1樓：匿名使用者
因為被積函式y=1/x是一個奇函式，不要絕對值的話你是在積x>0的那一半，但是在第三象限還有一半呢，你就討論掉了。
所以必須有絕對值，這也是不定積分的規則。除非是定積分給定了積分割槽間，你可以判斷x的正負性。那時候你才能開啟絕對值，如果積分的是x<0部分，則為ln(-x)，如果積分的是x>0部分，則為lnx
第二個問題同理啊。既然此處已經知道c=0了，那麼∫(1/x)dx=ln|x|
故e^(∫(1/x)dx)=e^ln|x|=x，就是一個還原過程，先取對數，在取指數就是還原。你也可以分別討論x<0和x>0兩種情況，最後彙總，也是x。
2樓：匿名使用者
顯然要在x=0處分開考慮，這樣就得到了絕對值，試試看吧
3樓：匿名使用者
x<0∫dx/x=-∫dx/(-x)=∫d(-x)/(-x)=ln(-x)+c
x>0∫dx/x=lnx+c
e^(∫dx/x)=e^lnx=x
4樓：青春期的葬禮
因㏑x只是在x＞0時意義，故公式
∫1／xdx＝㏑x＋c僅當x＞0時才成立（此式的證明即求㏑x的導數）。
但當x＜0時，由於
（㏑（－x））』＝1／（－x）（－x）』＝1／x，故當x＜0時，有∫1／xdx＝㏑（－x）＋c所以，要證的式子成立。
（出自高等教育出版社出版的大學數學分析課本）
怎樣證明∫(1/x) dx = ln | x | + c，尤其是inx是怎麼來的
5樓：匿名使用者
從導數做起。
d/dx ln|x| = 1/x
當x > 0，dln|x|/dx = d/dx lnx = 1/x
當x < 0，dln|x|/dx = d/dx ln(- x) = 1/(- x) · (- x)' = 1/(- x) · (- 1) = 1/x
結合起來就是∫ 1/x dx = ln|x| + c
y = lnx
dy/dx = lim(δx→0) [f(x + δx) - f(x)]/δx
= lim(δx→0) [ln(x + δx) - lnx]/δx
= lim(δx→0) [ln((x + δx))/x]/δx
= lim(δx→0) (1/δx)ln(1 + δx/x)
= lim(δx→0) (1/x)(x/δx)ln(1 + δx/x)
= (1/x)ln[lim(δx→0) (1 + 1/(x/δx))^(x/δx)]，若令u = x/δx，當δx→0，u→∞
= (1/x)ln[lim(u→∞) (1 + 1/u)^u]，重要公式lim(x→∞) (1 + 1/x)^x = e
= (1/x) · ln(e)
= 1/x · 1
= 1/x
6樓：你問我就對了
這不是證明，而是定義 ln 函式的定義。
人們把這個常見的積分定出一個名字，就叫 ln
7樓：午後藍山
這是基本積分公式。看書
8樓：匿名使用者
這個公式在使用的時候注意，它適合於不含座標原點的任何區間，而在大學本科階段，對於求積分的幾個公式，只要求會驗證和它們的幾何意義就可以了……其他一般不要求掌握
∫ (1/x) dx = ln|x| + c，為什麼加絕對值
9樓：匿名使用者
因為x有可能為負數，而對數的定義域是x>0，所以為了保證有意義，則需要在公式里加絕對值
10樓：匿名使用者
ln是對數函式，真數要求大於等於零。而且你是1/x，x不為0
為什麼∫dx/x=ln|x|+c，可是lnx的導數就是1/x了啊，為什麼要絕對值
11樓：校花丶窼頿齔
因為你積分的時候x正負沒有要求，但是lnx的x必須為正所以加絕對值。
當然，這麼水的回答我覺得滿足不了你，畢竟ln底要大於0。學過的都知道，這不是廢話。
因為不知道你學了多少有關知識，所以我就粗略的解釋一下
1/x的影象並不是連續的，而且是無界的。 在x從正向趨近於0和負向趨近於0的時候，存在x=0這個無窮間斷點，所以1/x在負無窮到正無窮的完整區間是不可積的，也不存在原函式。
而之所以我們的公式還是求出了他的不定積分，是因為求積分時，我們預設把1/x分成了x>0和x<0兩段，分別積分，得到了一個分段不定積分，把這個分段不定積分的區間合在一起，形式就變成了加絕對值的樣子。因為把中間拆分求導再合成的步驟都省略了，所以難以理解，寫全了是這樣的：
∫dx/x=ln(x) , x>0,
∫dx/x=ln(-x) , x<0.
