1樓：包遐思佟黛
若a是正定的，那麼存在k1,k2,...,kn>0與正交陣q，使得a=qt*diag(k1,k2,...,kn)q。其中qt代表q的轉置。
所以只要令c=qtdiag(根號k1,根號k2,...,根號kn)q,那麼就有：c是正交陣並且a=c^2
若存在可逆實對稱矩陣c使得a=c^2，則c可以用正交陣對角化，即c=qtdiag(m1,m2,...,mn)q，其中mi為非0實數
所以a=qtdiag(m1^2,m2^2,...,mn^2)qt為正定陣
2樓：南宮美媛訾詞
①選項a．由a與b合同，知存在可逆矩陣c，使得ctac=b，因此r（a）=r（ctac）=r（b），但反之，不成立，故a錯誤；
②選項b．由於a與b相似，則存在可逆矩陣p，使得p-1ap=b；而a與b合同，是指存在可逆矩陣c，使得ctac=b，p與c、p-1與ct不一定相等，故b錯誤；
③選項c．由於對稱矩陣合同的充分必要條件就是正負慣性指數相同，也就是正負特徵值的個數相同，因此c正確；
④選項d．tr（a）=tr（b）只能說明兩個矩陣的跡相同，即特徵值之和相同，這與兩個矩陣合同毫無關係．
故選：c．
證明：n級實對稱矩陣a是正定的充分必要條件為有逆實對稱矩陣c使得a=c方
3樓：匿名使用者
若a是正定的，那麼存在k1,k2,...,kn>0與正交陣q，使得a=qt*diag(k1,k2,...,kn)q。其中qt代表q的轉置。
所以只要令c=qtdiag(根號k1,根號k2,...,根號kn)q,那麼就有：c是正交陣並且a=c^2
若存在可逆實對稱矩陣c使得a=c^2，則c可以用正交陣對角化，即c=qtdiag(m1,m2,...,mn)q，其中mi為非0實數
所以a=qtdiag(m1^2,m2^2,...,mn^2)qt為正定陣
4樓：勇清妙豐雅
①選項a．由a與b合同，知存在可逆矩陣c，使得ctac=b，因此r（a）=r（ctac）=r（b），但反之，不成立，故a錯誤；
②選項b．由於a與b相似，則存在可逆矩陣p，使得p-1ap=b；而a與b合同，是指存在可逆矩陣c，使得ctac=b，p與c、p-1與ct不一定相等，故b錯誤；
③選項c．由於對稱矩陣合同的充分必要條件就是正負慣性指數相同，也就是正負特徵值的個數相同，因此c正確；
④選項d．tr（a）=tr（b）只能說明兩個矩陣的跡相同，即特徵值之和相同，這與兩個矩陣合同毫無關係．
故選：c．
設a為n階實對稱矩陣，證明：秩（a）=n的充分必要條件為存在一個n階實矩陣b，使ab+bta是正定矩陣
5樓：猴戳滔
|「必要性」bai（?）
利用反證法
du進行證明．
反設：zhir（a）＜n，則|daoa|=0．於是λ=0是a的特專征值，
假設相應的特徵向量為x，即
屬：ax=0（x≠0），
所以：xtat=0．
從而：xt（ab+bta）x=xtabx+xtbtax=0，與ab+bta是正定矩陣矛盾，故假設不成立．所以，秩（a）=n．
「充分性」（?）
因為 r（a）=n，
所以a的特徵值λ1，λ2，…，λn全不為0．取矩陣b=a，則：ab+bta=aa+aa=2a2，它的特徵值為：2λ
，2λ，…，2λ
n全部為正，
所以ab+bta是正定矩陣．
6樓：左陽曜麻夜
首先知bai道一個定理：
a正定du
<=>存在可逆矩陣c，使
zhi得a=c*c的轉置dao
接下來證明你的題：
版因為a正定
所以存在可逆矩陣c，使權得a=c*c的轉置設c的逆的轉置=d
則d可逆，且
a的逆=d*d的轉置
（對上式兩邊取逆就得到了）
所以a的逆也是正定的
而a*a的伴隨=|a|*e
所以a的伴隨=|a|*a的逆
其中|a|是a的行列式，是一個正數
即為一個正數乘以一個正定陣，所以是正定的
n階實對稱矩陣a為正定矩陣的充要條件為什麼是a逆為
7樓：匿名使用者
實對稱陣a正定的充分必要條件是a的特徵值都為正。而a^(-1)的特徵值都是a的特徵值的倒數，所以：a正定<=>a的特徵值為正<=>a^(-1)的特徵值為正<=>a^(-1)正定。
證明實對稱矩陣a為正定矩陣的充要條件是存在可逆矩陣c使a=c^tc
8樓：笪格菲聊義
若a是正定的，那麼抄存在k1,k2,...,kn>0與正交陣baiq，使得a=qt*diag(k1,k2,...,kn)q。其中duqt代表q的轉置。
所以只要
zhi令c=qtdiag(根號k1,根號k2,...,根號kn)q,那麼就有：daoc是正交陣並且a=c^2
若存在可逆實對稱矩陣c使得a=c^2，則c可以用正交陣對角化，即c=qtdiag(m1,m2,...,mn)q，其中mi為非0實數
所以a=qtdiag(m1^2,m2^2,...,mn^2)qt為正定陣
9樓：文代桃汗可
如果a是正定的實對bai稱矩陣。
存在正du交矩陣zhip，有p^tap=b，且b是一個對角線上dao元素均大於零的版對角矩陣。
取權b1^2=b,(b1就是b各對角線上各元素的算術平方根構成的對角矩陣）
記c=b1p，那麼a=c^tc
反過來，a=c^tc，他是實對稱的。且合同與單位矩陣，故他是正定的。
證明 實對稱矩陣是正定矩陣的充要條件是它的特徵值都是正數
10樓：匿名使用者
1.高等代數上有個定理：對於任意一個n級實對稱矩陣a都存在一個n級正交矩 陣t，使t'at成對角型，而對角線上的元素就是它的特徵根。由此，開證，
（1）充分性：當對稱矩陣a的特徵根都為正數時，對角型矩陣t'at對角線上的元素均為正數，所以t'at為正定矩陣，又t為正交陣，所以a是正定陣。
（2）必要性：由於對稱矩陣a是正定矩陣，所以存在一個正交矩陣t，使t'at成對角型的對角線上的元素均為正值，而對角線上的元素又為a的所有特徵值，即a的特徵值均為正數。
你好，希望能夠幫到你。
11樓：真富貴考釵
這個問題首先要知道什麼是正定陣,以及實對稱矩陣的性質.
