1樓：匿名使用者
這個問題應該先理解三維座標系中, 向量的意義,向量的加減法的幾何意義,
向量表示位置的相對變化
面對電腦螢幕, 上方為y軸正方向, 右邊為x軸正方向, 垂直於螢幕向外為z軸正方向
假如一個向量a 表示為 (xa,ya,za)
把a的起點平移至座標原點, 那麼 (xa,ya,za)就同時也是 a的終點的座標值
假如有一個以原點為起點的向量a, 經過a的終點並且和a垂直的平面只有一個, 所以預想,通過已知的a, 來表示這個平面
平面是點的集合, 這個平面上的所有點p(x,y,z), 都滿足一個條件: p和a的終點之間的連線b,和a垂直, 這個垂直關係 和b的長度無關,只和b的方向有關,
根據向量減法,b可以表示為一個向量(x-xa,y-ya,z-za),這個向量和a是垂直關係,所以
(x-xa)*xa + (y-ya)*ya + (z-za)*za = 0
-> xa*x + ya*y + za*z = xa*xa + ya*ya + za*za
等號右邊的表示式就是a的長度的平方
滿足這個表示式的x y z, 都在所求的平面上, 不滿足這個表示式的x y z,都不在這個平面上,
當xa是0時, ya*y + za*z = ya*ya + za*za, 這個表示的是垂直於a,並且垂直於yoz平面的一個平面
當xa=ya=0時,這個表示的是z=za這個平面
但是當xa=ya=za=0時,也就是向量a是(0,0,0)時 這個表示的是整個三維座標系中的點, 所以可以改進一下,
把a當作一個單位向量,長度為1, a只表示方向,
一個新的向量c,和a方向相同, 但是長度是a的l倍, 向量c是(xa*l,ya*l,za*l),
它是一個以原點為起點的向量,它的方向是(xa,ya,za), 它的終點的座標值是(xa*l,ya*l,za*l)
所以經過c的終點並且垂直於c的平面 上的點的座標x y z ,滿足
(x-xa*l)*xa + (y-ya*l)*ya + (z-za*l)*za = 0
-> xa*x + ya*y + za*z = (xa*xa + ya*ya + za*za)*l
a是單位向量,所以xa*xa + ya*ya + za*za 等於 1
-> xa*x + ya*y + za*z = l
可以想象三維座標系中, 所求的平面就像一把雨傘, 雨傘的把手就是原點, 雨傘的軸方向是向量a的方向, 軸長度就是l, 雨傘的傘面不是曲面而是一個平面,
這個把雨傘根據xa, ya, za三個數的符號和大小, 相對與原點做各種角度的轉動,
l就是原點到這個面的垂線的長度, l=0時, 這個面是經過原點的
xa, ya, za三個數的符號和大小, 決定著這個平面的方向
可以想象三維座標系中,
當xa>0時, 向量a指向yoz平面的右側, 傘面更多的在yoz平面的右側
當ya>0時, 傘面更多的部分在水平面上方
當za>0時, 向量a指向螢幕外側, 傘面更多的在螢幕外側
從座標系中看出,當xa越小時, 向量a越接近yoz平面, 所表達的平面也越和x軸接近平行
當xa越小時, xa*x + ya*y + za*z = l, x的變化對於整個表示式影響越小
xa=0時 ya*y + za*z = l
-> y = (-za*z + l) / ya
這個表示的是垂直於a,並且垂直於yoz平面的一個平面
2樓：匿名使用者
因為空間直角座標系有3個座標軸
三元一次方程組在什麼情況下有唯一解，無數解與無解 50
3樓：77能不憶江南
三元一次方程組可以在空間直角座標系中表示，一個三元一次方程表示一個平面。
（1）無解即三平面無交點，有3種情況：
1、三平面平行
2、三平面交於三條線且三交線平行
3、有兩個平面平行。
（2）有無窮解即三平面有無數個交點，有2種情況：
1、三平面重合
2、三平面交於一條直線
（3）唯一解即三平面有且只有一個交點，那隻能是三平面將空間分成八個區域的這種情況。
4樓：幸運的楓陽
假設方程組為
a1x+b1y=c1
a2x+b2y=c2
方程有無數解時，則a1/a2=b1/b2=c1/c2方程有唯一解時，則a1/a2≠b1/b2
方程無解時，則a1/a2=b1/b2≠c1/c2
請問，平面方程的三點式要怎麼看
5樓：angela韓雪倩
以上行列式形式的平面方程表示過空間三點（x1，y1，z1）、（x2，y2，z2）、（x3，y3，z3）的平面，也可以寫成如下更加簡單直觀的四階行列式的平面方程：
「平面方程」是指空間中所有處於同一平面的點所對應的方程，其一般式形如ax+by+cz+d=0。
三點求平面可以取向量積為法線
任一三元一次方程的圖形總是一個平面，其中x,y,z的係數就是該平面的一個法向量的座標。
兩平面互相垂直相當於a1a2+b1b2+c1c2=0
兩平面平行或重合相當於a1/a2=b1/b2=c1/c2
點到平面的距離=abs(ax0+by0+cz0+d)/sqrt(a^2+b^2+c^2) 求解過程:面內外兩點連線在法向量上的對映prj(小n)(帶箭頭p1p0)=數量積
6樓：布樂正
和直線的兩點式是類似的 只不過推廣到空間三維多了個z分量而已。以上行列式形式的平面方程表示過空間三點（x1，y1，z1）、（x2，y2，z2）、（x3，y3，z3）的平面，也可以寫成如下更加簡單直觀的四階行列式的平面方程：
分別把三點（x,y,z）的座標代入上面的x,y,z中,得到一個有四個方程的三元一次方程組,由此得到a,b,c關於d的表示式.若得到的是同一個方程,則說明d=0.那麼a,b,c就確定了該平面.
