1樓:匿名使用者
區間【a,b】長度的定積分怎麼表示
一般公式為:
∫(a,b)f(x)dx
用定義法求定積分∫(a,b)2xdx 30
2樓:匿名使用者
^x連續,故可來積。分割槽源
間[a.b]n等分。選右bai端點a+k(b-a)/n, 由定積分du
定義:∫zhi(a,b)2xdx=2∫(a,b)xdx=2lim∑(k=1,n)[a+k(b-a)/n](b-a)/n=2lim[a(b-a)+(b-a)^dao2/n^2∑(k=1,n)k]
=2lim[a(b-a)+(b-a)^2/n^2[n(n+1)/2]]
=2ab-2a^2+b^2-2ab+a^2=b^2-a^2
3樓:匿名使用者
∫(a,b)2xdx
=∫(a,b)dx2
=x2|(a,b)
=b2-a2
定積分的運算公式
4樓:王一一
具體計算公式參照如圖:
定積分是積分的一種,是函式f(x)在區間[a,b]上的積分和的極限。
積分分類
不定積分(indefinite integral)
即已知導數求原函式。若f′(x)=f(x),那麼[f(x)+c]′=f(x).(c∈r c為常數).
也就是說,把f(x)積分,不一定能得到f(x),因為f(x)+c的導數也是f(x)(c是任意常數)。所以f(x)積分的結果有無數個,是不確定的。我們一律用f(x)+c代替,這就稱為不定積分。
即如果一個導數有原函式,那麼它就有無
限多個原函式。
定積分 (definite integral)
定積分就是求函式f(x)在區間[a,b]中的影象包圍的面積。即由 y=0,x=a,x=b,y=f(x)所圍成圖形的面積。這個圖形稱為曲邊梯形,特例是曲邊三角形。
這裡應注意定積分與不定積分之間的關係:若定積分存在,則它是一個具體的數值(曲邊梯形的面積),而不定積分是一個函式表示式,它們僅僅在數學上有一個計算關係(牛頓-萊布尼茨公式),其它一點關係都沒有!
一個函式,可以存在不定積分,而不存在定積分,也可以存在定積分,而不存在不定積分。一個連續函式,一定存在定積分和不定積分;
若只有有限個間斷點,則定積分存在;若有跳躍間斷點,則原函式一定不存在,即不定積分一定不存在。
積分在實際問題中的應用
(一)經濟問題
某工廠技術人員告訴他的老闆某種產品的總產量關於時間的變化率為r′(t)=50+5t-0.6t2,現在老闆想知道4個小時內他的工人到底能生產出多少產品。
如果我們假設這段時間為[1,5],生產的產品總量為r,則總產量r在t時刻的產量,即微元dr=r′(t)dt=(50+5t-0.6t2)dt。因此,在[1,5]內總產量為
(二)壓縮機做功問題
在生產生活過程中,壓縮機做功問題由於關係到能源節約問題,因此備受大家關注。假設地面上有一個底半徑為5 m, 高為20 m的圓柱形水池, 往裡灌滿了水。
如果要把池中所有的水抽出,則需要壓縮機做多少功?此時,由於考慮到池中的水被不間斷地抽出,可將抽出的水分割成不同的水層。
同時, 把每層的水被抽出時需要的功定義為功微元。這樣,該問題就可通過微元法解決了。
具體操作如下: 將水面看做是原點所在的位置, 豎直向下做x軸。當水平從x處下降了dx時, 我們近似地認為厚度為dx的這層水都下降了x,因而這層水所做的功微元dw≈25πxdx(j)。
當水被完全抽出, 池內的水從20 m下降為 0 m。
根據微元法, 壓縮機所做的功為w=25πxdx=15708(j) 。
(三)液體靜壓力問題
在農業生產過程中,為了保證農田的供水,常常需要建造各種儲水池。因此,我們需要了解有關靜壓力問題。
在農田中有一個寬為 4 m, 高為3 m, 且頂部在水下 5 m的閘門, 它垂直於水面放置。此閘門所受的水壓力為多少?我們可以考慮將閘門分成若干個平行於水面的小長方體。
此時, 閘門所受的壓力可看做是小長方體所受的壓力總和。 當小長方體的截面很窄的情況下, 可用其截面沿線上的壓強來近似代替各個點處的壓強。 任取一小長方體,其壓強可表示為1・x=x, 長方體截面的面積為δa=4dx, 從而δf≈x・4dx,
利用微元法求解定積分,還可以解決很多實際工程問題,關鍵是要掌握好換「元」 的技巧。這就需要我們解決問題時,要特別注意思想方法。思想方法形式多種多樣,如以直代曲、以均勻代不均勻、以不變代變化等。
5樓:白天大仁
∫(a,b)[f(x)±g(x)]dx=∫(a,b)f(x)±∫(a,b)g(x)dx∫(a,b)kf(x)dx=k∫(a,b)f(x)dx
1、當a=b時,
2、當a>b時,
3、常數可以提到積分號前。
4、代數和的積分等於積分的代數和。
5、定積分的可加性:如果積分割槽間[a,b]被c分為兩個子區間[a,c]與[c,b]則有
