1樓：
琴生（jensen）不等式：（注意前提、等號成立條件） 設f(x)為凸函式，則f[(x1+x2+……+xn)/n]<=[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n(下凸);f[(x1+x2+……+xn)/n]>=[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n(上凸),稱為琴生不等式（冪平均）。 加權形式為：
f[(a1x1+a2x2+……+anxn)]<=a1f(x1)+a2f(x2)+……+anf(xn)(下凸);f[(a1x1+a2x2+……+anxn)]>=a1f(x1)+a2f(x2)+……+anf(xn)(上凸),其中 ai>=0(i=1,2,……,n),且a1+a2+……+an=1. 凸函式的概念： 【定義】如果函式f(x)滿足對定義域上任意兩個數x1,x2都有(f(x1)+f(x2))/2>=f((x1+x2)/2),那麼f(x)為凹函式，或下凸函式。
【定義】如果函式f(x)滿足對定義域上任意兩個數x1,x2都有(f(x1)+f(x2))/2<=f((x1+x2)/2),那麼f(x)為凸函式，或上凸函式。 同樣，如果不等式中等號只有x1=x2時才成立，我們分別稱它們為嚴格的凹凸函式 琴生不等式說， 對於任意的凸函式f(x)以及其定義域上n個數x1,x2,...,xn,那麼都有(f(x1)+f(x2)+...
+f(xn))/n>=f((x1+x2+...+xn)/n) 對於任意的凹函式f(x)以及其定義域上n個數x1,x2,...,xn,那麼都有(f(x1)+f(x2)+...
+f(xn))/n<=f((x1+x2+...+xn)/n) 如果上面凹凸是嚴格的，那麼不等式的等號只有x1=x2=...=xn才成立 現在我們看看如何證明琴生不等式，下面只對凸函式加以證明。
首先我們對n是2的冪加以證明，用數學歸納法 假設對於n=2^k琴生不等式成立，那麼對於n=2^(k+1) (f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n =((f(x1)+f(x2)+...+f(x(n/2)))/(n/2)+(f(x(n/2+1))+...
+f(xn))/(n/2))/2 >=(f(（(x1+x2+...+x(n/2)）/(n/2))+f((x(n/2+1)+...+xn)/(n/2)))/2 >=f(((（(x1+x2+...
+x(n/2)）/(n/2)+(x(n/2+1)+...+xn)/(n/2)))/2) =f((x1+x2+...+xn)/n) 所以對於所有2的冪，琴生不等式成立。
現在對於一個普通的n,如果n不是2的冪，我們可以找到一個k,使得2^k>n 然後我們設 x(n+1)=x(n+2)=...=x(2^k)=(x1+x2+...+xn)/n 代入2^k階的琴生不等式結論，整理後就可以得到結論。
現在看看如何使用琴生不等式證明平方平均不等式 (x1^2+x2^2+...+xn^2)/n>=[(x1+x2+...+xn)/n]^2 顯然，我們可以檢視函式f(x)=x^2 由於 (f(x1)+f(x2))/2=(x1^2+x2^2)/2=(2x1^2+2x2^2)/4>=(x1^2+x2^2+2x1x2+(x1-x2)^2)/4>=(x1^2+x2^2+2x1x2)/4=((x1+x2)/2)^2 所以f(x)=x^2是凸函式 所以我們可以得到，對於任意x1,x2,...
,xn, 有(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n>=f((x1+x2+...+xn)/n) 也就是n階平方平均不等式。
從上面證明過程我們知道通常情況用初等方法判斷函式的凹凸性比較麻煩。 不過如果利用數學分析我們可以有個非常方便的結論。 如果f(x)二階可導，而且f''(x)>=0,那麼f(x)是凸函式 如果f(x)二階可導，而且f''(x)<=0,那麼f(x)是凹函式 至於這個證明，只要使用f(x)的泰勒式，利用其二階餘項就可以證明的。
（或者構造一個函式採用中值定理） 有了這個結論以後，使用琴生不等式就非常方便了， 現在我們可以非常容易的證明一般情況的平均不等式 比如 i)(x1^t+x2^t+...+xn^t)/n>=((x1+x2+...+xn)/n)^t, (t>1時） ii)(x1^t+x2^t+...