跑一下題，上面這個知識點有個經典的擴充套件問題，就是問：1/x在[-1,1]上的定積分是多少？一般覺得定積分就是面積，1/x是奇函式兩邊對稱，面積大小相等符號相反，但是真正答案不是0，是無法計算。
定積分也叫黎曼積分，黎曼認為在無窮定義域和無窮值域上都是不能積分的，所以看起來好像1/x在[-1,1]上對稱，兩邊正負相抵，實際上無窮間斷點處不可積分。當然在反常積分領域，這個也是不可積分的，因為無法確定x從正向或者負向趨近於0的速度是否相同，所以正負無窮的面積也不能抵消。但是如果把積分方法限定到求柯西主值，那麼就能確定結果等於0了。
12樓：獨賞月缺
對於∫dx/x中x是可以為負的，但是lnx不能為負
13樓：熊貓進化論
x有可能＜0呀，那樣就沒定義了
求不定積分∫ln(1+1/x)dx
14樓：知導者
湊微分和分部積分：
對於x<-1的情況，只需要在上式框中的地方稍作修改即可。
15樓：匿名使用者
可以直接用分部積分法計算：∫ln(1+1/x)dx=xln(1+1/x)－∫xdln(1+1/x)=xln(1+1/x)－∫x●1/(1+1/x)●(－1/x^2)dx=xln(1+1/x)+∫1/(1+x)dx=xln(1+1/x)+∫1/(1+x)d(1+x)=xln(1+1/x)+ln|1+x|+c。
16樓：樂卓手機
∫ln(x+1)dx=∫ln(x+1)d(x+1)=(ln(x+1))(x+1)-∫(x+1) d(ln(x+1))
=(x+1)ln(x+1)-∫((x+1)/(x+1))dx=(x+1)ln(x+1)-x+c
(x＋1/x)dx求不定積分
17樓：小小芝麻大大夢
|^∫(x＋1/x)dx=1/2x^2+ln|x| + c。c為積分常數。
解答過程如下：
∫(x＋1/x)dx
=1/2x^2+ln|x| + c
其中：∫xdx=1/2x^2+c
∫1/xdx=ln|x| + c1
擴充套件資料：分部積分：
(uv)'=u'v+uv'
得：u'v=(uv)'-uv'
兩邊積分得：∫ u'v dx=∫ (uv)' dx - ∫ uv' dx
即：∫ u'v dx = uv - ∫ uv' d,這就是分部積分公式
也可簡寫為：∫ v du = uv - ∫ u dv常用積分公式：
1）∫0dx=c
2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c3）∫1/xdx=ln|x|+c
4）∫a^xdx=(a^x)/lna+c
5）∫e^xdx=e^x+c
6）∫sinxdx=-cosx+c
7）∫cosxdx=sinx+c
8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c10）∫1/√（1-x^2) dx=arcsinx+c
18樓：匿名使用者
∫(x＋1/x)dx
=1/2x^2+ln|x| + c
19樓：匿名使用者
顯然[1+√(1+x)] *[1-√(1+x)]=1 -1- x= -x
於是得到∫x/[1+√(1+x)]dx
=∫ -1+ √(1+x) dx
代入基本公式∫x^n dx=1/(n+1) *x^(n+1)原積分= -x +2/3 *(1+x)^(3/2) +c，c為常數
∫(上限1,下限0)ln(x+1)dx,用分部積分法計算該定積分
20樓：小小芝麻大大夢
∫(上限1,下限0)ln(x+1)dx=2ln2-1。
解答過程如下：
∫ln(x+1)dx
=xln(x+1)-∫xd[ln(x+1)]=xln(x+1)-∫[x/(x+1)]dx=xln(x+1)-∫[1-1/(x+1)]dx=xln(x+1)-∫dx+∫[1/(x+1)]d(x+1)=xln(x+1)-x+ln(x+1)+c（c為積分常數）代入上下限
=ln2-1+ln2
=2ln2-1
擴充套件資料：分部積分：
(uv)'=u'v+uv'，得：u'v=(uv)'-uv'。
兩邊積分得：∫ u'v dx=∫ (uv)' dx - ∫ uv' dx。
即：∫ u'v dx = uv - ∫ uv' d,這就是分部積分公式。
也可簡寫為：∫ v du = uv - ∫ u dv。
常用積分公式：
1）∫0dx=c
2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c3）∫1/xdx=ln|x|+c
4）∫a^xdx=(a^x)/lna+c
5）∫e^xdx=e^x+c
6）∫sinxdx=-cosx+c
7）∫cosxdx=sinx+c
8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c10）∫1/√（1-x^2) dx=arcsinx+c11）∫1/(1+x^2)dx=arctanx+c12）∫1/(a^2-x^2)dx=(1/2a)ln|(a+x)/(a-x)|+c
21樓：匿名使用者
分部積分法：
∫ln(x+1)dx
=xln(x+1)-∫xd[ln(x+1)]=xln(x+1)-∫[x/(x+1)]dx=xln(x+1)-∫[1-1/(x+1)]dx=xln(x+1)-∫dx+∫[1/(x+1)]d(x+1)=xln(x+1)-x+ln(x+1)+c代入上下限
=ln2-1+ln2
=2ln2-1
22樓：王鳳霞醫生
^∫ln(x+√
(1+x^2))dx=xln(x+√(1+x^2))-∫xdln(x+√(1+x^2)
=xln(x+√(1+x^2)-√(1+x^2)+c∫[0,1]ln(x+√(1+x^2)dx=ln(1+√2)-√2+1
23樓：雙子孫偉業
直接把dx換成d（x+1）
然後分步積分
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