1樓:匿名使用者
均值不等式的n元形式啊
(a1+a2+...+an)/n≥(a1a2...an)^(1/n),n是個數.這道題個數不就是m1+m2+...+mk嗎
均值不等式的推廣式證明
2樓:匿名使用者
用數學歸納法證bai明du,需要一個輔助結論。
zhi引理:設
daoa≥0,b≥0,則(a+
內b)n≥an+nan-1b。
注:引理的正確容性較明顯,條件a≥0,b≥0可以弱化為a≥0,a+b≥0,有興趣的同學可以想想如何證明(用數學歸納法)。
原題等價於:((a1+a2+...+an )/n)n≥a1a2...an。
當n=2時易證;
假設當n=k時命題成立,即
((a1+a2+...+ak )/k)k≥a1a2...ak。那麼當n=k+1時,不妨設ak+1是a1,a2 ,...,ak+1中最大者,則
k ak+1≥a1+a2+...+ak。
設s=a1+a2+...+ak,
((a1+a2+...+ak+1)/(k+1))k+1=(s/k+(k ak+1-s)/(k(k+1)))k+1≥(s/k)k+1+(k+1)(s/k)k(k ak+1-s)/k(k+1) 用引理
=(s/k)k ak+1
≥a1a2...ak+1。用歸納假設
均值不等式有那些形式和推廣
3樓:夏戀心雨
均值不等
式幾個重要不等式(一)
一、平均值不等式
設a1,a2,..., an是n個正實數,則,當且僅當a1=a2=...=an時取等號
1.二維平均值不等式的變形
(1)對實數a,b有a2+b232ab (2)對正實數a,b有
(3)對b>0,有, (4)對ab2>0有,
(5)對實數a,b有a(a-b)3b(a-b) (6)對a>0,有
(7) 對a>0,有 (8)對實數a,b有a232ab-b2
(9) 對實數a,b及l10,有
二、例題選講
例1.證明柯西不等式
證明:法
一、若或命題顯然成立,對10且10,取
代入(9)得有
兩邊平方得
法二、,即二次式不等式恆成立
則判別式
例2.已知a>0,b>0,c>0,abc=1,試證明:
(1)(2)證明:(1)左=
= 3(2)由知
同理:相加得:左3
例3.求證:
證明:法
一、取,有
a1(a1-b)3b(a1-b), a2(a2-b)3b(a2-b),..., an(an-b)3b(an-b)
相加得(a12+ a22+...+ an2)-( a1+ a2+...+ an)b3b[(a1+ a2+...+ an)-nb]30
所以 法
二、由柯西不等式得: (a1+ a2+...+ an)2=((a1×1+ a2×1+...+ an×1)2£(a12+ a22+...+ an2)(12+12+...+12)
=(a12+ a22+...+ an2)n,
所以原不等式成立
例4.已知a1, a2,...,an是正實數,且a1+ a2+...+ an<1,證明:
證明:設1-(a1+ a2+...+ an)=an+1>0,
則原不等式即nn+1a1a2...an+1£(1-a1)(1-a2)...(1-an)
1-a1=a2+a3+...+an+13n
1-a2=a1+a3+...+an+13n
................................................
