1樓：匿名使用者
a一定正交相似於對角陣，而討論對角陣的正定性比較簡單。經濟數學團隊幫你解答，請及**價。謝謝！
設a是n階實對稱矩陣,證明a是正定矩陣的充分必要條件是a的特徵值都大於0
2樓：匿名使用者
證: a是n階實對稱矩陣, 則存在正交矩陣p, p'=p^-1滿足: p'ap = diag(a1,a2,...
,an). 其中a1,a2,...,an是a的全部特徵值
則a對應的二次型為:
f = x'ax
令 x=py 得
f = y'p' apy = y'diag(a1,a2,...,an)y = a1y1^2+...+any^n
所以 a正定 <=> f 正定 <=> ai>0.
即 a是正定矩陣的充分必要條件是a的特徵值都大於0.
滿意請採納^_^
3樓：點爺
不好意思啊，我才高中畢業。
為什麼對稱矩陣為正定矩陣的充要條件是所有的特徵值都大於0
4樓：庸詘皇
實對稱矩陣正交相似於對角矩陣
即與對角矩陣合同
而對角矩陣的主對角線上的元素即a的特徵值
所以對稱矩陣a正定 a的特徵值都大於0
5樓：電燈劍客
用正交相似變換把這個實對稱矩陣對角化就行了
證明 實對稱矩陣是正定矩陣的充要條件是它的特徵值都是正數
6樓：匿名使用者
1.高等代數上有個定理：對於任意一個n級實對稱矩陣a都存在一個n級正交矩 陣t，使t'at成對角型，而對角線上的元素就是它的特徵根。由此，開證，
（1）充分性：當對稱矩陣a的特徵根都為正數時，對角型矩陣t'at對角線上的元素均為正數，所以t'at為正定矩陣，又t為正交陣，所以a是正定陣。
（2）必要性：由於對稱矩陣a是正定矩陣，所以存在一個正交矩陣t，使t'at成對角型的對角線上的元素均為正值，而對角線上的元素又為a的所有特徵值，即a的特徵值均為正數。
你好，希望能夠幫到你。
7樓：真富貴考釵
這個問題首先要知道什麼是正定陣,以及實對稱矩陣的性質.
第一正定陣定義:a正定,就是任意非零列向量x,x'ax>0[這裡注意x'ax按照矩陣乘法後是一個數,既不是矩陣也不是向量]
第二譜分解定理:實對稱矩陣a,存在正交矩陣p,使得
p'ap為對角形,對角線上是a的n個特徵值,即p'ap=diag.
我們先來證明充分性
a實對稱,則存在正交矩陣p'ap=diag,對角線上是n個特徵值.
當對角線上特徵值全是正數時:對任意的非零向量x,y=px(此時x和y一一對應).則y'ay=x'p'apx=x'diagx
此時x'diagx按照矩陣乘法,可見是正數.這就說明了這樣一個結論:任意非零向量y,令x=p逆y,則y'ay>0,滿足正定定義.
反之,當a正定時,任意的向量尤其列向量x=(1,0...0)',令y=px,那麼y'ay=x'p'apx=x'diagx=k1(對角陣的第一個元素,也就是a的第一個特徵...則存在正交矩陣p',則y',令y=px;ay>,2)位(3..
;0[這裡注意x',所以k1>:實對稱矩陣a;ap為對角形,就會有對角陣上(2..,以及實對稱矩陣的性質,對角線上是n個特徵值;,這個問題首先要知道什麼是正定陣;diagx
此時x',因此n個特徵值都大於0,令x=p逆y;0;ay>,1;apx=x',3)位直到(n,存在正交矩陣p,1)..
一下分別取x=(0;p',就是任意非零列向量x;0,當a正定時.
本題的關鍵是要會運用正定性的定義(非零向量x的任意性.
反之;p'.
第一正定陣定義,可見是正數,n)位的元素是正數.0)'.這就說明了這樣一個結論;ay=x'ap=diag;0:對任意的非零向量x;apx=x'.
我們先來證明充分性
a實對稱,y=px(此時x和y一一對應):任意非零向量y,對角線上是a的n個特徵值;ay=x',也就是a的第一個特徵值).則y'.
