1樓：和與忍
通常給出的極限唯一性的證明並不涉及題主所說的內容。它採取的思路是：
版設函式f(x)當x趨於權x0時有兩個極限a與b，證明a與b相等。
所採取的手段是：證明對於任意給定的ε＞0，都有|a-b|＜ε。（這樣就必有a＝b。
假若不然，有|a-b＞0，取ε0＝1/2 |a-b|，就會導致|a-b|＜1/2 |a-b|，矛盾！）
而由極限是a，存在δ1＞0，當0＜|x-x0|＜δ1時，|f(x)-a|＜ε/2. ①
又由極限是b，存在δ2>0，當0＜|x-x0|＜δ2時，|f(x)-b|＜ε/2. ②
取δ＝min 則當0＜|x-x0|＜δ時，同時有①、②成立。於是|a-b|＝|[f(x)-a]-[f(x)-b]|≤|f(x)-a|+|f(x)-b|＜ε/2+ε/2＝ε.
∴ a＝b.
求證極限唯一性，為什麼取ε=(b-a)/2
2樓：pasirris白沙
1、樓上網友的回答，雖然是對的，但是說得太輕鬆了。
無論說得是多麼輕飄飄，還是多麼文縐縐，都給人霧煞煞的感覺。
從微積分教學開始，我們就陷入的這種境地：不得要領。
.2、假設樓主已經完全領略了極限證明背後的嚴密邏輯思維與論證方法，就知道 ：
a、ε 具有任意性，可以無止境的更改、修正。
b、由於 ε 具有任意性，由 ε 決定的 n 也就有了任意性：
一方面，將 n 任意地放大後，依然還是 n；
另一方面，將 ε 任意縮小後算出 n，就更符合要求。
.3、下面的**就是將 ( b - a )/2 縮小到 ( b - a )/3， 一樣得到結論。
請參看：..
3樓：持筆桿的魔法師
這並不是說它不能取其他值了，它可以取任意大於零的數。但是，在證明極限唯一性的時候，我們為了方便計算，所以才取的這個值。
4樓：淺草丶若相念
因為用的是反證法，所以只要有一個反例就行
5樓：風火淬鋼
它可以取任何數，取這個只是為了方便證明
用反證法證明極限的唯一性時，為什麼取ε=(b-a)/2
6樓：angela韓雪倩
具體原因如下：
證明如下：
假設存在a，b兩個數都是函式f(x)當x→x。的極限，且a據極限的柯西定義，有如下結論：
任意給定ε>0（要注意，這個ε是對a，b都成立）。
總存在一個δ1>0，當0《丨x-x。丨<δ1時，使得丨f（x）-a丨<ε成立。
總存在一個δ2>0，當0《丨x-x。丨<δ2時，使得丨f（x）-b丨<ε成立。
上面的不等式可以等價變換為a-ε令δ=min，當0《丨x-x。丨<δ時。①，②兩個不等式同時成立。
因為①，②兩個不等式同時成立，所以①式右端必定大於或等於②式左端。
即：b-ε≤a+ε，移項得：(b-a)/2≤ε,因為(b-a)/2是一個確定大小的正數，所以這個結論與極限的定義：
ε可以任意小矛盾，所以假設不成立，因此不存在a，b兩個數都是f（x）的極限，除非a=b矛盾才不會出現。
倘若是x趨於無窮大時的唯一性證明可以參看高數書數列極限唯一性證明，證法完全一樣。
證畢。擴充套件資料：
反證法的邏輯原理是逆否命題和原命題的真假性相同。
實際的操作過程還用到了另一個原理，即：
原命題和原命題的否定是對立的存在：原命題為真，則原命題的否定為假；原命題為假，則原命題的否定為真。
若原命題：
為真先對原命題的結論進行否定，即寫出原命題的否定：p且¬q。
從結論的反面出發，推出矛盾，即命題：p且¬q 為假（即存在矛盾）。
從而該命題的否定為真。
再利用原命題和逆否命題的真假性一致，即原命題：p⇒q為真。
誤區：否命題與命題的否定是兩個不同的概念。
命題的否定只針對原命題的結論進行否定。而否命題同時否定條件和結論：
原命題：p⇒q；
否命題：¬p⇒¬q；
逆否命題：¬q⇒¬p；
命題的否定：p且¬q。
原命題與否命題的真假性沒有必然聯絡，但原命題和原命題的否定卻是對立的存在，一個為真另一個必然為假。
已知某命題：若a，則b，則此命題有4種情況：
1.當a為真，b為真，則a⇒b為真，得¬b⇒¬a為真；
