1樓:新野旁觀者
1的立方加2的立方=(1+2)的平方
1的立方加2的立方+3的立方=(1+2+3)的平方..................................................................1的立方加2的立方一直加到n的立方=(1+2+3+......+n)的平方
1的平方加2的平方一直加到n的平方等於多少
2樓:千山鳥飛絕
12+22+32+......+n2=n(n+1)(2n+1)/6。可以用(n+1)3-n3=3n2+3n+1累加得到。
證明過程:
根據立方差公式(a+1)3-a3=3a2+3a+1,則有:
a=1時:23-13=3×12+3×1+1
a=2時:33-23=3×22+3×2+1
a=3時:43-33=3×32+3×3+1
a=4時:53-43=3×42+3×4+1.·
·a=n時:(n+1)3-n3=3×n2+3×n+1
等式兩邊相加:
(n+1)3-1=3(12+22+32+······+n2)+3(1+2+3+······+n)+(1+1+1+······+1)
3(12+22+32+······+n2)=(n+1)3-1-3(1+2+3+.+n)-(1+1+1+.+1)
3(12+22+32+······+n2)=(n+1)3-1-3(1+n)×n÷2-n
6(12+22+32+······+n2)=2(n+1)3-3n(1+n)-2(n+1)=(n+1)[2(n+1)2-3n-2]
=(n+1)[2(n+1)-1][(n+1)-1]=n(n+1)(2n+1)
所以12+22+······+n2=n(n+1)(2n+1)/6。
3樓:丙英萊念雙
n(n+1)(2n+1)/6
方法有很多種,這裡就介紹一個我覺得很好玩的做法想像一個有圓圈構成的正三角形,
第一行1個圈,圈內的數字為1
第二行2個圈,圈內的數字都為2,
以此類推
第n行n個圈,圈內的數字都為n,
我們要求的平方和,就轉化為了求這個三角形所有圈內數字的和。設這個數為r
下面將這個三角形順時針旋轉60度,得到第二個三角形再將第二個三角形順時針旋轉60度,得到第三個三角形然後,將這三個三角形對應的圓圈內的數字相加,我們神奇的發現所有圈內的數字都變成了2n+1而總共有幾個圈呢,這是一個簡單的等差數列求和1+2+......+n=n(n+1)/2
於是3r=[n(n+1)/2]*(2n+1)r=n(n+1)(2n+1)/6
4樓:匿名使用者
12+22+32+.+n2=n(n+1)(2n+1)/6
證明如下:
(a+1)3-a3=3a2+3a+1(即(a+1)3=a3+3a2+3a+1)
a=1時:23-13=3×
12+3×1+1
a=2時:33-23=3×22+3×2+1
a=3時:43-33=3×32+3×3+1
a=4時:53-43=3×42+3×4+1
.a=n時:(n+1)3-n3=3×n2+3×n+1
等式兩邊相加:
(n+1)3-1=3(12+22+32+.+n2)+3(1+2+3+.+n)+(1+1+1+.+1)
3(12+22+32+.+n2)=(n+1)3-1-3(1+2+3+.+n)-(1+1+1+.+1)
3(12+22+32+.+n2)=(n+1)3-1-3(1+n)×n÷2-n
6(12+22+32+.+n2)=2(n+1)3-3n(1+n)-2(n+1)
=(n+1)[2(n+1)2-3n-2]
=(n+1)[2(n+1)-1][(n+1)-1]
=n(n+1)(2n+1)
∴12+22+.+n2=n(n+1)(2n+1)/6.
5樓:水和正瀧實
平方和公式n(n+1)(2n+1)/6
即1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6(注:n^2=n的平方)
證明1+4+9+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6證法一(歸納猜想法):
1、n=1時,1=1(1+1)(2×1+1)/6=12、n=2時,1+4=2(2+1)(2×2+1)/6=53、設n=x時,公式成立,即1+4+9+...+x2=x(x+1)(2x+1)/6
則當n=x+1時,
1+4+9+...+x2+(x+1)2=x(x+1)(2x+1)/6+(x+1)2
=(x+1)[2(x2)+x+6(x+1)]/6=(x+1)[2(x2)+7x+6]/6
=(x+1)(2x+3)(x+2)/6
=(x+1)[(x+1)+1][2(x+1)+1]/6綜上所述,平方和公式1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6成立,得證
6樓:心動
^12+22+32+......+n2=n(n+1)(2n+1)/6。可以用(n+1)3-n3=3n2+3n+1累加得到。
1^2+2^2+3^2+..+n^2=利用立方差公式n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
拓展資料:
推導公式 n-(n-1)=3n-3n+1,(n-1)-(n-2)=3(n-1)-3(n-1)+1 寫出1到n-1的式子,將這n-1個式子疊加得 n-1=3[n+(n-1)+......+2)]-3[n+(n-1)+......+2]+n-1 由此不難得出1+2+......(n-1)=(n-1)n(2n-1)/6。
7樓:莫小雨威秉
^^利用恆等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1,可以得到:
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1...3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+12^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.
