1樓：八零後電影院
矩陣的秩等於0的充分必要條件是這個矩陣是零矩陣。
參照定理：對於每個矩陣a，fa都是一個線性對映，同時，對每個的 線性對映f，都存在矩陣a使得 f= fa。也就是說，對映是一個同構對映。
所以一個矩陣 a的秩還可定義為fa的像的維度（像與核的討論參見線性對映）。
矩陣 a稱為 fa的變換矩陣。這個定義的好處是適用於任何線性對映而不需要指定矩陣，因為每個線性對映有且僅有一個矩陣與其對應。秩還可以定義為 n減 f的核的維度；秩-零化度定理聲稱它等於 f的像的維度。
秩線性對映的推廣：
只有零矩陣有秩 0 a的秩最大為 min(m,n) f是單射，當且僅當 a有秩 n（在這種情況下，我們稱 a有「滿列秩」）。f是滿射，當且僅當 a有秩 m（在這種情況下，我們稱 a有「滿行秩」）。在方塊矩陣a（就是 m= n) 的情況下，則 a是可逆的，當且僅當 a有秩 n（也就是 a有滿秩）。
如果 b是任何 n× k矩陣，則 ab的秩最大為 a的秩和 b的秩的小者。即：秩（ab）≤min（秩（a），秩（b)) 推廣到若干個矩陣的情況，就是：
秩（a1a2...am)≤min（秩（a1），秩（a2）。
秩（am)) 證明：考慮矩陣的秩的線性對映的定義，令a、b對應的線性對映分別為 f和 g，則秩（ab)表示複合對映 f·g，它的象 im f·g是 g的像 im g在對映 f作用下的象。
2樓：是你找到了我
這個矩陣是零矩陣時，矩陣的秩為0；
這個矩陣是非零矩陣且每行成比例時，或者矩陣是隻有一行或者只有一列時，矩陣的秩為1。
3樓：北京小小哥
首先明白矩陣為0矩陣的意思就是矩陣任何一個元素均為0，同理一個矩陣只要不是0則矩陣必有至少一個元素不為0。
秩的定義通俗理解就是若a為3*3方陣,r(a)=2即秩為2代表a的三行或三列向量有兩行或兩列線性相關對於行列式a來說就是這兩行或兩列對應成比例，所以有效向量可以看作1再加上剩下的那一行或列就是2也就是矩陣的秩 。
以下是規範定義，對於n階方陣a r(a)=k，即存在k階子式不為0，對任意k+1階子式全為0。k階子式就是對a任取k行k列的交點元素組成的k階新矩陣的行列式，同理k+1階類似，當然k一定小於n。所以r(a)=0 k為0，必有k+1也就是1階子式全為0即原來a中任意一個元素均為0再看開頭矩陣a為0的定義就可以得出a必為0矩陣。
結論:矩陣a為0與矩陣的秩為0是充要條件，同理矩陣a不為0的充要條件為秩大於等於1，這個可以反證。
純手打望採納
4樓：匿名使用者
考慮秩的定義. 若有某個矩陣係數不為0, 則矩陣秩至少是1. 因此矩陣秩為0當且僅當矩陣係數全部是0, 或者說是0矩陣.
兩個矩陣的乘積為零 它們的 秩有什麼關係
5樓：甜美志偉
關係： r(a)+r(b)<=n；
推導過程如下：
設ab = 0, a是mxn, b是nxs 矩陣；
則 b 的列向量都是 ax=0的秩；
所以 r(b)<=n-r(a)；
所以 r(a)+r(b)<=n。
擴充套件資料：
秩性質我們假定 a是在域 f上的 m× n矩陣並描述了上述線性對映。
只有零矩陣有秩 0 a的秩最大為 min(m,n) f是單射，當且僅當 a有秩 n（在這種情況下，我們稱 a有「滿列秩」）。
f是滿射，當且僅當 a有秩 m（在這種情況下，我們稱 a有「滿行秩」）。
在方塊矩陣a（就是 m= n) 的情況下，則 a是可逆的，當且僅當 a有秩 n（也就是 a有滿秩）。如果 b是任何 n× k矩陣，則 ab的秩最大為 a的秩和 b的秩的小者。
即：秩（ab）≤min（秩（a），秩（b)) 推廣到若干個矩陣的情況。
就是：秩（a1a2...am)≤min（秩（a1），秩（a2），...
秩（am)) 證明：考慮矩陣的秩的線性對映的定義，令a、b對應的線性對映分別為 f和 g，則秩（ab)表示複合對映 f·g，它的象 im f·g是 g的像 im g在對映 f作用下的象。
然而 im g是整個空間的一部分，因此它在對映 f作用下的象也是整個空間在對映 f作用下的象的一部分。也就是說對映 im f·g是im f的一部分。
對矩陣就是：秩（ab）≤秩（a）。對於另一個不等式：
秩（ab）≤秩（b），考慮 im g的一組基：（e1，e2，...，en），容易證明（f(e1），f(e2），...
