1樓:匿名使用者
線性時不變系統,指的是系統是線性的(系統可用線性方程來描述,當然包括微分方程)、系統的引數是常數,不隨時間的變化而變化的系統。
比如電學系統:lq" + rq' + cq = v(t) l、r、c為系統引數:電感、電阻和電容且與時間無關,此係統就是用二階常係數常微分方程所描述的線性時不變系統。
另外力學系統:my" + cy' + ky = x(t) m、c、k為系統引數:質量、阻尼和剛度,為常數,該力學系統也是線性時不變系統。
如果把晒水車簡化成二階線性振動系統,由於質量m=m(t)隨時間而變化,該系統雖然還是線性系統,但它已不是時不變的了,而是線性時變系統了!線性時不變系統是一種定義、一個概念,它無需證明。
線性常係數微分方程所描述的系統,因為它是常係數的(系統引數不隨時間變化!)那麼它就一定是線性時不變的系統!
2樓:秒懂百科
拉普拉斯變換法:求解常係數線性常微分方程的一個重要方法
如何證明線性常係數微分方程 是線性時不變系統
3樓:夏小紙追
第一題貌似不用導數什麼的來證明吧,用sinx=cos(π/2-x)就可以證明出來了
第二題1. 對不等式的兩邊分別求導數,左邊的導數為1/(1+x)^2,,右邊導數為1/1+x,當x>0時,有1/1+x>1/(1+x)^2
2. x/1+x=0,ln(1+x)=0 (x=0時)
3. f(x)-f(0)/g(x)-g(0)=f'(θ)/g'(θ)(x-0) (0<θ
4. 令f(x)=x/1+x,g(x)=ln(1+x)帶入上面的式子可得
4樓:方雨靈
以一階常係數微分方程為例
a * dr(t)/dt + b * r(t) = c * e(t) ——①
(1)線性性:
1)均勻性:
當激勵(就是e(t))放大k倍後,經過系統(這個微分方程)後 響應該是k * r(t) 則均勻性成立
k * e(t) 和 k *r(t) 帶入①後得:
左式:k * a * dr(t)/dt +k * b * r(t)
右式:k * c * e(t)
左式 = 右式
均勻性成立
2)疊加性
當激勵為 e1(t)+ e2(t)時輸出為 r1(t) + r2(t)則疊加性成立
設:a * dr1(t)/dt + b * r1(t) = c * e1(t) ——②
a * dr2(t)/dt + b * r2(t) = c * e2(t) ——③
②+③得:a * d( r1(t) + r2(t) )/dt + b *( r1(t) + r2(t) ) = c * e1(t) + c * e2(t)
故疊加性成立
該系統滿足均勻性和疊加性 故該系統為線性系統
(2)時不變
輸入為e(t) 輸出為r(t)
若輸入為e(t-t0) 輸出為 r(t-t0)時,滿足時不變性
a * dr(t)/dt + b * r(t) = c * e(t)
e(t-t0) 和 r(t-t0) 帶入①後得:
左式:a * dr(t-t0)/dt + b * r(t-t0)
右式:c * e(t-t0)
左式 = 右式
時不變性成立
如何根據微分方程判斷是線性定常或時變還是非線性系統?
5樓:一轉身丶已千年
大概明白你的意思了 你的意思就是那種直觀法對吧線性非線性,不管微分方程還是一般方程,y(t)不允許帶平方,比如dy(t)/dt可以 dy^2(t)/dt不行 二階導數也可以d^2 y(t)/dt^2 反正就是不允許y(t)這項有平方或者有開方 不允許頭頂上帶係數
時變定常 只要係數裡面帶直接跟t有關的係數就是時變 y(t)不算,什麼t,sint,e^t都是時變
靜態動態 有微分方程都是動態 沒有就是靜態
如何判斷一個微分方程是線性定常系統,還是非線性系統?
