設素數p2。證明x44modp有解的充

1樓：匿名使用者

^很顯然這是一道原來根題。設g為p的一自個原根，那麼p的簡化剩餘系可表示為g^0,g^1,g^2,...,g^phi(p)。

當然還有個小地方沒解釋，這個同餘方程的解肯定是在p的簡化剩餘系中的，我想這個你要是也不知道的話估計更不知道什麼是原根了，你自己想哦。方程轉化為(g^i)^4≡-1。而-1在原根中的唯一表示是g^(phi(p)/2)。

那麼方程再次轉化為(g^i)^4≡g^(phi(p)/2)。由原根指數的性質知：4i≡phi(p)/2(mod phi(p))。

這樣就證明了8|phi(p)，那麼p就有形如8k+1了。呵呵

數論急求，**等，有追加：假設p是一個奇素數。證明同餘方程x^4≡-1(mod p)有解當且僅當p形如8k+1

2樓：匿名使用者

很顯然這是一道原根題。設g為p的一個原根，那麼p的簡化剩餘系可表示為g^專0,g^1,g^2,...,g^phi(p)。

當然還有個小地方沒屬解釋，這個同餘方程的解肯定是在p的簡化剩餘系中的，我想這個你要是也不知道的話估計更不知道什麼是原根了，你自己想哦。方程轉化為(g^i)^4≡-1。而-1在原根中的唯一表示是g^(phi(p)/2)。

那麼方程再次轉化為(g^i)^4≡g^(phi(p)/2)。由原根指數的性質知：4i≡phi(p)/2(mod phi(p))。

這樣就證明了8|phi(p)，那麼p就有形如8k+1了。呵呵

證明：若p為素數且p≡1(mod 4),則{[（p-1)/2]!}^2+1≡0(mod p),請大師幫幫忙，謝謝！

3樓：匿名使用者

這是著名的euler準則的一部分。

對任意整數1<=i<=p-1,總存在惟一的整數j有回i*j用p除餘數為b，由於答b是p的二次非剩餘,故i不等於j，因此1,2,…,p-1分為(p-1)/2對，每對之積同餘b，故有

(p-1)! 同餘b^((p-1)/2),由wilson定理可知(p-1)!又同餘-1，故得b^((p-1)/2)=-1 (mod p)

設p是素數,a是整數,(a,p)=1,證明:存在整數u,v,(u,v)=1,使u^2+a*u^2=0(modp)的充要條件是-a是模p的二次剩餘

4樓：西域牛仔王

^充分性：因為 -a 是模 p 的二次剩餘，因此方程 x^2≡ -a(mod p) 有解，設 u^2≡ -a(mod p) ，

則 u^2+a≡u^2+a*1^2≡0(mod p) 。因此存在整版數 u、v 滿足權條件。

必要性：由（u，v）=1 及 u^2+a*v^2≡0(mod p) 得（p，v）=1 ，

因此存在整數 v1 使 vv1≡1(mod p) ，在已知等式中，兩邊同乘以 v1^2 得 (uv1)^2+a(vv1)^2≡(uv1)^2+a≡0(mod p) ，

即 (uv1)^2≡ -a(mod p) ，這說明 -a 是模 p 的二次剩餘。