1樓:free光陰似箭
無窮小就是以數零為極限的變數。然而常量是變數的特殊一類,就像直線屬於曲線的一種。因此常量也是可以當做變數來研究的。這麼說來——0是唯一可以作為無窮小的常數。
①等價無窮小一般只能在乘除中替換,在加減中替換有時會出錯(加減時可以整體代換,不一定能隨意單獨代換或分別代換),比如mf(x)+ng(x),只有f(x)/g(x)的極限不是-n/m時,才可進行等價無窮小代換
②上各式中的x可以是f(x)也可以新變數t,如 f(x)→0,sin(f(x))~f(x)仍成立。
由於本題符合①所以,用泰勒:
即tanx=x+x³/3+2x^5/15+17x^7/315+....
arctanx=x-x³/3 + x^5/5 - x^7/7 +....
tanx-arctanx=(2/3)x³-(1/15)x^5+.....
因此,tanx-arctanx的等價無窮小為(2/3)x³
2樓:
泰勒:tanx=x+x³/3+2x^5/15+17x^7/315+....
arctanx=x-x³/3 + x^5/5 - x^7/7 +....
tanx-arctanx=(2/3)x³-(1/15)x^5+.....
因此等價無窮小為(2/3)x³
arctanx和x為什麼是等價無窮小
3樓:匿名使用者
x→0時,arctanx~x
令arctanx=y,x=tany,x趨於0時,y趨於0,因此 lim arctanx/x=lim y/tany=lim ycosy/siny =lim cosy/(siny/y)=1。即arctanx~x。
無窮小量是數學分析中的一個概念,在經典的微積分或數學分析中,無窮小量通常以函式、序列等形式出現。無窮小量即以數0為極限的變數,無限接近於0。
確切地說,當自變數x無限接近x0(或x的絕對值無限增大)時,函式值f(x)與0無限接近,即f(x)→0(或f(x)=0),則稱f(x)為當x→x0(或x→∞)時的無窮小量。特別要指出的是,切不可把很小的數與無窮小量混為一談。
擴充套件資料相關性質:
1、無窮小量不是一個數,它是一個變數。
2、零可以作為無窮小量的唯一一個常量。
3、無窮小量與自變數的趨勢相關。
4、有限個無窮小量之和仍是無窮小量。
5、有限個無窮小量之積仍是無窮小量。
6、有界函式與無窮小量之積為無窮小量。
7、特別地,常數和無窮小量的乘積也為無窮小量。
8、恆不為零的無窮小量的倒數為無窮大,無窮大的倒數為無窮小。
4樓:孤翼之淚
當x趨向於0的時候,limarctanx/x=lim0>1/(1+x²)=1,根據等價無窮小的定義,因此,當x趨向於0的時候,arctanx與x是等價無窮小,有疑問請追問,滿意請採納~\(≧▽≦)/~
5樓:匿名使用者
lim(arctanx÷x)=lim(1/x2+1)
x→0 x→0
6樓:時光時光墾丁丁
arctanx 的極限是arctan 0= 負無窮。
sinx-tanx的等價無窮小
7樓:你愛我媽呀
^^sinx-tanx的等價無窮小為baix^3/2,解答過程為du:由泰勒公式zhi可得:
tanx=x+x^dao3/3+o(x^3)sinx=x-x^3/6+o(x^3)
則tanx-sinx=x+x^3/3+o(x^3) -(x-x^3/6+o(x^3))回=x^3/2。
所以sinx-tanx的等價無窮小答為x^3/2。
等價無窮小替換是計算未定型極限的常用方法,它可以使求極限問題化繁為簡,化難為易。
擴充套件資料:無窮小的性質:
1、有限個無窮小量之和仍是無窮小量。
2、有限個無窮小量之積仍是無窮小量。
3、有界函式與無窮小量之積為無窮小量。
4、特別地,常數和無窮小量的乘積也為無窮小量。
5、恆不為零的無窮小量的倒數為無窮大,無窮大的倒數為無窮小。
常用等價無窮小
當x→0時,
sinx~x
tanx~x
arcsinx~x
arctanx~x
1-cosx~1/2x^2
a^x-1~xlna
8樓:匿名使用者
sinx-tanx的等價無窮小是-x^3/2.因為lim sinx-tanx/-x^3/2=1(可用洛必答法則證明)
9樓:匿名使用者
三角變換後使用基本的等價無窮小替換
高等數學 arctanx與x等價無窮小的證明
10樓:匿名使用者
計算步奏如下圖所示:
如果您的問題得到解決,請選為滿意答案
11樓:匿名使用者
解:設arctanx=t,
則tant=x,且x→0時,t→0.
∴lim[(arctanx)/x]
=lim[t/(tant)]
=lim[(cost)/((sint)/t)]=[lim(cost)]/[lim((sint)/t]=1/1=1.
高數 利用等價無窮小的性質,求下列極限求下解題步驟,還有思路的問題,謝謝,我感覺我要掛樹上了
x趨於0時,tan3x 3x 所以這題答案是3 2 高數 利用等價無窮小的性質,求下列極限 這道題看不懂,求下解題思路和步驟!謝謝!sin x n x n sinx m x m n m時,答案等於1 n m時,答案等於0 n 高數 利用等價無窮小的性質,求下列極限 好複雜的式子,從哪下手。所以分母第...
什麼是等價的無窮大量,高等數學等價問題,x趨於無窮大時, 2 arctanx為什麼等價於1 x?
可以跟等價無窮小做類比,等價無窮小是在x趨於某一個值時,f x 與g x 都是無窮小量,且比值的極限是1,那麼f x 和g x 就是等價無窮小,同理這個等價無窮大就是求 裡滿足第一行的f x 的表示式,因為已知的表示式是級數形式,一般級數形式處理問題麻煩,所以想要轉化成一個具體的函式我猜這是這類題的...
為什麼利用等價無窮小的性質求極限一定要化到乘除法才能用
這是因為等價無窮小實際上是洛比達法則的一種應用,而在洛比達法則中要求f x 不能是加減形式。原因在於等價無窮小的定義 f x g x x a 它的意思是 lim x a f x g x 1.1 而在求極限時利用等價無窮小替換,本質上是做了個變換 將f x 化為 f x g x g x 然後利用極限的...