1樓：劉賀
向量的範數概念還是比較好理解的，這是從內積概念引入的
一般向量有∞-範數、1-範數和2-範數的概念
對於向量x，∞-範數寫為||x||∞，1-範數寫為||x||1，2-範數寫為||x||2
||x||∞是x的所有元素絕對值中的最大值；1-範數是x的所有元素絕對值的和
2-範數是先對x是所有元素求平方和，再開平方即是
更一般的是寫作p-範數形式，p可以取1、2和∞
矩陣的範數和向量的範數概念是不同的，a是矩陣，則：
1-範數是：max(sum(abs(a))，就是對a的每列的絕對值求和
再求其中的最大值，也叫列範數
2-範數是：求a'*a 的特徵值，找出其中的最大特徵值，求其平方根
相當於max(sqrt(eig(a'*a)))，也叫譜範數
∞-範數是：max(sum(abs(a'))，就是對a的每行的絕對值求和
再求其中的最大值，也叫行範數
當然還有一種f-範數，就是求矩陣每個元素的平方和，後開平方
矩陣範數的定義
2樓：中地數媒
1.第一種定義———p範數
設｛x：‖x‖p＝1｝，則對於給定的n階矩陣a存在相應的向量集合｛ax：‖x‖p＝1｝，定義
地球物理資料處理基礎
為從屬於某種向量範數的矩陣範數，簡稱從屬範數。因為是通過向量p範數定義的矩陣範數，也稱p範數或運算元範數。
由定義可知，‖x‖p的含義是向量集合｛ax：‖x‖p＝1｝中各向量都有一個對應的範數，其中最大的就是‖x‖p。可見，這是具體的定義方法，其優點可以把矩陣範數與向量範數用一個公式聯絡起來，使兩者相容。
由於單位矩陣 ‖x‖p＝1，所以‖i‖p＝1是從屬範數的一個特徵。
矩陣範數有分別從屬於‖x‖1，‖x‖2和‖x‖∞的三種具體形式。
地球物理資料處理基礎
稱為列和範數（矩陣各列向量的「和範數」中最大者）。
地球物理資料處理基礎
稱為a的2－範數。式中ata稱為格蘭姆矩陣，λ1（ata）表示ata的最大特徵值。因為λ1（ata）就是ata的譜半徑，又稱‖a‖2是a的譜範數。
地球物理資料處理基礎
稱為行和範數（矩陣各行向量「和範數」中的最大者）。
2.第二種定義———f範數
定義：地球物理資料處理基礎
為a的f範數（frobenius），這是將向量2－範數概念直接推廣到rn×n空間中的範數，也可以把這種範數記為‖a‖e，稱為歐氏範數。
注意f範數不從屬於任何一種向量範數，它與‖x‖2相容，但並不從屬於‖x‖2。這時，單位陣i的任一種從屬範數
關於矩陣2-範數和無窮範數的證明
3樓：
使用向量2-範數和無窮範數的如下不等式(證明都很容易):
① ║x║_∞ ≤ ║x║_2,
② ║x║_2 ≤ √n·║x║_∞.
於是對任意向量x, 有:
║ax║_∞
≤ ║ax║_2 (由①)
≤ ║a║_2·║x║_2 (由2-範數的定義)≤ √n·║a║_2·║x║_∞ (由②).
再由無窮範數的定義即得║a║_∞ ≤ √n·║a║_2.
什麼是範數？向量的範數公式是什麼？
4樓：匿名使用者
向量範數
定義1. 設 ,滿足
1. 正定性:║x║≥0,║x║=0 iff x=0
2. 齊次性:║cx║=│c│║x║,
3. 三角不等式:║x+y║≤║x║+║y║
則稱**中定義了向量範數,║x║為向量x的範數.
可見向量範數是向量的一種具有特殊性質的實值函式.
