1樓：dark酷樂
通俗定義
周期函式
對於函式y=f（x），如果存在一個不為零的常數t，使得當x取定義域內的每一個值時，f（x+t）=f（x）都成立，那麼就把函式y=f（x）叫做周期函式，不為零的常數t叫做這個函式的週期。
嚴格定義
設f(x)是定義在數集m上的函式，如果存在非零常數t具有性質； （1）對 有（x±t） ； （2）對 有f（x+t）=f（x） 則稱f（x）是數集m上的周期函式，常數t稱為f（x）的一個週期。如果在所有正週期中有一個最小的，則稱它是函式f（x）的最小正週期。 由定義可得：
周期函式f（x）的週期t是與x無關的非零常數，且周期函式不一定有最小正週期。
編輯本段周期函式性質
（1）若t（≠0）是f(x)的週期，則-t也是f(x)的週期。 （2）若t（≠0）是f(x)的週期，則nt（n為任意非零整數）也是f(x)的週期。 （3）若t1與t2都是f(x)的週期，則t1±t2也是f(x)的週期。
（4）若f(x)有最小正週期t*，那麼f(x)的任何正週期t一定是t*的正整數倍。 （5）t*是f(x)的最小正週期，且t1、t2分別是f(x)的兩個週期，則 （q是有理數集） （6）若t1、t2是f(x)的兩個週期，且t1/t2是無理數，則f(x)不存在最小正週期。 （7）周期函式f(x)的定義域m必定是雙方無界的集合。
編輯本段周期函式的判定
定理1若f(x)是在集m上以t*為最小正週期的周期函式則k f(x)+c（k≠0）和1/ f(x)分別是集m和集｛x/ f(x) ≠0，x ｝上的以t*為最小正週期的周期函式。 [1] 證： ∵t*是f(x)的週期，∴對 有x±t* 且f(x+t*)= f(x)，∴k f(x)+c=k f(x+t*)+c， ∴k f(x)+c也是m上以t*為週期的周期函式。
假設t* 不是kf(x)+c的最小正週期，則必存在t』（ 0＜t』＜t*）是k f(x)+c的週期，則對 ， 有k f(x+t』)+c=k f(x) +c k[f(x+t』)- f(x)]=0，∵k≠0，∴f(x+t』)- f(x)=0，∴f(x+t』)= f(x)， ∴t』是f(x)的週期，與t*是f(x)的最小正週期矛盾，∴t*也是k f(x)+c的最小正週期。 同理可證1/ f(x)是集｛x/ f(x) ≠0，x ｝上的以t*為最小正週期的周期函式。
定理2若f(x)是集m上以t*為最小正週期的周期函式，則f(ax+n)是集｛x/ax+ n ｝上的以t*/ 為最小正週期的周期函式，（其中a、b為常數）。 證： 先證 是f(ax+b)的週期 ∵t*是f(x)的週期，∴ ，有x±t*∈m，∴a（x ）+b=ax+b ±t*∈m，且f[a（x+ t ）+b]=f（ax+b±t*）=f（ax+b）∴ 是f（ax+b）的週期。
再證 是f（ax+b）的最小正週期 假設存在t』（0＜t』＜ ）是f（ax+b）的週期， 則f（a（x+t』）+b）=f（ax+b），即f（ax+b+at』）=f（ax+b）， 因當x取遍｛x/x∈m,ax+b∈m｝的各數時,ax+b就取遍m所有的各數， ∴at』是f(x)的週期，但 ＜=t*這與t*是f(x)的最小正週期矛盾。
定理3設f(u)是定義在集m上的函式u=g（x）是集m1上的周期函式，且當x∈m1時，g(x)∈m，則複合函式f(g(x))是m1上的周期函式。 證： 設t是u=g(x)的週期，則 1有（x±t）∈m1且g（x+t）=g(x) ∴f(g(x+t))=f(g(x)) ∴=f(g(x))是m1上的周期函式。
例1 設=f(u)=u2是非周期函式，u= g(x)=cosx是實數集r上的周期函式，則f(g(x))=cos2x是r上的周期函式。 同理可得：（1）f(x)=sin(cosx)，（2）f(x)=sin(tgx)，（3）f(x)=sin2x，（4）f(n)=log2sinx(sinx＞0)也都是周期函式。
例2 f(n)=sinn是周期函式，n=g(x)=ax+b(a≠0)是非周期函式，f(g(x))=sin(ax+b)是周期函式（中學數學中已證）。 例3 f(n)=cosn是周期函式，n=g(x)= （非周期函式）而f(g(x))=cos 是非周期函式。 證：
假設cos 是周期函式，則存在t＞0使cos （k∈z） 與定義中t是與x無關的常數矛盾， ∴cos 不是周期函式。 由例2、例3說明，若f(u)是周期函式，u= g(x)是非周期函式，這時f(g(x))可能是，也可能不是周期函式。
定理4設f1(x)、f2(x)都是集合m上的周期函式，t1、t2分別是它們的週期，若t1/t2∈q則它們的和差與積也是m上的周期函式，t1與t2的公倍 數為它們的週期。 證： 設 （(p·q)=1）設t=t1q=t2p則有：
有（x±t）=（x±t1q）=（x±t2p）∈m，且f1(x+t) ±f2（x+t）= f1(x+t1q) ±f2（x+t2p）= f1(x)±f2(x) ∴f1(x) ±f2(x)是以t1和t2的公倍數t為週期的周期函式。同理可證：f1(x) 、f2(x)是以t為週期的周期函式。
定理4推論
設f1(x) 、f2(x)……fn(x) 是集m上的有限個周期函式t1、t2……tn分別是它們的週期，若， … （或t1，t2……tn中任意兩個之比）都是有理數，則此n個函式之和、差、積也是m上的周期函式。 例4 f(x)=sinx-2cos2x+sin4x是以2π、π、π/2的最小公倍 數2π為週期的周期函式。 例5 討論f(x)= 的週期性 解：