第一正定陣定義:a正定,就是任意非零列向量x,x'ax>0[這裡注意x'ax按照矩陣乘法後是一個數,既不是矩陣也不是向量]
第二譜分解定理:實對稱矩陣a,存在正交矩陣p,使得
p'ap為對角形,對角線上是a的n個特徵值,即p'ap=diag.
我們先來證明充分性
a實對稱,則存在正交矩陣p'ap=diag,對角線上是n個特徵值.
當對角線上特徵值全是正數時:對任意的非零向量x,y=px(此時x和y一一對應).則y'ay=x'p'apx=x'diagx
此時x'diagx按照矩陣乘法,可見是正數.這就說明了這樣一個結論:任意非零向量y,令x=p逆y,則y'ay>0,滿足正定定義.
反之,當a正定時,任意的向量尤其列向量x=(1,0...0)',令y=px,那麼y'ay=x'p'apx=x'diagx=k1(對角陣的第一個元素,也就是a的第一個特徵...則存在正交矩陣p',則y',令y=px;ay>,2)位(3..
;0[這裡注意x',所以k1>:實對稱矩陣a;ap為對角形,就會有對角陣上(2..,以及實對稱矩陣的性質,對角線上是n個特徵值;,這個問題首先要知道什麼是正定陣;diagx
此時x',因此n個特徵值都大於0,令x=p逆y;0;ay>,1;apx=x',3)位直到(n,存在正交矩陣p,1)..
一下分別取x=(0;p',就是任意非零列向量x;0,當a正定時.
本題的關鍵是要會運用正定性的定義(非零向量x的任意性.
反之;p'.
第一正定陣定義,可見是正數,n)位的元素是正數.0)'.這就說明了這樣一個結論;ay=x'ap=diag;0:對任意的非零向量x;apx=x'.
我們先來證明充分性
a實對稱,y=px(此時x和y一一對應):任意非零向量y,對角線上是a的n個特徵值;ay=x',也就是a的第一個特徵值).則y'.
0)',x',,滿足正定定義,二次型是個數),;ap=diag;diagx按照矩陣乘法:a正定,0.按照正定定義y'..
,譜分解定理(p是由a唯一決定的;ax>.
當對角線上特徵值全是正數時,即p'.,那麼y',任意的向量尤其列向量x=(1;直到x=(0,0,既不是矩陣也不是向量]
第二譜分解定理;diagx=k1(對角陣的第一個元素,使得
p'ax按照矩陣乘法後是一個數
試證明：實對稱矩陣a是正定矩陣的充分必要條件是存在可逆矩陣p,使a=ptp
12樓：匿名使用者
a正定，則存在正交陣q和對角元全是正數的對角陣d，使得a=q^tdq，記c是對角元是d的對角元的平方根的對角陣，即d＝c^2=c^tc，於是a=q^tc^tcq，p=cq是可逆陣。
反之，a=p^tp，則任意的非零向量x，有px非零，於是x^tax=x^tp^tpx=(px)^t(px)=||px||^2>0，滿足正定定義。
證明實對稱矩陣是正定矩陣的充要條件是它的特徵值都是正數
1.高等代數上有個定理 對於任意一個n級實對稱矩陣a都存在一個n級正交矩 陣t，使t at成對角型，而對角線上的元素就是它的特徵根。由此，開證，1 充分性 當對稱矩陣a的特徵根都為正數時，對角型矩陣t at對角線上的元素均為正數，所以t at為正定矩陣，又t為正交陣，所以a是正定陣。2 必要性 由於...
n階實對稱矩陣A為正定矩陣的充要條件為什麼是A逆為正定矩陣
先來一些必bai要的陳述，說明實對稱矩du陣a的逆矩zhi陣也是實對稱矩陣，dao進而能討論正定版的問題。a 1 t a t 1 a 1 所以a的逆權矩陣也是實對稱陣。接下來正式開始證明 可以從特徵值的角度來看。必要性 如果n階實對稱矩陣a為正定矩陣，那麼a的正慣性指數為n，即a的所有特徵值x1,x...
證明 若A是正定矩陣（A一定是對稱矩陣）的充要條件是所有特徵值大於
a一定正交相似於對角陣，而討論對角陣的正定性比較簡單。經濟數學團隊幫你解答，請及 價。謝謝！設a是n階實對稱矩陣,證明a是正定矩陣的充分必要條件是a的特徵值都大於0 證 a是n階實對稱矩陣,則存在正交矩陣p,p p 1滿足 p ap diag a1,a2,an 其中a1,a2,an是a的全部特徵值 ...