2.當a為真，b為假，則a⇒b為假，得¬b⇒¬a為假；
3.當a為假，b為真，則a⇒b為真，得¬b⇒¬a為真；
4.當a為假，b為假，則a⇒b為真，得¬b⇒¬a為真；
∴一個命題與其逆否命題同真假。
即反證法是正確的。
假設¬b，推出¬a，就說明逆否命題是真的,那麼原命題也是真的。
但實際推證的過程中，推出¬a是相當困難的，所以就轉化為了推出與¬a相同效果的內容即可。這個相同效果就是與a（已知條件）矛盾，或是與已知定義、定理、大家都知道的事實等矛盾。
7樓：林清他爹
我告訴你怎麼來的
證明如下：
假設存在a，b兩個數都是函式f(x)當x→x。的極限，且a，根據極限的柯西定義，有如下結論：
任意給定ε>0（要注意，這個ε是對a，b都成立）。
總存在一個δ1>0，當0《丨x-x。丨<δ1時，使得丨f（x）-a丨<ε成立。
總存在一個δ2>0，當0《丨x-x。丨<δ2時，使得丨f（x）-b丨<ε成立。
上面的不等式可以等價變換為a-ε 令δ=min，當0《丨x-x。丨<δ時。①，②兩個不等式同時成立。 因為①，②兩個不等式同時成立，所以①式右端必定大於或等於②式左端。 即：b-ε≤a+ε，移項得：(b-a)/2≤ε,因為(b-a)/2是一個確定大小的正數，所以這個結論與極限的定義： ε可以任意小矛盾，所以假設不成立，因此不存在a，b兩個數都是f（x）的極限，除非a=b矛盾才不會出現。 倘若是x趨於無窮大時的唯一性證明可以參看高數書數列極限唯一性證明，證法完全一樣。證畢。 8樓：匿名使用者 這樣a與b的ε=(b-a)/2鄰域正好無交集，取得更小點也行，但最大隻能取這個，否則兩個鄰域的交非空，證不出 高數問題，關於極限的唯一性的證明。圖中為什麼讓ε=b－a/2。為什麼我就想不到取這個值呢？是根據什 9樓：離劫殤 因為這是最大取值，可以比它小但不能比它大，不然a,b的去心領域會相交不是空集，這樣不利於證明！ 10樓： 和夾逼想法差不多吧。中值 證明收斂數列唯一性時，為什麼取ε=(b-a)/2 11樓：蹋花同惜 並不是一開始就假設ε 而是先假設（1）limxn=a 與（2）limxn=b同時成立（a小於b） 也就是有兩個極限 得到a+ε或=b-ε時即可 所以可取a+ε=b-ε 此時ε=1/2（b-a）ε>0 ε存在 所以（1）（2）不能同時成立 唯一性即證 12樓：一步一步沉澱 ε=(b-a)/3也行 為什麼證明極限的唯一性的時候，要取ε=(a-b)/2？原因是什麼？ 13樓：匿名使用者 若 a≠b，則取ε=(a-b)/2 是為了最後得出一個矛盾，從而否定 「a≠b」 的假設。 構造 這樣 xn a 抄 2 xn b 襲2 這樣加起來才有 xn a xn b 我也可以這樣 對應 b a b a 存在n0 n 使得n n0 有 xn a 32 和 xn b 2 3 連個相加還是 xn a xn b 反證法推出矛盾 收斂數列的 極限的唯一性證明,詳細過程 證明 假設 數列an收... 是 b a 2 是什麼你看好了.假設limxn a,那麼存在n1,當n n1時 xn a n2時 xn b n時,上面兩個回不等式都成立答 於是 b a xn a xn b xn a xn b 2e 即對任意e 0,當n n時,b a 2 利用絕對值不等式造矛盾 b a a b x a x b 假如... 丨f x a丨 baia 2 a 2 a a 2 dua a 2 a 2 f x zhia 2 0 至於為什麼取a 2,其實從dao上面不等式就可內以看出,其實不一定容要選a 2,也可以選a 3 2a 3 a 5等任何一個比a小的正數,這樣去掉絕對值符號後,比f x 小的a 就必然大於0,這就是取 ...關於收斂數列唯一性的證明,收斂數列的極限的唯一性證明,詳細過程
極限唯一性反證法證明時，為什麼e取二分之b減a，思路怎麼來的呢
高數函式的區域性保號性證明問題,高數函式極限區域性保號性證明中A2,若取2A就得fxA,就不能說fx0了是不是見補充