1樓：匿名使用者
【【注】】
該題用「柯西不等式」證明較簡單。
請注意使用「柯西不等式」時，一些注意事項。
易知，1-a²≥0,且1-b²≥0.
同時，a＞0,b＞0
由題設條件及「柯西不等式」可得：
1=[a² +(1-a²)]×[(1-b²)+b²]≥[a√(1-b²)+b√(1-a²)]²=1.
∴[a²+(1-a²)]×[(1-b²)+b²]＝[a√(1-b²)+b√(1-a²)]².
∴此時，「柯西不等式」取得等號。
由「柯西不等式」取得等號的條件可知,此時必有：
a²/(1-b²)=(1-a²)/b².
∴a²b²=(1-a²)(1-b²).
整理可得：a²+b²=1.
證畢！【【附】】
按lz的意思，僅僅改動其中一個條件：
把√（1-a²）改為√(2-a²)
[(2-a²)+(1-b²)]×[b²+a²]≥[b√(2-a²)+a√(1-b²)]²=1.
∴[3-(a²+b²)](a²+b²)≥1.
(a²+b²)²-3(a²+b²)+1≤0.
[(a²+b²)-(3/2)] ²≤5/4
|(a²+b²)-(3/2)| ≤(√5)/2
(3-√5)/2≤a²+b²≤(3+√5)/2.
即此時a²+b²的取值範圍是[(3-√5)/2,(3+√5)/2]
∴a²+b²的值有可能為1.
2樓：匿名使用者
^1a>0,b>0
a√版(1-b^權2)+b√(1-a^2)=1a<1,b<1
設a=sinu b=sinv
0或sin(u+v)=sin150 cos(u+v)=√3/2或cos(u+v)=-√3/2
a^2+b^2=2(sinu^2+sinv^2)=2-(cos2u+cos2v)=2-(cos(u+v)cos(u-v))>2-cos(u+v)
a^2+b^2>1
3樓：電燈劍客
如果bai是初中題，直接移項平方du
，把zhib當成已知數解出a，然後dao褪根號。
如果是高中專
題，屬用三角代換做，但是不要止步於三樓的結果。
比如sin(u+v)=1/2，然後用sinu = sin(pi/6-v)以及sinu = sin(5pi/6-v)建立a和b滿足的等式，如果要合併兩種情況就再移項平方得到四次的等式。
如果是大學題，令c=√(2-a^2), d=√(2-b^2)，化成多項式方程組之後利用sylvester行列式消去c和d即可。
補充：既然是高中生，不妨用三角變換。cauchy不等式雖然可以做，但是要猜出最後等式的形式才方便。
a=(√2)cosx, b=cosy，解出x+y=3pi/4或x+y=pi/4即可。給你一個參***
(a-b)^2+b^2=1或(a+b)^2+b^2=1，如果要合併的話就是(a^2+2b^2-1)^2-4a^2b^2=0
4樓：匿名使用者
樓上bai的方法很好
，還有的du方法：1、數形結合（圓zhi內托勒密dao定理+同一法）2、a√
版1-b²=1-b√1-a²…… 3、柯西不等權式（見樓上）4、均值不等式a√1-b²+b√1-a²≤(a²+1-b²)/2+(b²+1-a²)/2=1,由題意，等號成立，根據均值不等式，a=√1-b²,b=√1-a²證畢。5、三角代換a=sinα,b=sinβ帶入即可。
5樓：匿名使用者
改了的話值就不確定了
已知實數a，b滿足a√ (1-b^2)+b√ (1-a^2)=1
6樓：
^設向量baim=(a,√ (1-a^du2)),向量n=(√ (1-b^2),a)
∴m·n=1,|m|=1,|n|=1
∴m·n=|m||n|
∴m與zhin共線且共dao向
令m=λ
版n（λ>0),得a=λ√ (1-b^2)，√ (1-a^2)=λb代入已知
權條件，解得λ=1
得a=√ (1-b^2)
故得a^2+b^2=1
7樓：╬絕版︻◣紳士
設向量baim=(a,√ (1-a^2)),向量n=(√ (1-b^2),a)
∴m·n=1,|m|=1,|n|=1
∴m·n=|m||dun|
∴m與n共線且共
zhi向
