求二階常係數非齊次線性微分y ay sinx的通解

2022-03-17 05:00:52 字數 5902 閱讀 7023

1樓:晴天擺渡

y''+a²y=0的特徵方程為r²+a²=0

得r=±ai

(1)a≠±1時,

y''+a²y=0的通解為y=c1 cosax+c2 sinax

因為i不是特徵根,故設特解為y*=m sinx+n cosx

則y*'=m cosx-n sinx,y*''=-m sinx-n cosx

代入原方程y''+a²y=sinx得

m(a²-1)sinx+n(a²-1)cosx=sinx

得m=1/(a²-1),n=0

故特解為y*=sinx /(a²-1)

故原方程的通解為y=c1 cosax+c2 sinax +sinx /(a²-1)

(2)a=±1時,原方程為y''+y=sinx,

特徵根為r=±i

y''+y=0的通解為y=c1 sinx+c2 cosx

因為i是特徵根,故設特解為y*=x(acosx+bsinx)

則y*'=a cosx+bsinx+x(-asinx+bcosx)=(a+bx)cosx+(b-ax)sinx

y*''=bcosx-(a+bx)sinx-asinx+(b-ax)cosx=(2b-ax)cosx-(2a+bx)sinx

代入原方程得2bcosx-2asinx=sinx,

得a=-½,b=0

故特解為y*=-½x cosx

故原方程的通解為y=c1 sinx+c2 cosx -½x cosx

2樓:匿名使用者

y″+a²y=0的通解是y=c1cosax+c2sinax.

a≠土1時設y=pcosx+qsinx是y''+a^2y=sinx①的解,則

y'=-psinx+qcosx,

y''=-pcosx-qsinx,

都代入①,(-p+a^2p)cosx+(-q+a^2q)sinx=sinx,

所以p=0,q=1/(a^2-1),

①的通解是y=c1cosax+c2sinax+sinx/(a^2-1).

a=土1時設y=x(pcosx+qsinx)是y''+y=sinx的解,

計算從略。

3樓:匿名使用者

特徵方程 r^2+a^2 = 0, r = ±ai

a = ±1 時, 設特解 y = x(psinx+bcosx)

則 y' = asinx+bcosx + x(pcosx-bsinx)

y'' = 2pcosx-2bsinx - x(psinx+bcosx)

代入微分方程 y'' + y = sinx, 得 2pcosx-2bsinx = sinx

p = 0, b = -1/2, 特解 y = -(x/2)cosx

通解 y = c1cosx+c2sinx-(x/2)cosx

a ≠ 1 且 a ≠ -1 時, 設特解 y = psinx+bcosx

則 y' = pcosx-bsinx, y'' = -psinx-bcosx

代入微分方程 y'' + a^2y = sinx, 得

-psinx-bcosx + a^2(psinx+bcosx) = sinx

p(a^2-1) = 1, b(a^2-1) = 0, p = 1/(a^2-1), b = 0

特解 y = sinx/(a^2-1)

通解 y = c1cosx+c2sinx + sinx/(a^2-1)

= c1cosx+c3sinx

4樓:匿名使用者

the aux. equation

p^2 +a^2=0

p=ai or -ai

letyg = acos(ax) +bsin(ax)

yp =c.cosx +dsinx

yp' = -c.sinx +dcosx

yp''= -c.cosx -dsinx

yp''+a^2.yp =sinx

(-c.cosx -dsinx) +a^2. [c.cosx +dsinx] = sinx

(-d + a^2.d)sinx + ( -c +a^2.c)cosx = sinx

=>-d + a^2.d =1 (1)

-c +a^2.c =0 (2)

from (1)

d = 1/(a^2-1)

from (2)

c = 0

yp =c.cosx +dsinx =[1/(a^2-1)] sinx

通解y=yg+yp= acos(ax) +bsin(ax) +[1/(a^2-1)] sinx

5樓:茹翊神諭者

簡單計算一下即可,答案如圖所示

6樓:匿名使用者

先求相應齊次方程的通解,再求出原方程的一個特解,後相加即是原方程通解

求下列二階常係數線性非齊次微分方程的通解 y''+y=2+sinx

7樓:匿名使用者

你好!答案如圖所示:

很高興能回答您的提問,您不用新增任何財富,只要及時採納就是對我們最好的回報

。若提問人還有任何不懂的地方可隨時追問,我會盡量解答,祝您學業進步,謝謝。xd

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二階常係數非齊次線性微分方程怎麼求通解?

8樓:是你找到了我

二階常係數非齊次線性微分方程的表示式為y''+py'+qy=f(x),特解

1、當p^2-4q大於等於0時,r和k都是實數,y*=y1是方程的特解。

2、當p^2-4q小於0時,r=a+ib,k=a-ib(b≠0)是一對共軛復根,y*=1/2(y1+y2)是方程的實函式解。

9樓:匿名使用者

特徵方程 2r^2+r-1=0 (2r-1)(r+1) r=1/2,r=-1 所以齊次通解 y=c1e^(x/2)+c2e^(-x) 設特解為y=ae^x y'=y''=y=ae^x 代入原方程得 2ae^x+ae^x-ae^x=2e^x a=1 因此特解y=e^x 因此非齊次通解是y=c1e^(x/2)+c2e^(-x)+e^x

10樓:匿名使用者

1.對於這種型別的二階非齊次微分方程,求解的方法:

(1)先求出對應的齊次微分方程的通解:y

(2)再求出該方程的一個特解:y1

則方程的通解為:y+y1

2.方程特解的求法:

形如y''+py'+qy=acosωx+bsinωx 的方程,有如下形式的特解:y1=x^k(acosωx+bsinωx)

