1樓:倪微微
很簡單啊,大致與一元一次的等式方程解法一樣。(例如x+1不等於8
x不等於8-1 x不等於7)就這麼簡單。
一元二次方程詳細的解法,越相信越好。
2樓:曾經的約定
首先當a不等於0時方程:ax^2+bx+c=0才是一元二次方程1.公式法:
δ=b2-4ac,δ<0時方程無解,δ≥0時x=【-b±根號下(b2-4ac)】÷2a(δ=0時x只有一個)2.配方法:可將方程化為[x-(-b/2a)]2=(b2-4ac)/4a2
可解出:x=【-b±根號下(b2-4ac)】÷2a(公式法就是由此得出的)
3.直接開平方法與配方法相似
4.因式分解法:核心當然是因式分解了看一下這個方程(ax+c)(bx+d)=0,得abx2+(ad+bc)+cd=0與一元二次方程ax^2+bx+c=0對比得a=ab,b=ad+bc,c=cd。
所謂因式分解也只不過是找到a,b,c,d這四個數而已
舉幾個例子吧
例1: x2-5x+6=0
解:(x-2)(x-3)=0,x1=2,x2=3例2: 3x2-17x+10=0
解: (3x-2)(x-5)=0,x1=2/3,x2=5因式分解法又名十字相乘法原因看下面就知道了abx2+(ad+bc)+cd=0axc
↖↗↙↘
bxd (a,b,c,d不一定都是正數)解方程時因選擇適當的方法
下面幾個練習題可以試試
1.x2-6x+9=0
2.4x2+4x+1=0
3.x2-12x+35=0
4.x2-x-6=0
5.4x2+12x+9=0
6.3x2-13x+12=0
3樓:zxj清歡
方法1:配方法(可解全部一元二次方程)
如:解方程:x^2-4x+3=0 把常數項移項得:
x^2-4x=-3 等式兩邊同時加1(構成完全平方式)得:x^2-4x+4=1 因式分解得:(x-2)^2=1 解得:
x1=3,x2=1
小口訣: 二次係數化為一 常數要往右邊移 一次係數一半方 兩邊加上最相當
方法2:公式法(可解全部一元二次方程)
首先要通過δ=b^2-4ac的根的判別式來判斷一元二次方程有幾個根 1.當δ=b^2-4ac0時 x有兩個不相同的實數根
當判斷完成後,若方程有根可根屬於第2、3兩種情況方程有根則可根據公式:x=/2a 來求得方程的根
3.因式分解法(可解部分一元二次方程)
(因式分解法又分「提公因式法」、「公式法(又分「平方差公式」和「完全平方公式」兩種)」和「十字相乘法」. 如:解方程:
x^2+2x+1=0 利用完全平方公式因式分解得:(x+1)^2=0 解得:x1=x2=-1
4.直接開平方法
5.代數法。(可解全部一元二次方程) ax^2+bx+c=0 同時除以a,可變為x^2+bx/a+c/a=0
設:x=y-b/2 方程就變成:(y^2+b^2/4-by)+(by+b^2/2)+c=0 x錯,應為 (y^2+b^2/4-by)除以(by-b^2/2)+c=0
再變成:y^2+(b^22*3)/4+c=0 x/y^2-b^2/4+c=0 y=±√[(b^2*3)/4+c] x/y=±√[(b^2)/4+c]
4樓:匿名使用者
我來個詳細的
一元二次方程
的解法一、知識要點:
一元二次方程和一元一次方程都是整式方程,它是初中數學的一個重點內容,也是今後學習數學的基
礎,應引起同學們的重視。
一元二次方程的一般形式為:ax2(2為次數,即x的平方)+bx+c=d, (a≠0),它是隻含一個未知數,並且未知數的最高次數是2
的整式方程。
解一元二次方程的基本思想方法是通過「降次」將它化為兩個一元一次方程。一元二次方程有四種解法:1、直接開平方法;2、配方法;3、公式法;4、因式分解法。
二、方法、例題精講:
1、直接開平方法:
直接開平方法就是用直接開平方求解一元二次方程的方法。用直接開平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的
方程,其解為x=m± .