1-an+1=a1+a1+...+an3n
相乘得(1-a1)(1-a2)...(1-an)3nn+1
例5.對於正整數n,求證:
證明:法
一、 >
法二、左=
= 例6.已知a1,a2,a3,...,an為正數,且,求證:
(1)(2)證明:(1)
相乘左邊3=(n2+1)n
證明(2)
左邊= -n+2(
= -n+2×[(2-a1)+(2-a2)+...+(2-an)](
3 -n+2×n
參考資料
如何證明均值不等式
4樓:匿名使用者
^【均值不等式的簡介】
概念:1、調和平均數:hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)
2、幾何平均數:gn=(a1a2...an)^(1/n)=n次√(a1*a2*a3*...*an)
3、算術平均數:an=(a1+a2+...+an)/n
4、平方平均數:qn=√ [(a1^2+a2^2+...+an^2)/n]
這四種平均數滿足hn≤gn≤an≤qn
a1、a2、... 、an∈r +,當且僅當a1=a2= ... =an時取「=」號
均值不等式的一般形式:設函式d(r)=[(a1^r+a2^r+...an^r)/n]^(1/r)(當r不等於0時);
(a1a2...an)^(1/n)(當r=0時)(即d(0)=(a1a2...an)^(1/n))
則有:當r 注意到hn≤gn≤an≤qn僅是上述不等式的特殊情形,即d(-1)≤d(0)≤d(1)≤d(2) ●【均值不等式的變形】 (1)對正實數a,b,有a 5樓:匿名使用者 用數學歸納法證明,需要一個輔助結論。 引理:設a≥0,b≥0,則(a+b)^n≥a^n+na^(n-1)b。 注:引理的正確性較明顯,條件a≥0,b≥0可以弱化為a≥0,a+b≥0,有興趣的同學可以想想如何證明(用數學歸納法)。 原題等價於:((a1+a2+...+an )/n)^n≥a1a2...an。 當n=2時易證; 假設當n=k時命題成立,即 ((a1+a2+...+ak )/k)^k≥a1a2...ak。那麼當n=k+1時,不妨設a(k+1)是a1,a2 ,...,a(k+1)中最大者,則 k a(k+1)≥a1+a2+...+ak。 設s=a1+a2+...+ak, ^(k+1) =^(k+1) ≥(s/k)^(k+1)+(k+1)(s/k)^k[k a(k+1)-s]/k(k+1) 用引理 =(s/k)^k* a(k+1) ≥a1a2...a(k+1)。用歸納假設 數學歸納法簡單易懂,不懂再問~ 均值不等式的推廣 6樓:匿名使用者 亂講幾句......均值不等式是n個正實數的算術平均大於或等於幾何平均,數的個數n應該不能是正實數吧。如果非要推廣可以去看冪平均不等式...... 7樓:莫範裘碧琴 這要反向 數學歸納法 很複雜的 前幾天競賽老師講過忘了 8樓:遲賢改代靈 你會用到均值不等式推廣的證明,估計是搞競賽的把對n做反向數學歸納法 首先歸納n=2^k的情況 k=1。。。 k成立k+1 。。。這些都很簡單的用a+b>=√(ab)可以證明得到 關鍵是下面的反向數學歸納法 如果n成立 對n-1, 你令an=(n-1)次√(a1a2...a(n-1)然後代到已經成立的n的式子裡,整理下就可以得到n-1也成立。 所以得證 n=2^k中k是什麼範圍 k是正整數 第一步先去歸納2,4,8,16,32 ...這種2的k次方的數 一般的數學歸納法是知道n成立時,去證明比n大的時候也成立。 而反向數學歸納法是在知道n成立的前提下,對比n小的數進行歸納, 按照等式方程一樣解。不同的是解出來的答案有區間。比如 x 2 x 3 0，你就可以把它當成 x 2 x 3 0來解，解出x 2或x 3。此時看符號 此題是大於號 那麼就取所得解的兩邊，即x 3並上x 2就是此題的解。相反地，如果是小於號 x 2 x 3 0，此時的解就是 3 總之就是一條規律，當未知... 1 二維形式 公式變形 2 向量形式 3 三角形式 4 概率論形式 5 積分形式 擴充套件資料專 關於柯西屬不等式積分形式的證明 首先構造一個二次函式，所以該二次函式與x軸至多一個交點，即 當且僅當f x 與g x 線性相關時,等號成立。柯西不等式經過不斷完善和推廣，已經以多種形式存在，在數學領域中... 少了個括號,若沒有括號值域是r y x x 3 2 x 4 x 1 x 1 x 2 x 1 3x 1 2 1 x x 3x 1 x 計算值域 x 1的時候，變換為 原式 1 2 分子 版應用均值不等權式 1 2 2 3 3 12 僅當 x 1 x x x 1 x 5 1 2 而且注意到x 1的時候，...不等式方程怎麼解，這個不等式方程要怎麼解
柯西不等式的常見形式
利用均值不等式求y x x 3 2 x 4 x 2 1 的值