常用向量範數有,令x=( x1,x2,…,xn)t
1-範數:║x║1=│x1│+│x2│+…+│xn│
2-範數:║x║2=(│x1│2+│x2│2+…+│xn│2)^1/2
∞-範數:║x║∞=max(│x1│,│x2│,…,│xn│)
易得 ║x║∞≤║x║2≤║x║1≤n1/2║x║2≤n║x║∞
定理1.**中任意兩種向量範數║x║α,║x║β是等價的,即有m,m>0使
m║x║α≤║x║β≤m║x║
可根據範數的連續性來證明它.由定理1可得
定理2.設是**中向量序列,x是**中向量,則
║x(k)-x║→0(k→∞) iff xj(k)-xj→0,j=1,2,…,n(k→
∞)其中xj(k)是x(k)的第j個分量,xj是x的第j個分量.此時稱收斂於x,記作x(k)
→x(k→∞),或 .
三、 矩陣範數
定義2. 設 ,滿足
1. 正定性:║x║≥0,║x║=0 iff x=0
2. 齊次性:║cx║=│c│║x║,
3. 三角不等式:║x+y║≤║x║+║y║
4. 相容性: ║xy║≤║x║║y║
則稱**×n中定義了矩陣範數,║x║為矩陣x的範數.
注意, 矩陣x可視為n2維向量,故有前三條性質.因此定理1,2中向量的等價性和向量
序列收斂的概念與性質等也適合於矩陣.第四條,是考慮到矩陣乘法關係而設.更有矩
陣向量乘使我們定義矩陣範數向量範數的相容性:
║ax║≤║a║║x║
所謂由向量範數誘匯出的矩陣範數與該向量範數就是相容的.
定理3. 設a是n×n矩陣,║?║是n維向量範數則
║a║=max= max
是一種矩陣範數,稱為由該向量範數誘匯出的矩陣範數或運算元範數,它們具有相容性
或者說是相容的.
單位矩陣的運算元範數為1
可以證明任一種矩陣範數總有與之相容的向量範數.例如定義:
║x║=║x║,x=(xx…x)
常用的三種向量範數誘匯出的矩陣範數是
1-範數:║a║1= max=
2-範數:║a║2=max= ,λ1是aha的
最大特徵值.
∞-範數:║a║∞=max=
此外還有frobenius範數: .它與向量2-範數相容.但非向量範數誘匯出的矩陣範數.
四、 矩陣譜半徑
定義3.設a是n×n矩陣,λi是其特徵值,i=1,2,…,n.稱
為a的譜半徑.
譜半徑是矩陣的函式,但非矩陣範數.對任一矩陣範數有如下關係:
ρ(a)≤║a║
因為任一特徵對λ,x,ax=λx,令x=(xx…x),可得ax=λx.兩邊取範數,由矩陣範數的
相容性和齊次性就匯出結果.
定理3.矩陣序列i,a,a2,…ak,…收斂於零的充分必要條件是ρ(a)
對於向量範數和矩陣範數，沒有加下標的範數是什麼意思啊？
5樓：摩爾兔
一般沒加下標的範數，是省略了下標2。代表的意思是向量：求向量模長。
矩陣：設矩陣為a就求a的轉置共軛矩陣與矩陣a的積的最大特徵根的平方根值，表示空間上兩個向量矩陣的直線距離，類似於求棋盤上兩點間的直線距離。
範數的矩陣範數
如何求矩陣的一範數 一範數和二範數有啥區別？
6樓：匿名使用者
∑|一、求法
1-範數：║a║1 = max（列和範數，a每一列元素絕對值之和的最大值），其中∑|ai1|第一列元素絕對值的和∑|ai1|=|a11|+|a21|+...+|an1|，其餘方法相同）；
2-範數：║a║2 = a的最大奇異值 =（max）^（其中a^h為a的轉置共軛矩陣）。
二、區別：
1、意義不同：1-範數是指向量（矩陣）裡面非零元素的個數，2-範數（或euclid範數）是指空間上兩個向量矩陣的直線距離。
2、求法不同：1-範數║a║1 = max，2-範數：║a║2 = a的最大奇異值 = （max）^。
7樓：ivy夏戀
1-範數：是指向量（矩陣）裡面非零元素的個數。類似於求棋盤上兩個點間的沿方格邊緣的距離。
||x||1 = sum（abs(xi)）；
2-範數（或euclid範數）：是指空間上兩個向量矩陣的直線距離。類似於求棋盤上兩點見的直線距離 （無需只沿方格邊緣）。
||x||2 = sqrt(sum(xi.^2))；
∞－範數(或最大值範數)：顧名思義，求出向量矩陣中其中模最大的向量。
||x||∞ = max(abs(xi))；
ps.由於不能敲公式，所以就以偽**的形式表明三種範數的演算法，另外加以文字說明，希望樓主滿意。相互學習，共同進步~
8樓：匿名使用者
範數的意義是可以度量誤差對結果的影響，1範數和二範數只是兩種度量方式
9樓：匿名使用者
a=0 1
0 0
|a-λe| =
-λ 1
0 -λ
= λ^2
所以a的特徵值為: 0, 0.