把這n個等式兩端分別相加,得:
(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
由於1+2+3+...+n=(n+1)n/2,代人上式得:
n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(n+1)n/2+n
整理後得:
1^2+2^2+3^2+....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
8樓:明凱無敵瞎
我來一個不同的:sn=12+22+32+......+n2sn是一個
遞增函式,對sn求導=2·1+2·2+.....+2·n=n(n-1),是一個二次函式型,所以大膽猜測sn是一個三次函式型,於是假設sn=an3+bn2+**+d,把s1=1,s2=5,s3=14,s4=30代入sn得出四個方程式,求出sn=1/3n3+1/2n2+1/6n,把s5代入驗證是正確的!但畢竟是猜的,所以要證明,證明方法如下:
當n=1時此等式成立,n=2時也成立。
假設當n=k時(n>1)也成立,即
sk=1/3k3+1/2k2+1/6k,只需證明n=k+1時也成立即可,又sk+1-sk=(k+1)2,是成立的所以原等式成立。
9樓:福波蔡幼萱
由12+22+32+.+n2=n(
n+1)(2n+1)/6
∵(a+1)3-a3=3a2+3a+1(即(a+1)3=a3+3a2+3a+1)
a=1時:23-13=3×12+3×1+1
a=2時:33-23=3×22+3×2+1
a=3時:43-33=3×32+3×3+1
a=4時:53-43=3×42+3×4+1
.a=n時:(n+1)3-n3=3×n2+3×n+1
等式兩邊相加:
(n+1)3-1=3(12+22+32+.+n2)+3(1+2+3+.+n)+(1+1+1+.+1)
3(12+22+32+.+n2)=(n+1)3-1-3(1+2+3+.+n)-(1+1+1+.+1)
3(12+22+32+.+n2)=(n+1)3-1-3(1+n)×n÷2-n
6(12+22+32+.+n2)=2(n+1)3-3n(1+n)-2(n+1)
=(n+1)[2(n+1)2-3n-2]
=(n+1)[2(n+1)-1][(n+1)-1]
=n(n+1)(2n+1)
∴12+22+.+n2=n(n+1)(2n+1)/6.
10樓:郭一甲
西遊記中的數學---1的平方加到n的平方
11樓:疏罡緒暖夢
等於六分之n(n+1)(2n+1)
12樓:曲湃成念寒
12+22+32+...+n2=n(n+1)(2n+1)/6
可以用數學歸納法證明
求解一道數學題:1的立方等於1,1的立方加2的立方等於9,1的立方加2的立方一直加到n的立方等於多少?n為...
13樓:匿名使用者
^^1^du3+2^3+3^3+......+n^zhi3=[n(n+1)/2]^dao2
證明內:
1^3=1^2
1^3+2^3=(1+2)^2
1^3+2^3+3^3=(1+2+3)^2綜上所述,觀察得知容:
1^3+2^3+3^3+......+n^3=(1+2+3+......+n)^2=n^2(n+1)^2/4
當n=1時,結論顯然成立
若n=k時,結論假設也成立
1^3+2^3+3^3+......+k^3=k^2(k+1)^2/4則n=k+1時有
1^3+2^3+3^3+......+k^3+(k+1)^3=k^2(k+1)^2/4+(k+1)^3=(k+1)^2(k^2+4k+4)/4
=(k+1)^2(k+2)^2/4
所以 1^3+2^3+3^3+......+n^3=n^2(n+1)^2/4
14樓:肖瑤如意
1^3 + 2^3 + ...... n^3 = [n (n+1) / 2]^2
=(1+2+......+n)^2
=[n(n+1)/2]^2
15樓:寒冰之王
1的立方+2的立方+2的立方+3的立方+。。。+n的立方=(1+2+3+。。。+n)的平方=(二分之一乘以(1+n)乘以n)的平方
16樓:匿名使用者
=(1+2+3+....+n)^2
=[(1+n)n/2]^2
公式,不解釋,太複雜了
17樓:張令愛我
(1+2+3+......+n)的平方可以用數學歸納法證明的
18樓:暮絨合若
[n(n+1)/2]^2
19樓:巧蓮花
1^3+2^3+3^3......=(1+2+3......)^2
20樓:匿名使用者
(1+2+...+n)的平方
數列求和1的立方+2的立方+3的立方+++一直加到n的立方結果是多少,怎樣證明?
21樓:新野旁觀者
^1^抄3+2^3+3^3+......+n^3=[n(n+1)/2]^2證明:1^3=1^2
1^3+2^3=(1+2)^2
1^3+2^3+3^3=(1+2+3)^2綜上所述,觀察得知:
1^3+2^3+3^3+......+n^3=(1+2+3+......+n)^2=n^2(n+1)^2/4
當n=1時,結論顯然成立
若n=k時,結論假設也成立
1^3+2^3+3^3+......+k^3=k^2(k+1)^2/4則n=k+1時有
1^3+2^3+3^3+......+k^3+(k+1)^3=k^2(k+1)^2/4+(k+1)^3=(k+1)^2(k^2+4k+4)/4
=(k+1)^2(k+2)^2/4
所以1^3+2^3+3^3+......+n^3=n^2(n+1)^2/4
1一直加到12等於多少呢，1加2加3一直,加到672,等於多少呢
題bai目 1一直加到du12等於多少呢 解析 可zhi以先找規律dao 然後利用內簡便方法來計 算。解容答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 12 2 11 3 10 4 9 5 8 6 7 13 6 78 是1 2 3 4 5 6.這樣一直加下去嗎？等於12.1加2加3一...
1的立方根是 1嗎，1的立方根是多少
立方根等於他本身的數有，0,1，1 在實數範圍內是 在複數範圍內還有1 2 3 2i,1 2 3 2i 是。1的立方根是 1 1 1 1 自己算.1的立方根是多少 是1，1的平方根也是1,1的4次方根也是1，同理1的n次方根同樣是1。1的奇數平方根是1，但是1的偶數平方根是正負1，1的算術偶數平方根...
利用1的立方根，求下列實數的立方根（1）
1 x 3 1 0,設x1 x2 x3是1的三個立方根，x 1 x 2 x 1 0,x1 1,x2 1 2 3i 2,x3 1 2 3i 2,2 1 8 1 3 x1 1 2,x2 1 2 1 2 3i 2 1 4 3i 4,x3 1 2 1 2 3i 2 1 4 3i 4,27 1 3 x1 3,...