2tg3 是以t1= 為最小正週期的周期函式。 5tg 是以t2 為最小正週期的周期函式。 tg2 是以t3= 為最小正週期的周期函式。
又 都是有理數 ∴f(x)是以t1、t2、t3最小公倍數（t1、t2、t3）= 為最小正週期的周期函式。 同理可證： （1）f(x)=cos ; (2)f(x)=sin2xcos2x+cos2xcos3x+cos3xsin3x。
是周期函式。
定理5設f1(x)=sin a1x，f2(x)=cosa2x，則f1(x)與f2(x)之和、差、積是周期函式的充要條件是a1/a2∈q。 證 先證充分性： 若a1/a2∈q，設t1、t2分別為f1(x)與f2(x)的最小正週期，則t1= 、t2= ，又 ∈q 由定理4可得f1(x)與f2(x)之和、差、積是周期函式。
再證必要性（僅就f1(x)與f2(x)的差和積加以證明）。 （1）設sina1x-cosa2x為周期函式，則必存在常數t＞0， 使sina1(x+t)-sina1x=cosa2(x+t)-cosa2x 2cos(a1x+ )sin = -2sin s(a2x+ ) sin (1)。 令x= 得2cos（a1x+ ），則 （k∈z）。
(2) 或 c∈z（3） 又在（1）中令 2sin（a2x+ ）sin =-2sin =0 由(4) 由sin （5） 由上述（2）與（3），（4）與（5）都分別至少有一個成立。 由（3）、（5得 ）（6） ∴無論（2）、（4）、（6）中那一式成立都有a1/a2 。 （2）設sinaxcosa2x為周期函式，則 是周期函式。
編輯本段非周期函式的判定
[1]（1）若f(x)的定義域有界 例：f(x)=cosx（ ≤10）不是周期函式。 （2）根據定義討論函式的週期性可知非零實數t在關係式f(x+t)= f(x)中是與x無關的，故討論時可通過解關於t的方程f(x+t)- f(x)=0，若能解出與x無關的非零常數t便可斷定函式f(x)是周期函式，若這樣的t不存在則f(x)為非周期函式。
例：f(x)=cos 是非周期函式。 （3）一般用反證法證明。
（若f(x)是周期函式，推出矛盾，從而得出f(x)是非周期函式）。 例：證f(x)=ax+b(a≠0)是非周期函式。
證：假設f(x)=ax+b是周期函式，則存在t（≠0），使對 ，a（x+t）+b=ax+b ax+at-ax=0 at=0 又a≠0，∴t=0與t≠0矛盾，∴f(x)是非周期函式。 例：
證f(x)= 是非周期函式。 證：假設f(x)是周期函式，則必存在t（≠0）對 ，有(x+t)= f(x)，當x=0時，f(x)=0，但x+t≠0, ∴f(x+t)=1，∴f(x+t) ≠f(x)與f(x+t)= f(x)矛盾，∴f(x)是非周期函式。
例：證f(x)=sinx2是非周期函式 證：若f(x)= sinx2是周期函式，則存在t（＞0），使對 ，有sin(x+t)2=sinx2，取x=0有sint2=sin0=0，∴t2=kπ（k∈z），又取x= t有sin( t+t)2=sin（ t）2=sin2kπ=0，∴( +1)2 t2=lπ(l∈z+)，∴ 與3+2 是無理數矛盾，∴f(x)=sinx2是非周期函式。
2樓：匿名使用者
百科的，樓主想看嗎？
這裡我給樓主簡單的說：
首先，周期函式有四種，就是
y=sinx(奇函式)
y=cosx(偶)
y=tanx（奇）
y=cotx（奇）
週期sin和cos一樣是2π
tan和cot一樣，是π
至於樓主說的表示，指的是f(x+t)=f(x)=f(x-t),這裡是依次令x=x-t
就可以得到。簡單的說周期函式的最小週期就是影象相鄰兩個谷峰頂點的距離，所以f(x+t)=f(x)=f(at+x)a是正整數，例如t=4時有f(x)=f(x+4)=f(x+2004)=````
總的來說，要了解周期函式，最好自己畫圖理解，畢竟文字的敘述很繁瑣
周期函式的週期求法
解 由題意得f x 1 f x 1 和f x 1 f x 1 則f x 3 f x 1 則f x 3 f x 1 故f x f x 4 則f x 的週期為4 週期的求法 實際就是賦值法，不斷賦值直到化為f x f x t 的形式即可。記幾個常見的結論 若f x a f x b 則f x 的週期為 a...
周期函式的傅立葉級數級數形式的頻譜圖和複數形式的頻譜圖一樣嗎
re是虛數的實部 im是虛部 c n是數列的負無窮到負一部分 不一樣的。複數形式的頻譜幅值為三角頻譜的一半，相位也有正有負。等價的吧。我們學工程測試技術的時候沒講複數形式的圖，我只會畫三角形式的 傅立葉級數和傅立葉變換都是周期函式的頻譜，可是說頻譜時指哪個？傅立葉變換。傅立葉級數只對周期函式才有效的...
高中數學 周期函式，高中數學 函式週期
f x 2 1 f x 令x 2 t，則x t 2,代入得f t 1 f t 2 所以f x 1 f x 2 又f x 2 1 f x 所以f x 2 f x 2 所以是周期函式。最小正週期是4.令x x 2，代入f x 2 1 f x 得 f x 4 1 f x 2 因為f x 2 1 f x 所...