，f(en））生成了空間 im f·g，於是 im f·g的維度小於等於im g的維度。
對矩陣就是：秩（ab）≤秩（b）。因此有：秩（ab）≤min（秩（a），秩（b））。若干個矩陣的情況證明類似。
作為 "<" 情況的一個例子，考慮積 兩個因子都有秩 1，而這個積有秩 0。可以看出，等號成立當且僅當其中一個矩陣（比如說 a）對應的線性對映不減少空間的維度，即是單射，這時 a是滿秩的。
於是有以下性質：如果 b是秩 n的 n× k矩陣，則 ab有同 a一樣的秩。如果 c是秩 m的 l× m矩陣，則 ca有同 a一樣的秩。
a的秩等於 r，當且僅當存在一個可逆 m× m矩陣 x和一個可逆的 n× n矩陣 y使得 這裡的 ir指示 r× r單位矩陣。證明可以通過高斯消去法構造性地給出。
矩陣的秩加上矩陣的零化度等於矩陣的縱列數（這就是秩-零化度定理）。
6樓：墨陌沫默漠末
關係是r(a)+r(b)<=n。
因為ab=0，所以b的每一列都是線性
方程組ax=0的解。而根據線性方程組理論，ax=0的基礎解系中線性無關的解的個數（或者說解空間的維數）≤ n-r(a)。
而b的列向量組是解空間的一部分，所以b的列向量組中的極大線性無關組中的向量個數(就是秩r(b))一定≤基礎解系中線性無關的解的個數，也就是≤ n-r(a)，所以r(b)≤ n-r(a)，從而r(a)+r(b)<=n。
方陣(行數、列數相等的矩陣)的列秩和行秩總是相等的，因此它們可以簡單地稱作矩陣a的秩。通常表示為r(a)，m × n矩陣的秩最大為m和n中的較小者，表示為 min(m,n)。有儘可能大的秩的矩陣被稱為有滿秩；類似的，否則矩陣是秩不足（或稱為「欠秩」）的。
設a是一組向量，定義a的極大無關組中向量的個數為a的秩。
定義1、在m*n矩陣a中，任意決定k行和k列交叉點上的元素構成a的一個k階子矩陣，此子矩陣的行列式，稱為a的一個k階子式。
例如，在階梯形矩陣中，選定1，3行和3，4列，它們交叉點上的元素所組成的2階子矩陣的行列式 就是矩陣a的一個2階子式。
定義2、a=(aij)m×n的不為零的子式的最大階數稱為矩陣a的秩，記作ra，或ranka或r(a)。
特別規定零矩陣的秩為零。
顯然ra≤min(m,n) 易得：
若a中至少有一個r階子式不等於零，且在r由定義直接可得n階可逆矩陣的秩為n，通常又將可逆矩陣稱為滿秩矩陣, det(a)≠0；不滿秩矩陣就是奇異矩陣，det(a)=0。
由行列式的性質1(1.5)知，矩陣a的轉置at的秩與a的秩是一樣的。
7樓：匿名使用者
它們的秩序關係是一個數字乘以零
8樓：匿名使用者
設ab = 0, a是mxn, b是nxs 矩陣則 b 的列向量都是 ax=0 的解
所以 r(b)<=n-r(a)
所以 r(a)+r(b)<=n
9樓：電燈劍客
如果a是mxn的矩陣，b是nxk的矩陣，ab=0，那麼rank(a)+rank(b)<=n
10樓：alone丶
關係是:r(c)。。。。
兩個矩陣的秩在哪些情況下相同
11樓：前回國好
這個太寬泛了，我給bai你幾du個常用的吧，首先線性方程組zhi有解要求係數dao矩陣和增光版矩陣的秩想當。
其次，兩矩
權陣相似或者等價，秩相等。
若a和對角矩陣相似，則和對角矩陣秩相等。
兩個合同矩陣秩相等。
兩個最高階子式子不為零的階數相等的矩陣秩相等。
等等。兩個同型係數矩陣所組成的同解齊次方程，他們兩個係數矩陣秩相等，...
關於矩陣的秩，列向量組合行向量組的秩，還有極大無關組，我下面說的對嗎
就最後一句有點bai問題du 則這個極大無關組是一個b階的zhi方陣 dao。極大無關組是版 針對向量組的 行向量組與列 權向量組的極大無關組是兩回事 若硬把它們扯在一起,那麼它們交叉點上的元素構成一個b階方陣事實上,a的秩為r時,a必有一個r階非零子式那麼這個子式所在的行,構成a的行向量組的一個極...
關於矩陣的秩，極大無關組，還有行向量組和列向量組幾個很基本的問題
1 可以，行秩等於列秩 2 算行秩用行變化，列秩用列變化，平時用行是為了求解方便3 錯誤 就是每一個列和行都是線性無關，這是錯的，你只能說向量線性無關，行和列那是矩陣的概念，行向量無關不代表列向量一定無關，反之亦然。比如一個滿秩方陣的列向量肯定無關且為極大無關組，如果在行增加一行那麼仍然無關且極大，...
為什麼矩陣相乘後的秩會變小,為什麼2個矩陣相乘後的秩會變小
這個說法不準確，因為2個n階可逆矩陣相乘後，秩不變，仍是n 兩個矩陣乘積的秩為何能小於兩個中小的那個？樓主說的應該是r ab min r a r b 證明很簡單，但是方法很重要 設ab c，將矩陣b分塊為b b1,b2,bs c分塊為c c1,c2,cs 則ab ab1,ab2,abs c1,c2,...