6樓:薔祀
所謂的線性定常系統,其特性有:
a、只能出現函式本身,以及函式的任何階次的導函式;
b、函式本身跟所有的導函式之間除了加減之外,不可以有任何運算;
c、函式本身跟本身、各階導函式本身跟本身,都不可以有任何加減之外的運算;
d、不允許對函式本身、各階導函式做任何形式的複合運算,例如:
若不能複合上面的條件,就是非線性系統。
擴充套件資料:
線性不變系統
①齊次性
若激勵f(t)產生的響應為y(t),則激勵af(t)產生的響應即為ay(t),此性質即為齊次性。其中a為任意常數。
f(t)系統y(t),af(t)系統ay(t)
②疊加性
若激勵f1(t)與f2(t)產生的響應分別為y1(t), y2(t),則激勵f1(t)+f2(t)產生的響
應即為y1(t)+y2(t),此性質稱為疊加性。
③線性若激勵f1(t)與f2(t)產生的響應分別為y1(t), y2(t),則激勵a1f1(t)+a2f2(t)產生
的響應即為a1y1(t)+a2y2(t),此性質稱為線性。
④時不變性
若激勵f(t)產生的響應為y(t),則激勵f(t-t0)產生的響應即為y(t-t0),此性質稱為
不變性,也稱定常性或延遲性。它說明,當激勵f(t)延遲時間t0時,其響應y(t)也延
遲時間t0,且波形不變。
⑥微分性
若激勵f(t)產生的響應為y(t),則激勵f'(t)產生的響應即y'(t),此性質即為微分性。
⑦積分性
若激勵f(t)產生的響應為y(t),則激勵f(t)的積分產生的響應即為y(t)的積分。此性質稱為積分性。
7樓:
判斷一個微分方程,如果滿足齊次疊加性的即為線性方程,否則為非線性。
線性系統滿足齊次性與疊加性,即滿足f(ax+by)=af(x)+bf(y),其中,a,b為常數。
所謂的線性微分方程是指微分變數(y)和微分運算元(dy/dx)的冪都是1次的微分方程。它的通解滿足線性疊加原理。
簡單的例子:y'''+y''+y'+y=0是線性的,但y'''+y''+(y')^2+y=0,或者y'''+y''+y'+y^2=0都不是線性的,因為有2次元素的存在。
對於一階微分方程,形如:
y'+p(x)y+q(x)=0的稱為"線性"
例如:y'=sin(x)y是線性的
但y'=y^2不是線性的
線性定常系統,又稱之為線性時不變系統,滿足線性性與時不變性。
非線性系統:一個系統,如果其輸出不與其輸入成正比,則它是非線性的。從數學上看,非線性系統的特徵是疊加原理不再成立。
疊加原理是指描述系統的方程的兩個解之和仍為其解。疊加原理可以通過兩種方式失效。其一,方程本身是非線性的。
其二,方程本身雖然是線性的,但邊界是未知的或運動的。
8樓:靖雋
如果滿足齊次疊加性的即為線性方程,否則為非線性。
9樓:20100609姿
一定滿足這兩個公式 1、滿足:t[x1(n)+x2(n)]=y1(n)+y2(n);
2、滿足:t[ax1(n)]=ay1(n);
系統的輸入、輸出之間滿足線性疊加原理的系統成為線性系統。
10樓:匿名使用者
線性系統滿足齊次性與疊加性,即滿足f(ax+by)=af(x)+bf(y),其中,a,b為常數
二階常係數非齊次線性微分方程怎麼解怎麼設
1先寫出特徵方程,解出r根 2在看f x 為哪種形式,設出特解形式。要記得這些公式 二階常係數非齊次線性微分方程的特解形式怎麼求?第一題,多項式右邊,可以猜一個同次的多項式解 第二題,d 1 d 2 y xe x 此時發生共振,從而猜測特回解答 ax bx 2 e x 第三題,d 1 d 1 y x...
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由題意,對應齊次線性方程的通解為y cex ce x,因此 特徵方程為 專 1 1 0,即 2 1 0 可見,對屬應的齊次方程為y y f x 將特解y 12 1 10cos2x代入,得 f x 12?1 2cos2x sin x,故此微分方程為y y sin2x 故選 d 通解為y c1e x c...
微分方程什麼叫線性無關解什麼是線性相關解
線性無關解 只要兩個解向量中的各個數字不是成倍的就行,即如果想使k1 a1 k2 a2 0,k1和k2只能全部為0,這裡k1和k2就被稱之為線性無關解。線性相關解 就是給定向量組 a1,a2,am k1a1 k2a2 kmam 0 該方程組有非零解,比如向量 1,1 1,1 就是線性相關的,k1 1...