矩陣論中向量範數、矩陣範數、運算元範數的聯絡和區別？範數到底有何作用呢？求直白易懂回答~
10樓：匿名使用者
^直白的說：
向量的一種範數就理解成在某種度量下的長度，比如歐式空間，二範數：||x||_2=sqrt(sum(x_i^2))。
矩陣範數，通常是把矩陣拉長成一列，做向量範數。e.g 矩陣的f範數就是拉成向量之後的二範數。
運算元範數，運算元a(有窮維中的矩陣a), 作用在向量x上（乘法），||a||:=max(||ax||), s.t. ||x||=1.
至於作用，就是方便給一個抽象的空間（比如連續函式空間，函式就是一個「點」）引入極限、收斂等分析的性質，像矩陣核範數在矩陣***pressed sensing裡就挺重要~
如何證明2向量範數與f矩陣範數相容
11樓：不是苦瓜是什麼
矩陣的f-範數與向量的2-範數相容證明：
這兩種範數實際上是有非常緊內密的聯絡的。
一方面，矩陣的容2範數是向量二範數對應的誘導範數。
另一方面，向量範數可以認為是矩陣的誘導範數的特例，如果將長度為的向量視為一個的矩陣，會發現前者的向量範數是等於後者的矩陣範數的。
常用向量範數有,令x=( x1,x2,…,xn)t1-範數:║x║1=│x1│+│x2│+…+│xn│2-範數:║x║2=(│x1│2+│x2│2+…+│xn│2)^1/2
∞-範數:║x║∞=max(│x1│,│x2│,…,│xn│)易得 ║x║∞≤║x║2≤║x║1≤n1/2║x║2≤n║x║∞
12樓：城華
矩陣的f-範數與向量的2-範數相容證明：
13樓：庸詘皇
把矩陣按行分塊就行了
另,向量的2-範數和向量的f-範數相等,所以這相當於證明f-範數相容
求解矩陣的2範數，求矩陣的範數
你把你會做多少全都寫出來，寫到做不下去的那一步為止，然後我再教你怎麼繼續 求矩陣的範數 5 1 範數 是指來 向量 矩陣 源 裡面非零元素的個數。類似於求棋盤 上兩個點間的沿方格邊緣的距離。x 1 sum abs xi 2 範數 或euclid範數 是指空間上兩個向量矩陣的直線距離。類似於求棋盤上兩...
運算元範數中的max是什麼意思,運算元範數為什麼等於max
就是在x不等於0時,範數集合中最大的一個 max不是最大值的意思嗎.運算元範數為什麼等於max 沒有運算元範數的說法,只有算籌的說法。根據史書的記載和考古材料的發現,古代的算籌實際上是一根根同樣長短和粗細的小棍子,一般長為13 14cm,徑粗0.2 0.3cm,多用竹子製成,也有用木頭 獸骨 象牙 ...
矩陣的模是什麼，和範數有什麼聯絡？望詳細解答，想想大家了
如果你看到的記號是 a 那麼這個所謂的模其實是矩陣範數，參看下面的連結，我前兩天剛剛編輯過 如果你看到的記號是 a 那麼這個經常用來表示a的行列式det a 有時也用來表示a的所有元素取模得到的矩陣。模是空間幾何的概念 範數是線性代數裡的概念 算範數的時候可以當成n維空間模來算 不過不必太過糾結 模...