1樓：楊俊彬
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整除整除是指整數a除以自然數b除得的商正好是整數而餘數是零．我們就說a能被b整除（或說b能整除a），記作b|a，讀作「b整除a」或「a能被b整除」．它與除盡既有區別又有聯絡．除盡是指數a除以數b（b≠0）所得的商是整數或有限小數而餘數是零時，我們就說a能被b除盡（或說b能除盡a）．因此整除與除盡的區別是，整除只有當被除數、除數以及商都是整數，而餘數是零．除盡並不侷限於整數範圍內，被除數、除數以及商可以是整數，也可以是有限小數，只要餘數是零就可以了．它們之間的聯絡就是整除是除盡的特殊情況．
整除的一些性質為：
（1）如果a與b都能被c整除，那麼a+b與a-b也能被c整除．
（2）如果a能被b整除，c是任意整數，那麼積ac也能被b整除．
（3）如果a同時被b與c整除，並且b與c互質，那麼a一定能被積bc整除．反過來也成立．
下面我們討論能被2，5，3，9，4，25，8，125，11，7，13等數整除的數的特徵．
1．能被2或5整除的數的特徵是：如果這個數的個位數能被2或5整除，那麼這個數就能被2或5整除．也就是說：
一個數的個位數字是0、2、4、6、8時，這個數一定能被2整除．
一個數的個位數字是0、5時，這個數一定能被5整除．
例如 要判斷18762，9685，8760這三個數能否被2或5整除，根據這三個數的個位數字的特點，很快可以判斷出，2|18762，2不能整除9685，2|8760；5不能整除18762，5|9685，5|8760．
2．能被3或9整除的數的特徵是：如果這個數的各個數位上的數字和能被3或9整除，這個數就能被3或9整除．
例如 要判斷47322能否被9整除，由於
47322=40000+7000+300+20+2
=4×（9999＋1）+7×（999+1）+3×（99＋1）+2×（9+1）＋2
=4×9999+7×999+3×99+2×9+4+7+3+2+2
=9×（4×1111+7×111+3×11+2×1）+（4+7+3+2+2）
9一定能整除9×（4×1111+7×111+2×11+2×1），所以要判斷9能否整除47322，只要看9能否整除4+7+3+2+2=18，因為9|18，所以9|47322．可以看到4+7+3+2+2恰好是這個數的各個數位上的數字和．類似的方法我們還可以判斷出3|47322．
3．能被4或25整除的數的特徵是：如果這個數的末兩位數能被4或25整除，這個數就能被4或25整除．
例如 要判斷63950能否被4或25整除，由於
63950=639×100+50，100=4×25，所以100能被4或25整除，根據整除的性質，639×100能被4或25整除，要判斷63950能否被4或25整除，只要看50能否被4或25整除，因為4不能整除50，25|50，所以4不能整除63950，25|63950．可以看出50恰好是63950的末兩位數．
4．能被8或125整除的數的數的特徵是：如果這個數的末三位數能被8或125整除，這個數就能被8或125整除．
例如 要判斷4986576能否被8整除，由於4986576=4986×1000＋576，1000=8×125，所以8|1000，根據整除的性質，8|4986000，要判斷8能否整除4986576，只要看8能否整除576，因為8|576，所以8|4986576．可以看出576恰好是4986576的末三位數．
同理可以判斷這個數不能被125整除．
5．能被11整除的數的特徵是：如果這個數的奇數位上的數字和與偶數位上的數字和的差（大減小）能被11整除，這個數就能被11整除．
奇數位是指從個位起的第1、3、5…位，其餘數位是偶數位．
例如 要判斷64251能否被11整除，由於
64251=6×104＋4×103+2×102+5×10+1
=6×（9999+1）+4×（1000+1-1）+2×（99+1）+5×（10+1-1）+1
=6×（11×909+1）+4×（11×91-1）+2×（11×9+1）+5×（11-1）+1
=[11×（6×909+4×91+2×9+5）]+[（6+2+1）-（4＋5）]
上式第一個中括號內的數能被11整除，要判斷64251能否被11整除，只要（6＋2＋1）-（4＋5）=0能被11整除，因為11|0，所以11|64251，而（6＋2+1）-（4+5）恰好是64251的奇數位上的三個數減去偶數位上的兩個數字．
6．能被7、11、13整除的數的特徵是：如果這個數的末三位數所組成的數與末三位以前的數所組成的數的差（大減小）能被7、11、13整除，這個數就能被7、11、13整除．
例如 要判斷1096823能否被7、11、13整除，由於7×11×13=1001，所以7|1001，11|1001，13|1001
1096823=1096×1000+823
=1096×（1001-1）+823
=1096×1001-（1096-823）
因為1096×1001能被7、11、13整除，要判斷1096823能否被7、11、13整除，只要判斷1096-823=273能否被7、11、13整除，由於7|273，13|273，11不能整除273，所以7|1096823，13|1096823，11不能整除1096823，而1096-823恰好是1096823的末三位以前的數所組成的四位數減去1096823的末三位數所組成的數．
下面舉例說明整除的性質及數的整除特徵的應用．
例1 在□內填上適當的數字，使
（1）34□□能同時被2、3、4、5、9整除；
（2）7□36□能被24整除；
（3）□1996□□能同時被8、9、25整除．
