 x x dx x 2 x 3 0，1 1 2 1 3 6 繞y軸旋轉一週所得旋轉體的體積v 0，1 y y dy y 3 1 5 y 5 0，1 1 3 1 5 2 15。求由拋物線y 2 x...
求由曲線y x 2與y x所圍成的平行圖形饒y軸旋轉一週後的大的旋轉體體積
一個旋轉拋物面圍出的體積，減去一個圓錐。重點求y x y 1，y軸所圍圖形繞y軸一週的體積 dv x dy ydy v 0 1 ydy 2 y 0 1 2 下面計算y x，y 1，y軸所圍三角形繞y軸一週所成的圓錐體積v1 1 3 所求體積 2 3 6 希望可以幫到你，不明白可以追問，如果解決了問題...
計算由曲面z1x2y2與z0所圍成的立體體積
解題過程如下圖 bai du 適用於被積zhi區域 不含圓形的區dao域,且要注專意積分表示式的轉 屬換和積分上下限的表示方法 1 先一後二法投影法,先計算豎直方向上的一豎條積分,再計算底面的積分。1區域條件 對積分割槽域 無限制 2函式條件 對f x,y,z 無限制。2 先二後一法 截面法 先計算...