該平面過座標原點.
若d≠0,則將a,b,c關於d的表示式代入ax+by+cz+d=0中,則d一定能被約去.約去d,就得到平面方程了.
行列式，按第1列，得到2個3階行列式（分別按第1列） x(x^2-2^2)-1(x^2-2^2) =(x-1)(x^2-2^2) =(x-1)(x+2)(x-2) =0 解得 x=1,2,-2
求過點（3，1，-2）且通過直線（x-4）/5=（y+2）/2=z/1的平面方程。
7樓：angela韓雪倩
解答如下：
首先點（3，1，-2）記為a，在直線l：（x-4）/5=(y+3)/2=z/1上，取點（4，-3，0）記為b
則向量ab=（1，-4，2），直線l的方向向量為（5，2，1）又因為平面的法向量（1，-4，2）與（5，2，1）的向量積=（-8，9，22）
所以平面的點法式方程為-8（x-3）+9（y-1）+22（z+2）=0
整理得平面方程為-8x+9y+22z+59=0。
8樓：匿名使用者
在直線上取兩點a（4，
-3，0），b（-1，-5，-1），
由平面過p（3，1，-2）得平面內向量pa=（1，-4，2），pb=（-4，-6，1），
因此平面法向量取為 （8，-9，-22）（就是 pa×pb）因此所求平面方程為 8(x-3)-9(y-1)-22(z+2)=0 ，
即 8x-9y-22z-59=0 。
9樓：始玄郯語山
此題解法很多,可以先從直線上任意取兩點,然後根據已知點確定此平面方程.
也可先將直線方程化為兩個三元一次方程x-5z-4=0,y-2z+3=0,由於所求平面過此直線,也即過以上兩平面的交線,故可設平面方程為x-5z-4+k(y-2z+3)=0,然後將a點代入即可確定k
10樓：西域牛仔王
因為平面過直線，所以直線的方向向量與平面的法向量垂直，
直線的方向向量為（5，2，1），平面的法向量為（a，b，c），
它們垂直，則數量積為 0 ，就是 5a+2b+c = 0 。（對應分量積的和）
空間解析幾何問題：怎樣表示一個任意平面？
11樓：匿名使用者
平面直角座標系裡每一條直線都能夠表示成二元一次方程： ax+by+c=0
類似地在空間直角座標系裡任何一個平面也都可以表示成三元一次方程： ax+by+cz+d=0
空間直線的一般方程：
兩個平面方程聯立，表示一條直線（交線）
空間直角座標系中平面方程為ax+by+cz+d=0
直線方程就是：a1x+b1y+c1z+d1=0，a2x+b2y+c2z+d2=0，聯立
（聯立的結果可以表示為行列式）
空間直線的標準式：（類似於平面座標系中的點斜式）
(x-x0)/a＝(y-y0)/b＝(z-z0)/c
其中(a,b,c)為方向向量
空間直線的兩點式：（類似於平面座標系中的兩點式）
(x-x1)/(x-x2)＝(y-y1)/(y-y2)＝(z-z1)/(z-z2)
空間內x-y是一個平面嗎？
12樓：匿名使用者
不是的在空間座標系內，平面的方程均可用三元一次方程ax+by+cz+d=0來表示。
由於平面的點法式方程a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0是x,y,x的一次方程，而任一平面都可以用它上面的一點及它的法線向量來確定,所以任何一個平面都可以用三元一次方程來表示 。
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