分析：（1）題目要求34□□能同時被2、3、4、5、9整除，因為能被4整除的數一定能被2整除，能被9整除的數一定能被3整除，所以34□□只要能被4、9、5整除，就一定能被2、3、4、5、9整除．先考慮能被5整除的條件．個位是0或5，再考慮能被4整除的條件，由於4不能整除34□5，所以個位必須是0，最後考慮能被9整除的條件，34□0的各個數位上的數字和是9的倍數，3+4+□+0=7+□，這時十位數字只能是2，問題得以解決．
（2）題目要求7□36□能被24整除，24=3×8，而3與8互質，根據整除的性質，考慮被24整除，只要分別考慮被3、8整除就行了．先考慮被8整除的條件，7□36□的末三位數所組成的數36□能被8整除，所以個位數字只能是0或8，當個位數字為0時，由於要求7□360能被3整除，所以7+□+3+6+0=16+□能被3整除，這樣千位數字只能是2或5或8；當個位數字為8時，由於要求7□368能被3整除，所以7+□+3+6+8=24+□能被3整除，這樣千位數字只能是0或3或6或9．
（3）題目要求□1996□□能同時被8、9、25整除，首先考慮能被25整除的條件，□1996□□的末兩位數能被25整除，末兩位數只能是00，25，50，75．其次考慮能被8整除的條件，□1996□□的末三位數字組成的數能被8整除，但600，625，650，675這四個數中，只有600這個數能被8整除．最後□199600這個數能被9整除，其各個數位上的數字和□+1+9+9+9+6+0=25+□能被9整除，所以第七位數字是2．
解：（1）因為34□□能同時被2、3、4、5、9整除，因此只要34□□能同時被4、5、9整除．由於34□□能被5整除，所以個位數字只能是0或5，又因為4不能整除34□5，所以個位必須是0，又34□0能被9整除，3+4+□+0=7+□能被9整除，所以十位數字只能是2．
3420能同時被2、3、4、5、9整除．
（2）因為24=3×8，3與8互質，7□36□被8整除的條件是，7□36□的末三位數所組成的數36□能被8整除，所以個位數字只能是0或8；當個位數字是0時，7□360能被3整除，7+□+3+6+0=16+□能被3整除，所以千位數字只能是2或5或8；當個位數字是8時，7□368能被3整除，7+□+3+6+8=24+□能被3整除，所以千位數字只能是0或3或6或9．
所以所求的數為72360，75360，78360，70368，73368，76368，79368．
（3）因為□1996□□能被25整除，□1996□□的末兩位數能被25整除，這樣末兩位數只能是00，25，50，75；又因為□1996□□能被8整除，但□1996□□的末三位數600，625，650，675這四個數中，只有600能被8整除；而□199600又能被9整除，□+1+9+9+6+0+0=25+□能被9整除，所在第七位數字只能是2．
所以2199600能同時被8、9、25整除．
例2 把915連續寫多少次，所組成的數就能被9整除，並且這個數最小．
分析：要求這個數能被9整除，而9+1+5=15顯然不能被9整除，但3×15能被9整除，因此只要把915連續寫3次，所組成的數就能被9整除，並且這個數最小．
解：因為9+1+5=15，15不能被9整除，而3×15能被9整除，所以只要把915連續寫3次，即915915915必能被9整除，且這個數最小．
例3 希希買了九支鉛筆，兩支圓珠筆，三個練習本和五塊橡皮．她看到圓珠筆每支3角9分，橡皮每塊6分，其餘她沒注意．售貨員要她付3元8角，希希馬上說：「阿姨你算錯了．」請問售貨員的帳算錯了沒有？為什麼？
分析：根據圓珠筆與橡皮的單價，可以算出圓珠筆、橡皮共需39×2+6×5=108（分），而3元8角即380分減去108分等於272分，這272分是買九支鉛筆、三個練習本的**，這9與3正好是3的倍數，也就是說九支鉛筆與三個練習本的總價錢應是3的倍數（無論它們各自的單價是多少），而272不是3的倍數，顯然是售貨員把賬算錯了．
解：兩支圓珠筆和五塊橡皮的總錢數
39×2+6×5=108（分）
3元8角即380分，380-108=272（分）應是九支鉛筆與三個練習本付的總價錢，因為九支鉛筆與三個練習本的總價錢必是3的倍數，而272不是3的倍數，所以售貨員把賬給算錯了．
例4 三個數分別是346，734，983，請再寫一個比996大的三位數，使這四個數的平均數是一個整數．
分析：要使這四個數的平均數是一個整數，說明這四個數的和必是4的倍數．因為346+734+983=2063，被4除餘3，比996大的三位數只有997被4除餘1，這時2063+997=3060必能被4整除．
解：因為346+734+983=2063，被4除餘3，比996大的三位數只有997被4除餘1，且2063+997必能被4整除，所以第四個數為997．
已知a 2能被7整除，證明a能被7整除。
已知a 2能被7整除，證明a能被7整除。a 2能被7整除，所以a 2 7m m為整數！顯然7m為完全平方數，因為7不是完全平方數，所以m中必定可以分解出7，可以被7乘後，然後完全開方！即 m 7k k為完全平方數。所以a 2 7m 7 2k a 7 k k為整數！所以a能被7整除。至於證明根7是無理...
能被4整除的數的特徵，整除的能被整除的數的特徵
一個數被整除的判斷方法 被4整除 若一個整數的末尾兩位數能被4整除，則這個數能被4整除。被5整除 若一個整數的末位是0或5，則這個數能被5整除。被6整除 若一個整數能被2和3整除，則這個數能被6整除。被7整除 比較麻煩一點 若一個整數的個位數字截去，再從餘下的數中，減去個位數的2倍，如果差是7的倍數...
是指能被4整除但不能被100整除，或者能被400整除的年份
1 每隔4年有一個閏年 能被4整除的 2 每100年要去除一個閏年 3 每400年要再增加一個閏年。year 400 0 year 4 0 year 100 0 function isrun lyear as long as boolean if lyear mod 400 0 thenisrun ...