其中 a、b為待定係數,k的取值方法如下:

(1)當±iω不是方程y''+py'+qy=acosωx+bsinωx對應的齊次方程的特徵根時,k=0

(2)當±iω是方程y''+py'+qy=acosωx+bsinωx對應的齊次方程的特徵根時,k=1

11樓:晴天擺渡

等號右端不是p(x)e^(ax)嗎

特解設為x^k q(x)e^(ax)

前面根據特徵方程求出兩個特徵根來,

看a是不是特徵根,

如果不是,那麼k=0;如果是單特徵根,那麼k=1如果是二重特徵根,那麼k=2

q(x)其實相當於p(x),但是隻是p(x)的形式,即q(x)是與p(x)最高次數相同的多項式。比如p(x)=x²+3,那麼q(x)就設為ax²+bx+c,求出a,b,c

求下列二階常係數非齊次線性微分方程的通解

12樓:匿名使用者

(7)解:∵齊次方程y"+3y'+2y=0的特徵方程是r²+3r+2=0,則它的特徵根是r1=-1,r2=-2

∴此齊次方程的通解是 y=c1e^(-x)+c2e^(-2x) (c1,c2是積分常數)

於是,設原方程的解為 y=ax+b,代入原方程,化簡得 2ax+3a+2b=2x-1

==>2a=2,3a+2b=-1

==>a=1,b=-2

==>y=x-2

則 y=x-2是原方程的一個特解

故 原方程的通解是y=c1e^(-x)+c2e^(-2x)+x-2。

二階常係數非齊次線性微分方程題

13樓:匿名使用者

虛根一樣的,不影響,r=1±i

通解為 y= c1*e^(1+i)x+c2*e^(1-i)x=e^x(acosx+bsinx)

再求非齊次方程的特解,設特解為 y=ce^x代入 ce^x-2ce^x+2ce^x=e^x, c=1因此原方程通解為:y=e^x(acosx+bsinx+1)

二階常係數非齊次線性微分方程特解怎麼設?

14樓:demon陌

較常用的幾個:

1、ay''+by'+cy=e^mx

特解    y=c(x)e^mx

2、ay''+by'+cy=a sinx + bcosx

特解    y=msinx+nsinx

3、ay''+by'+cy= mx+n

特解    y=ax

二階常係數線性微分方程是形如y''+py'+qy=f(x)的微分方程,其中p,q是實常數。自由項f(x)為定義在區間i上的連續函式,即y''+py'+qy=0時,稱為二階常係數齊次線性微分方程。

若函式y1和y2之比為常數,稱y1和y2是線性相關的;若函式y1和y2之比不為常數,稱y1和y2是線性無關的。特徵方程為:λ^2+pλ+q=0,然後根據特徵方程根的情況對方程求解。

擴充套件資料:

通解=非齊次方程特解+齊次方程通解

對二階常係數線性非齊次微分方程形式ay''+by'+cy=p(x)

其中q(x)是與p(x)同次的多項式,k按α不是特徵根、是單特徵根或二重特徵根(上文有提),依次取0,1或2.

將y*代入方程,比較方程兩邊x的同次冪的係數(待定係數法),就可確定出q(x)的係數而得特解y*。

多項式法:

設常係數線性微分方程y''+py'+qy =pm

f″(λ)/2!z″+f′(λ)/1!z′+f(λ)z=pm(x) ,這裡f(λ)=λ^2+pλ+q為方程對應齊次方程的特徵多項式。

升階法:

設y''+p(x)y'+q(x)y=f(x),當f(x)為多項式時,設f(x)=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an,此時,方程兩邊同時對x求導n次,得

y'''+p(x)y''+q(x)y'=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an……

y^(n+1)+py^(n)+qy^(n-1)=a0n!x+a1(n-1)!

y^(n+2)+py^(n+1)+qy^(n)=a0n!

令y^n=a0n!/q(q≠0),此時,y^(n+2)=y^(n+1)=0。由y^(n+1)與y^n通過倒數第二個方程可得y^(n-1),依次升階,一直推到方程y''+p(x)y'+q(x)y=f(x),可得到方程的一個特解y(x)。

15樓:匿名使用者

(1)y」+3y』+2y=xe^-x

特解 y*=ax+b(這是錯的,最起碼得有個e^-x吧?)(2)y」+3y』+2y=(x² + 1)e^-x特解y*=x(ax²+bx+c)e^-x

-------------------------------1、xe^-x前的多項式為x,所以設qm(x)是qm(x)=ax+b,由於-1是特徵方程的單根,所以特解為

y*=x(ax+b)e^(-x)

2、(x²+1)e^-x前的多項式為二次,所以設qm(x)是qm(x)=ax²+bx+c,由於-1是特徵方程的單根,所以特解為y*=x(ax²+bx+c)e^-x

把特解帶入原微分方程,待定係數法求出引數a、b、c。

二階常係數非齊次線性微分方程怎麼解怎麼設

1先寫出特徵方程,解出r根 2在看f x 為哪種形式,設出特解形式。要記得這些公式 二階常係數非齊次線性微分方程的特解形式怎麼求?第一題,多項式右邊,可以猜一個同次的多項式解 第二題,d 1 d 2 y xe x 此時發生共振,從而猜測特回解答 ax bx 2 e x 第三題,d 1 d 1 y x...

已知某二階常係數線性非齊次微分方程的通解為y C1ex C

由題意,對應齊次線性方程的通解為y cex ce x,因此 特徵方程為 專 1 1 0,即 2 1 0 可見,對屬應的齊次方程為y y f x 將特解y 12 1 10cos2x代入,得 f x 12?1 2cos2x sin x,故此微分方程為y y sin2x 故選 d 通解為y c1e x c...

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