證明 至少存在一點屬於（a,b），使得a f x dx k bf x dx

1樓：匿名使用者

首先說明一點，你給的已知條件有缺失，應該還有k>0,因為f(x)在(a,b)上連續且恆有f(x)>0,所以∫(a,ξ)f(x)dx>0,∫(ξ,b)f(x)dx>0,ξ∈(a,b),而根據結論有k=∫(a,ξ)f(x)dx/∫(ξ,b)f(x)dx>0.

其次，最好是f(x)在[a,b]上連續，若不然，如果f(x)=1/x,則f(x)在(0,b)上連續且恆正,但是這個積分∫(a,ξ)f(x)dx就麻煩了。要麼就是可以保證∫(a,ξ)f(x)dx是非廣義積分。

證：設g(x)=∫(a,x)f(x)dx-k∫(x,b)f(x)dx

由f(x)在(a,b)上的連續性知g(x)在(a,b)上連續。

則lim(x->a)g(x)=lim(x->a)[∫(a,x)f(x)dx-k∫(x,b)f(x)dx]=0-k*lim(x->a)∫(x,b)f(x)dx

=-k*lim(x->a)∫(x,b)f(x)dx<0

lim(x->b)g(x)=lim(x->b)[∫(a,x)f(x)dx-k∫(x,b)f(x)dx]=lim(x->b)∫(a,x)f(x)dx-0

=lim(x->b)∫(a,x)f(x)dx>0

(或者f(x)在[a,b]上連續恆正，g(a)=-k∫(a,b)f(x)dx<0,g(b)=∫(a,b)f(x)dx>0)

則至少存在一點ξ∈(a,b),使得g(ξ)=0,即∫(a,ξ)f(x)dx-k∫(ξ,b)f(x)dx=0.

所以∫(a,ξ)f(x)dx=k∫(ξ,b)f(x)dx.

2樓：匿名使用者

需要條件k>0

∫aξf(x)dx=k∫ξbf(x)dx

∫aξf(x)dx+∫ξbf(x)dx=k∫ξbf(x)dx+∫ξbf(x)dx=(k+1)∫ξbf(x)dx

∫abf(x)dx=(k+1)∫ξbf(x)dx∫ξbf(x)dx=[∫abf(x)dx]/(k+1)<∫abf(x)dx

變下限積分∫xbf(t)dt是連續的，由連續函式的介值性可知上式成立

設f(x)在[a,b]上可積,證明:至少存在一點ξ∈[a,b],使得∫a→ξf(x)dx=∫ξ→bf(x)

3樓：

設f（x）的原函式是f(x)

那麼∫a→ξf(x)dx=f(ξ)-f(a)∫ξ→bf(x)=f(b)-f(ξ)

要證∫a→ξf(x)dx=∫ξ→bf(x)即證f(ξ)-f(a)

=f(b)-f(ξ)

即證至少存在一點ξ∈[a,b],

f(ξ)=（f(a)+f(b)）/2

因為f(x)在[a,b]可積，所以f(x)在[a,b]連續；所以fx)在[a,b]上存在最大值m，最小值m

所以f(a),f(b)屬於[m,m],所以（f(a)+f(b)）/2屬於[m,m]

由介值性定理，即證至少存在一點ξ∈[a,b],f(ξ)=（f(a)+f(b)）/2

所以至少存在一點ξ∈[a,b],使得∫a→ξf(x)dx=∫ξ→bf(x)

設f(x)在[a,b]上連續，且f(x)＞0,證明：至少存在一點ξ∈(a,b),使得∫f(x)dx=

4樓：援手

令g(x)=∫f(t)dt*∫f(t)dt（第一個積分限a到x，第二個積分限x到b），根據變上限積分的求導法則，g'(x)=f(x)∫f(t)dt（積分限x到b）-f(x)∫f(t)dt（積分限a到x），由於g(a)=g(b)=[∫f(t)dt]^2（積分限a到b），根據羅爾定理，存在ξ∈(a,b)使得g'(ξ)=0，即f(ξ)∫f(t)dt（積分限ξ到b）-f(ξ)∫f(t)dt（積分限a到ξ），由於f(ξ)>0，上式兩邊除f(ξ)即得要證的等式。

這種題關鍵就在於構造輔助函式，一般將要證的式子變形，其中有ξ的地方換成x，為了用羅爾定理，就要讓輔助函式在區間端點的函式值相等，且想辦法讓輔助函式的導函式等於0時的表示式和要證的等式儘可能相似。

f(x)在a,b 二階可導,且f(a)=f(b)=0 ∫(a,b)f(x)dx=0證明至少存在一點ξ使得f ''(ξ)=f(ξ)

5樓：酷庫跳糖倍

應該由零點定理證bai

明：du

1）如果f(a)=f(b)

則ε可以取a或者b；

2）不zhi

妨設為daof(a)>f(b);

令f（內x）=f(x)-[f(a)+f(b)]/2;

於是f(a)=f(a)-[f(a)+f(b)]/2=[f(a)-f(b)]/2>0;

f(b)=f(b)-[f(a)+f(b)]/2=[f(b)-f(a)]/2<0;

所以存在ε容∈（a,b）；使得f(ε)=0;

即f(ε)-[f(a)+f(b)]/2=0；f(ε)=[f(a)+f(b)]/2；

綜上至少存在一點ε∈[a,b],使f(ε)=[f(a)+f(b)]/2

設f∈c[a，b]，m，m分別是f（x）在[a，b]上的最大值和最小值，證明：至少存在一點ξ∈[a，b]，使得：∫ b

6樓：手機使用者

證：設f（x）=m（x-a）+m（b-x），則f（a）=m（b-a），f（b）=m（b-a），於是f(a)≤∫ba

f(x)dx≤f(b)，

因此至少存在一點ξ∈[a，b]，使得

f(ξ)＝∫ba

f(x)dx，此即∫b

af(x)dx＝m(ξ?a)+m(b?ξ)．

若f(x)在[a,b]上連續,則至少存在一點a<=ξ<=b,使∫(上b，下a)f(x)dx=f(ξ)(b-a)?是否正確

7樓：匿名使用者

積分中值定理

正確，這是積分中值定理，從幾何角度理解，即曲線下面積等於藍色矩形面積

設0