0)',x',,滿足正定定義,二次型是個數),;ap=diag;diagx按照矩陣乘法:a正定,0.按照正定定義y'..
,譜分解定理(p是由a唯一決定的;ax>.
當對角線上特徵值全是正數時,即p'.,那麼y',任意的向量尤其列向量x=(1;直到x=(0,0,既不是矩陣也不是向量]
第二譜分解定理;diagx=k1(對角陣的第一個元素,使得
p'ax按照矩陣乘法後是一個數
正定的充要條件有a對稱可逆這條件嗎？我覺得直接第二步全部特徵值大於0就可以了
8樓：匿名使用者
正定矩陣的概念是從正定二次型引出的。二次型的矩陣是對稱矩陣。
故 a 若是正定矩陣，則 a 對稱、可逆。
如果a是n階正定矩陣,但題沒說是對稱矩陣,我能認為它的特徵值都大於零嗎
9樓：1414嘛
對！正定矩陣屬於二次型矩陣，二次型矩陣必是對稱矩陣！
根據正定性的定義，如果正定，其特徵值必全大於零。
10樓：匿名使用者
正定矩陣的定義即為對稱矩陣；
正定矩陣的特徵值全為正數。
11樓：電燈劍客
這個要問出題目的人。
很多人不知道非hermite的正定矩陣，有時候出題人也屬於這一類，所以很多情況下你可以預設hermite性。
你如果精力充沛的話不妨對每個命題都不考慮hermite性，然後證明或者找個反例。
為什麼若a是正定矩陣，則a的特徵值λ都>0.
12樓：
正定矩陣的定義就是：正慣性指數等於n，負慣性指數為0，而正慣性指數的意思就是特徵值中正數的個數。所以，很顯然啊，a正定的話，當然所有的特徵值都為正咯。
a,b為正定矩陣，證：ab的特徵值全部大於零。
13樓：匿名使用者
首先說一下，pt這裡表示p矩陣的轉置,p-1表示p矩陣的逆矩陣這裡利用 「 實對稱矩陣a為正定矩陣的充要條件為：存在可逆矩陣p，使得
a=ptp 」 來證明
已知a,b均正定，則存在可逆矩陣p，q使得a = ptp
b = qtq
q(ab)q-1 = q(ptp)(qtq)q-1=qptpqt = (pqt)t(pqt)
p,q均可逆,所以pqt也為可逆矩陣，
再次利用開始的充要條件，q(ab)q-1為正定矩陣，所有特徵值大於零又因為q為可逆矩陣 所以 ab 與矩陣 q(ab)q-1 相似，所以ab特徵值全大於零
ok，證明完畢，希望對你有幫助
證明實對稱矩陣是正定矩陣的充要條件是它的特徵值都是正數
1.高等代數上有個定理 對於任意一個n級實對稱矩陣a都存在一個n級正交矩 陣t，使t at成對角型，而對角線上的元素就是它的特徵根。由此，開證，1 充分性 當對稱矩陣a的特徵根都為正數時，對角型矩陣t at對角線上的元素均為正數，所以t at為正定矩陣，又t為正交陣，所以a是正定陣。2 必要性 由於...
證明 n級實對稱矩陣A是正定的充分必要條件為有逆實對稱矩陣c
若a是正定的，那麼存在k1,k2,kn 0與正交陣q，使得a qt diag k1,k2,kn q。其中qt代表q的轉置。所以只要令c qtdiag 根號k1,根號k2,根號kn q,那麼就有 c是正交陣並且a c 2 若存在可逆實對稱矩陣c使得a c 2，則c可以用正交陣對角化，即c qtdiag...
實對稱矩陣為正定矩陣的充要條件為什麼是與單位矩陣合同
充分性直接按正定的定義驗證，必要性可以用gauss消去法構造出cholesky分解a ll t。1 實對稱矩陣a的不同特徵值對應的特徵向量是正交的。2 實對稱矩陣a的特徵值都是實數，特徵向量都是實向量。3 n階實對稱矩陣a必可相似對角化，且相似對角陣上的元素即為矩陣本身特徵值。實對稱陣a是正定陣 則...