例1.解方程(1)(3x+1)2=7 (2)9x2-24x+16=11
分析:(1)此方程顯然用直接開平方法好做,(2)方程左邊是完全平方式(3x-4)2,右邊=11>0,所以
此方程也可用直接開平方法解。
(1)解:(3x+1)2=7×
∴(3x+1)2=5
∴3x+1=±(注意不要丟解)
∴x=∴原方程的解為x1=,x2=
(2)解: 9x2-24x+16=11
∴(3x-4)2=11
∴3x-4=±
∴x=∴原方程的解為x1=,x2=
2.配方法:用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)
先將常數c移到方程右邊:ax2+bx=-c
將二次項係數化為1:x2+x=-
方程兩邊分別加上一次項係數的一半的平方:x2+x+( )2=- +( )2
方程左邊成為一個完全平方式:(x+ )2=
當b2-4ac≥0時,x+ =±
∴x=(這就是求根公式)
例2.用配方法解方程 3x2-4x-2=0
解:將常數項移到方程右邊 3x2-4x=2
將二次項係數化為1:x2-x=
方程兩邊都加上一次項係數一半的平方:x2-x+( )2= +( )2
配方:(x-)2=
直接開平方得:x-=±
∴x=∴原方程的解為x1=,x2= .
3.公式法:把一元二次方程化成一般形式,然後計算判別式△=b2-4ac的值,當b2-4ac≥0時,把各項
係數a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。
例3.用公式法解方程 2x2-8x=-5
解:將方程化為一般形式:2x2-8x+5=0
∴a=2, b=-8, c=5
b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0
∴x=[(-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2*a)
∴原方程的解為x1=,x2= .
4.因式分解法:把方程變形為一邊是零,把另一邊的二次三項式分解成兩個一次因式的積的形式,讓
兩個一次因式分別等於零,得到兩個一元一次方程,解這兩個一元一次方程所得到的根,就是原方程的兩個
根。這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
例4.用因式分解法解下列方程:
(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0
(3) 6x2+5x-50=0 (選學) (4)x2-2( + )x+4=0 (選學)
(1)解:(x+3)(x-6)=-8 化簡整理得
x2-3x-10=0 (方程左邊為二次三項式,右邊為零)
(x-5)(x+2)=0 (方程左邊分解因式)
∴x-5=0或x+2=0 (轉化成兩個一元一次方程)
∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
(2)解:2x2+3x=0
x(2x+3)=0 (用提公因式法將方程左邊分解因式)
∴x=0或2x+3=0 (轉化成兩個一元一次方程)
∴x1=0,x2=-是原方程的解。
注意:有些同學做這種題目時容易丟掉x=0這個解,應記住一元二次方程有兩個解。
(3)解:6x2+5x-50=0
(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式時要特別注意符號不要出錯)
∴2x-5=0或3x+10=0
∴x1=, x2=- 是原方程的解。
(4)解:x2-2(+ )x+4 =0 (∵4 可分解為2 ·2 ,∴此題可用因式分解法)
(x-2)(x-2 )=0
∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。
小結:一般解一元二次方程,最常用的方法還是因式分解法,在應用因式分解法時,一般要先將方程寫成一般
形式,同時應使二次項係數化為正數。
直接開平方法是最基本的方法。
公式法和配方法是最重要的方法。公式法適用於任何一元二次方程(有人稱之為萬能法),在使用公式
法時,一定要把原方程化成一般形式,以便確定係數,而且在用公式前應先計算判別式的值,以便判斷方程
是否有解。
配方法是推導公式的工具,掌握公式法後就可以直接用公式法解一元二次方程了,所以一般不用配方法
解一元二次方程。但是,配方法在學習其他數學知識時有廣泛的應用,是初中要求掌握的三種重要的數學方
法之一,一定要掌握好。(三種重要的數學方法:換元法,配方法,待定係數法)。
例5.用適當的方法解下列方程。(選學)
(1)4(x+2)2-9(x-3)2=0 (2)x2+(2-)x+ -3=0
(3) x2-2 x=- (4)4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0
分析:(1)首先應觀察題目有無特點,不要盲目地先做乘法運算。觀察後發現,方程左邊可用平方差
公式分解因式,化成兩個一次因式的乘積。
(2)可用十字相乘法將方程左邊因式分解。
(3)化成一般形式後利用公式法解。
(4)把方程變形為 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0,然後可利用十字相乘法因式分解。
(1)解:4(x+2)2-9(x-3)2=0
[2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0