又由於性質2,若f(x)在區間d上可積,區間d中任意c(可以不在區間[a,b]上)滿足條件。
6、如果在區間[a,b]上,f(x)≥0,則
7、積分中值定理:設f(x)在[a,b]上連續,則至少存在一點ε在(a,b)內使
拓展資料
一般定理
定理1:設f(x)在區間[a,b]上連續,則f(x)在[a,b]上可積。
定理2:設f(x)區間[a,b]上有界,且只有有限個間斷點,則f(x)在[a,b]上可積。
定理3:設f(x)在區間[a,b]上單調,則f(x)在[a,b]上可積。
牛頓-萊布尼茨公式
6樓:基拉的禱告
答案有些問題,你的回答是正確的,這裡有一點就是定義域x不等於0,所以在0點無意義,通過奇偶性也能判斷該函式為奇函式,積分割槽域又對稱,所以原函式積分為0,希望能夠幫到你
7樓:匿名使用者
第一個黑線部分是f(x)關於x求導得到的。
第二個黑線是把上面的由積分中值定理得到的式子代入之前的f'(x)右邊,消去∫f(t)dt,化簡之後的結果。
下面黑色部分是用了一次如下的微分中值定理
f(b)-f(a)=f'(c)(b-a),這裡b是x,a是ξ,c在(a,b)中間,這道題是用的η,便成了
f(x)-f(ξ)=f'(η)(x-ξ)
根據條件,在(a,b)上都是f'(x)≤0,而η∈(ξ,x)包含於(a,b),自然f'(η)≤0,故而f'(x)≤0
8樓:臭弟弟初八
|1)∫0dx=c 不定積分的
定義2)∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c 3)∫1/xdx=ln|x|+c 4)∫a^xdx=(a^x)/lna+c 5)∫e^xdx=e^x+c 6)∫sinxdx=-cosx+c 7)∫cosxdx=sinx+c 8)∫1/(cosx)^2dx=tanx+c
9樓:匿名使用者
多次應用微積中值定理
怎麼得出積分的上下限a,b和被積函式的形式的? 這是用定積分的定義求函式極限的問題
10樓:pasirris白沙
1、根據定積分的定義,這種型別的極限題目,首要的是先找出一個 1/n,這是 dx;
2、然後確定 i/n,這是 xi,這樣就找到了被積函式;
3、再確定xi的上下限。
具體過程如下 :
怎樣求一個函式在(a,b)上的定積分
11樓:混沌之黑魔導師
其中的f(x)是f(x)的原函式
就好比f(x)的導數是f(x)
求積分就是要先把f(x)的反導數求出來。
然後f(a)-f(b)就是函式f(x)在(a,b)上的定積分
12樓:匿名使用者
樓上「柯西積分定理」貌似是復變的......
呃,言歸正傳,求定積分,要先專求出這個函式f(x)的原函屬數f(x)。所謂原函式f(x),要滿足這個函式是原函式的導數的條件,即f'(x)=f(x)
怎麼找原函式,等你學過不定積分就知道了。
找到原函式之後,根據牛頓-萊布尼茨定理有:
f(x)在(a,b)上的定積分=f(b)-f(a)ps:f(x)在(a,b)上的定積分=f(x)在[a,b]上的定積分=f(x)在(a,b]上的定積分=f(x)在[a,b)上的定積分。也就是說,定積分的值與區間是開是閉沒有太大關係
13樓:沒落的前朝貴族
簡單地說,把求導公式倒過來,加個常數就得到了不定積分式,然後將a,b帶入就行了
14樓:匿名使用者
用柯西積分定理試試,順便問一下:你現在讀的什麼啊??大學嗎???
計算定積分 0xsinx1 sin 2x d
令x y dx dy x 0 y x y 0 m 0 636f707962616964757a686964616f31333330363837 xsinx 1 sin x dx 0 y sin y 1 sin y dy 0 x sinx 1 sin x dx 0 sinx 1 sin x dx m ...
問計算定積分時什麼時候使用區間再現公式不要答非所問
當三角函式摻雜在複雜的指數對數或者普通的多項式中 如x 丨sinx丨 且版積分割槽域是權含 2 等這樣形式的時候,就適合用區間再現公式 這樣一來積分割槽域不會變化,而變數代換導致的三角函式裡x的替換又可通過誘導公式去掉複雜的形式。大學理工科專業都要學高等數學嗎?有哪些專業不學?理工科專業都需要學習高...
計算定積分 上限1 2下限0根號 1 x 2 dx
令x sin dx cos d x 1 2，6 x 0,0 原式 6,0 cos cos d 6,0 1 cos2 2 1 2d 2 1 4 sin2 2 6,0 3 8 12 答案為 3 8 12解題過程如下 令x sin dx cos d x 1 2，6 x 0,0 原式 6,0 cos cos...