+xn^t)/n<=((x1+x2+...+xn)/n)^t, (0=x1x2*...*xn 其中前面兩個取f(x)=x^t就可以了 後面一個取f(x)=log(x)就可以了。
2樓：
若f為凹函式，即f』』<=0，且有a1+a2+a3+a4+……+an=1成立，則：
f(a1*x1+a2*x2+a3*x3+……+an*xn)>=a1*f(x1)+a2*f(x2)+……+an*xn
恆成立。
證明：不是一般性，令xi<=x(i+1),
(1)首先證明當n=2時，f[a1*x1+(1-a1)*x2]>=a1*f(x1)+(1-a1)*f(x2)成立
欲證上式成立，即證明[a1+(1-a1) ]*f[a1*x1+(1-a1)*x2] >=a1*f(x1)+(1-a1)*f(x2)成立，移項併合並同類項後上式可變為：
a1*>=(1-a1)* （1）
根據羅爾中值定理，有：[f(x)-f(x』)]/(x-x』)=f』(y),x==(1-a1)*f』(y2)*a1*(x2-x1),其中y2>=y1。由f』』<=0可得，f』(y1)>=f』(y2)，因此（1）式成立。
（注：麥克勞林只有在（x2-x1)趨於零時成立，因此，此處不能使用麥克勞林公式）。
（2）證明n=2^k(k為正整數)時命題成立，首先證明n=4時原命題成立，則由（1）可得：
（a1+a2）*f[a1/(a1+a2)*x1+a2/(a1+a2)*x2]>=(a1+a2)*[a1/(a1+a2)f(x1)+a2/(a1+a2)*f(x2)] (2)
（a3+a4）*f[a3/(a3+a4)*x3+a4/(a3+a4)*x4]>=(a3+a4)*[a3/(a3+a4)f(x3)+a4/(a3+a4)*f(x4)] (3)
將上述（2）式與（3）式同時除以（a1+a2+a3+a4），再次利用（1）式可得：
f[a1/(a1+a2+a3+a4)*x1+a2/( a1+a2+a3+a4)*x2+a3/( a1+a2+a3+a4)*x3+ a4/( a1+a2+a3+a4)*x4]
>=(a1+a2)/(a1+a2+a3+a4)* f[a1/(a1+a2)*x1+a2/(a1+a2)*x2]+
（a3+a4）/(a1+a2+a3+a4)*f[a3/(a3+a4)*x3+a4/(a3+a4)*x4] (4)
由於a1+a2+a3+a4=1，因此（4）式左邊部分即為f(a1*x1+a2*x2+a3*x3+a4*x4)，右邊部分即為a1*f(x1)+a2*f(x2)+a3*f(x3)+a4*f(x4)，n=4時，命題得證。同理可從最底層開始運用公式（1）證明n=2^k(k<>1且k<>2)的情形依然成立。
（3）當n<>2^k時，可將ai*xi分成m個部分， 即m個ai/m*xi之和，使得n+(m-1)=2^k，再利用上式便可直接得到原命題。
（4）當ai均趨向於0時，取其極限形式，便可證明f[e(x)]>=e[f(x)]，將f函式符號改為u符號，即得微觀經濟學中馮諾依曼期望效用的一個不等式。
用數學歸納法證明此不等式
3樓：晴天雨絲絲
(1)n=1時，
左邊=1，右邊=1/2，左邊》右邊，
此時不等式成立.
(2)假設n=k時不等式成立，即
1+1/3+1/5+...+1/(2k-1)>k/2，則n=k+1時，
1+1/3+1/5+...+1/(2k-1)+1/(2k+1)>k/2+(k+1)/2.
而k/2+(k+1)/2>(k+1)/2，的n=k+1時，不等式也成立.
綜上知，原不等式成立。
題目有點問題.
1+1/2+1/3+...是調和數列，通項an=1/n;
但通項an=1/(2n-1)是分母為奇數的數到，即an=1+1/3+1/5+1/7+...+1/(2n-1).
請樓主檢查原題目。
用數學歸納法證明不等式1/(n+1)+1/(n+2)+…+1(n+n)>/13/24
4樓：良駒絕影
第n個是：從分母是n＋1開始加，一直要加n個。
所以，當n=1時，應該是從分母為2開始加，一共加一個！！
你的理解正確。支援！！！
5樓：
n表示任意的自然數，必須證明對任意n成立。
6樓：生物化學與分
因為你這個要一直加到n+n，只有到這個式子時才是到了n的運算了
利用數學歸納法證明不等式1+12+13+…+12n?1＜f（n）（n≥2，n∈n*）的過程中，由n=k變到n=k+1時，左邊增
7樓：特雷西
用數學歸納法證明等式1+12+1
3+…+1n?1
＜f（n）（n≥2，n∈n*）的過程中，
假設n=k時不等式成立，左邊=1+12+13+…+1k?1
，則當n=k+1時，左邊=1+12+1
3+…+1k?1
+1k+…+1
k+1?1
，∴由n=k遞推到n=k+1時不等式左邊增加了：1k+1k+1
+…+1
k+1?1
，故答案為：1k+1
k+1+…+1
k+1?1．
用數學歸納法證明均值不等式的詳細步驟
8樓：
數學歸納法適用於證明可列（也稱可數：即問題和1,2,3,4……相對應）類問題，平均值不等式不是這類問題，所以不適宜用數學歸納法來證明。
利用數學歸納法證明不等式1+1/2+1/3+…+1/ 2n-1＜f（n）（n≥2，n∈n*）的過程 10
9樓：777簡簡單單
n=k=2，
比如 n=2時，1+1/2+1/3
n=3時，1+1/2+1/3+【1/4+1/5】，多2項選b
用數學歸納法證明不等式1+1/2+1/3+......1/2^n次方在減1
10樓：o拉
證明：(1)當n=1時，左邊=1+1/2-1=1/2<1 不等式成立
(2)假設當n=k時不等式成立，即：1+1/2+1/3+......1/2^k-1>k成立。
那麼，當n=k+1時，左邊=1+1/2+1/3+......1/2^k + 2的k次方+1分之1+....+2的k+1次方
利用歸納假設：上式 > k + 2的k次方+1分之1+....+2的k+1次方。
注意：2的k次方+1分之1+....+2的k+1次方，這中間共有2的k次方項。
若能證明：2的k次方+1分之1+....+2的k+1次方<1，那麼即可證明1+1/2+1/3+......1/2^k + 2的k次方+1分之1+....+2的k+1次方1成立
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