(5x-5)(-x+13)=0
5x-5=0或-x+13=0
∴x1=1,x2=13
(2)解: x2+(2- )x+ -3=0
[x-(-3)](x-1)=0
x-(-3)=0或x-1=0
∴x1=-3,x2=1
(3)解:x2-2 x=-
x2-2 x+ =0 (先化成一般形式)
△=(-2 )2-4 ×=12-8=4>0
∴x=∴x1=,x2=
(4)解:4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0
4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0
[2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0
2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0
∴x1= ,x2=
例6.求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根。 (選學)
分析:此方程如果先做乘方,乘法,合併同類項化成一般形式後再做將會比較繁瑣,仔細觀察題目,我
們發現如果把x+1和x-4分別看作一個整體,則方程左邊可用十字相乘法分解因式(實際上是運用換元的方
法) 解:[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0
即 (5x-5)(2x-3)=0
∴5(x-1)(2x-3)=0
(x-1)(2x-3)=0
∴x-1=0或2x-3=0
∴x1=1,x2=是原方程的解。
例7.用配方法解關於x的一元二次方程x2+px+q=0
解:x2+px+q=0可變形為
x2+px=-q (常數項移到方程右邊)
x2+px+( )2=-q+()2 (方程兩邊都加上一次項係數一半的平方)
(x+)2= (配方)
當p2-4q≥0時,≥0(必須對p2-4q進行分類討論)
∴x=- ±=
∴x1= ,x2=
當p2-4q<0時,<0此時原方程無實根。
說明:本題是含有字母系數的方程,題目中對p, q沒有附加條件,因此在解題過程中應隨時注意對字母
取值的要求,必要時進行分類討論。
練習:(一)用適當的方法解下列方程:
1. 6x2-x-2=0 2. (x+5)(x-5)=3
3. x2-x=0 4. x2-4x+4=0
5. 3x2+1=2x 6. (2x+3)2+5(2x+3)-6=0
(二)解下列關於x的方程
1.x2-ax+-b2=0 2. x2-( + )ax+ a2=0
練習參***:
(一)1.x1=- ,x2= 2.x1=2,x2=-2
3.x1=0,x2= 4.x1=x2=2 5.x1=x2=
6.解:(把2x+3看作一個整體,將方程左邊分解因式)
[(2x+3)+6][(2x+3)-1]=0
即 (2x+9)(2x+2)=0
∴2x+9=0或2x+2=0
∴x1=-,x2=-1是原方程的解。
(二)1.解:x2-ax+( +b)( -b)=0 2、解:x2-(+ )ax+ a· a=0
[x-( +b)] [x-( -b)]=0 (x- a)(x-a)=0
∴x-( +b)=0或x-( -b) =0 x- a=0或x-a=0
∴x1= +b,x2= -b是 ∴x1= a,x2=a是
原方程的解。 原方程的解。
測試 選擇題
1.方程x(x-5)=5(x-5)的根是( )
a、x=5 b、x=-5 c、x1=x2=5 d、x1=x2=-5
2.多項式a2+4a-10的值等於11,則a的值為( )。
a、3或7 b、-3或7 c、3或-7 d、-3或-7
3.若一元二次方程ax2+bx+c=0中的二次項係數,一次項係數和常數項之和等於零,那麼方程必有一個
根是( )。
a、0 b、1 c、-1 d、±1
4. 一元二次方程ax2+bx+c=0有一個根是零的條件為( )。
a、b≠0且c=0 b、b=0且c≠0
c、b=0且c=0 d、c=0
5. 方程x2-3x=10的兩個根是( )。
a、-2,5 b、2,-5 c、2,5 d、-2,-5
6. 方程x2-3x+3=0的解是( )。
a、 b、 c、 d、無實根
7. 方程2x2-0.15=0的解是( )。
a、x= b、x=-
c、x1=0.27, x2=-0.27 d、x1=, x2=-
8. 方程x2-x-4=0左邊配成一個完全平方式後,所得的方程是( )。
a、(x-)2= b、(x- )2=-
c、(x- )2= d、以上答案都不對
9. 已知一元二次方程x2-2x-m=0,用配方法解該方程配方後的方程是( )。
a、(x-1)2=m2+1 b、(x-1)2=m-1 c、(x-1)2=1-m d、(x-1)2=m+1
答案與解析
答案:1.c 2.c 3.b 4.d 5.a 6.d 7.d 8.c 9.d
解析:1.分析:移項得:(x-5)2=0,則x1=x2=5,
注意:方程兩邊不要輕易除以一個整式,另外一元二次方程有實數根,一定是兩個。
2.分析:依題意得:a2+4a-10=11, 解得 a=3或a=-7.
3.分析:依題意:有a+b+c=0, 方程左側為a+b+c, 且具僅有x=1時, ax2+bx+c=a+b+c,意味著當x=1
時,方程成立,則必有根為x=1。
4.分析:一元二次方程 ax2+bx+c=0若有一個根為零,
則ax2+bx+c必存在因式x,則有且僅有c=0時,存在公因式x,所以 c=0.
另外,還可以將x=0代入,得c=0,更簡單!
5.分析:原方程變為 x2-3x-10=0,
則(x-5)(x+2)=0
x-5=0 或x+2=0
x1=5, x2=-2.
6.分析:δ=9-4×3=-3<0,則原方程無實根。
7.分析:2x2=0.15
x2=x=±注意根式的化簡,並注意直接開平方時,不要丟根。
8.分析:兩邊乘以3得:x2-3x-12=0,然後按照一次項係數配方,x2-3x+(-)2=12+(- )2,
整理為:(x-)2=
方程可以利用等式性質變形,並且 x2-bx配方時,配方項為一次項係數-b的一半的平方。
9.分析:x2-2x=m, 則 x2-2x+1=m+1
則(x-1)2=m+1.
中考解析
考題評析
1.(河南省)已知x的二次方程的一個根是–2,那麼k=__________。
評析:k=4.將x=-2代入到原方程中去,構造成關於k的一元二次方程,然後求解。
2.(西安市)用直接開平方法解方程(x-3)2=8得方程的根為( )
(a)x=3+2 (b)x=3-2
(c)x1=3+2 ,x2=3-2 (d)x1=3+2,x2=3-2
評析:用解方程的方法直接求解即可,也可不計算,利用一元二次方程有解,則必有兩解及8的平方
根,即可選出答案。
課外拓展
一元二次方程
一元二次方程(quadratic equation of one variable)是指含有一個未知數且未知數的最高次項是二
次的整式方程。 一般形式為
ax2+bx+c=0, (a≠0)
在公元前兩千年左右,一元二次方程及其解法已出現於古巴比倫人的泥板文書中:求出一個數使它與它
的倒數之和等於 一個已給數,即求出這樣的x與,使
x=1, x+ =b,
x2-bx+1=0,
他們做出(2);再做出 ,然後得出解答:+ 及 - 。可見巴比倫人已知道一元二次
方程的求根公式。但他們當時並不接受 負數,所以負根是略而不提的。
埃及的紙草文書中也涉及到最簡單的二次方程,例如:ax2=b。
在公元前4、5世紀時,我國已掌握了一元二次方程的求根公式。希臘的丟番圖(246-330)卻只取二次方程的一個正根,即使遇到兩個都是正根的情況,他亦只取其中之一。
公元628年,從印度的婆羅摩笈多寫成的《婆羅摩修正體系》中,得到二次方程x2+px+q=0的一個求根公式。在阿拉伯阿爾.花拉子米的《代數學》中討論到方程的解法,解出了一次、二次方程,其中涉及到六種不同的形式,令 a、b、c為正數,如ax2=bx、ax2=c、 ax2+c=bx、ax2+bx=c、ax2=bx+c 等。把二次方程分成 不同形式作討論,是依照丟番圖的做法。
阿爾.花拉子米除了給出二次方程的幾種特殊解法外,還第一 次
給出二次方程的一般解法,承認方程有兩個根,並有無理根存在,但卻未有虛根的認識。十六世紀義大利的 數學家們為了解三次方程而開始應用複數根。來自caicaiaizhuzhu
解一元一次不等式
4 9x 0的解集為 x 4 9 2a b x 3a 4b 0化簡為 x 3a 4b b 2a 所以 3a 4b b 2a 4 9，利用比的性質得4 b 2a 9 3a 4b 化簡為7a 8b，即b 7 8a 因為 2a b x 3a 4b 0化簡為 x 3a 4b b 2a 所以2a b 0,b ...
一元一次不等式組
1.有堆蘋果分給一組小朋友，若每人5個，則還有18個多餘，若每人7個，則還有一位小朋友分不到7個，求蘋果的個數和小朋友的人數。設有小朋友x人，則有蘋果是5x 18 5x 18 7 x 1 5x 18 7x 解得 9 即x 10 11 12 所以人數是 10人，蘋果是 5 10 18 68個或者人是1...
數學一元一次不等式
考點 一元一次不等式的應用 二元一次方程組的應用 分析 1 設甲灌裝生產線每小時灌裝飲料x箱，乙灌裝生產線每小時灌裝飲料y箱，利用兩條生產線同時工作，則完成一天的生產任務需要工作7小時 如果兩條生產線同時工作2.5小時後，再由乙生產線單獨工作，則完成一天的生產任務還需10小時，分別得出等式方程求出即...