令m=λdaon（λ>0),得a=λ√ (1-b^2)，√ (1-a^2)=λb
代入已知條件，解得λ=1
得a=√ (1-b^2)
故得a^2+b^2=1
已知實數a,b滿足（a√1-b^2）+（b√1-a^2）=1,求證a^2+b^2=1
8樓：我不是他舅
因為根號bai下大於等於0
所以du
zhi1-a²>=0
-1<=a<=1
這和sinx的值域相等
所以dao可以設a=sinx
下面證明此回時b=cosx
1-a²=1-sin²x=cos²x
則sinx√
答(1-b²)+b√cos²x=1
sinx√(1-b²)+bcosx=1
sinx√(1-b²)=1-bcosx
兩邊平方
sin²x-b²sin²x=1-2bcosx+b²cos²x(1-sin²x)-2bcosx+b²(cos²x+sin²x)=0cos²x-2bcosx+b²=0
(cosx-b)²=0
所以b=cosx
所以a²+b²=sin²x+cos²x=1
9樓：匿名使用者
^設a=sin(x) b=sin(y) 0zhi/2代入dao化簡 得 sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y)=1 即
sin(x+y)=1
所以x+y=π/2 所以sin(x)=sin(π/2-y)=cos(y)
a^回2+b^2=sin(x)^2+sin(y)^2=sin(y)^2+cos(y)^2=1
更簡單了
a*sqr(1-b^2)=1-b*sqr(1-a^2)兩邊平方 得a^2=1+b^2-2b*sqr(1-a^2)整理得 b^2-2b*sqr(1-a^2)+1-a^2=0即（答b-sqr(1-a^2))^2=0
即b-sqr(1-a^2)=0
所以b^2=1-a^2
所以a^2+b^2=1
10樓：宓娜康河
a√1-b^2=1-（b√1-a^2）,
兩邊同時平方
,所以,a方-a方b方=1+b方-a方b方-2b√1-a^2,所以b方-2b√1-a^2+1-a方=0,所以(b-√1-a^2)方=0,
即b=√1-a^2,
兩邊同時平方,
所以b方=1-a方,即:a方+b方=1.
實數a,b滿足a√(1-b^2)+b√(1-a^2)=1,求代數式a^2+b^2的值
11樓：科學實驗家
a^2(1-b^2)+b^2(1-a^2)=1a^2-a^2b^2+b^2-a^2b^2=1a^2+b^2=1
所以a^2+b^2=1
已知a,b∈r且a√(1-b^2)+b√(1-a^2)=1,求證a^2+b^2=1.
12樓：匿名使用者
^^^a√(1-b^2)+b√(1-a^2)=1移項得
a√(1-b^2)=1- b√(1-a^2)兩邊平方得
2b√(1-a^2)=1+b^2-a^2
兩邊再平方得
4b^2*(1-a^2)= (1+b^2-a^2)^2(a^2+b^2)^2-2(a^2+b^2)+1=0(a^2+b^2-1)^2=0
a^2+b^2-1=0
a^2+b^2=1
已知正實數a,b滿足a+b=1,求證根號（1+a^2）+根號（1+b^2）＞2根號2
13樓：匿名使用者
[[1]]
由基本不等式:
√[2(x²+y²)]≥x+y. (x,y∈r)可得:√[2(1+a²)]≥1+a
√[2(1+b²)]≥1+b
兩式相加,可得
(√2)[√(1+a²)+√(1+b²)]≥1+a+1+b=3∴√(1+a²)+√(1+b²)≥3/(√2)[[2]]
∵√2＞
回1∴3＞4-√2
兩邊同答除以√2.可得:
3/(√2)＞(2√2)-1
[[3]]
綜合上面可得結論.
14樓：夷旋生菀柳
因為x|->√(1+x^2)
是凸函式，所以[√(1+a^2)
+√(1+b^2)
]/2≥√(1+((a+b)/2)^2)=(√5)/2而√5>√4=
2=√9-
1>√8-
1=2(√2)-1
已知實數ab滿足b《根號a1根號1a2分之1,化簡
由zhia 1 0和1 a 0得,daoa 1 b 1 2 版權2b 1 b2 2b 1 2b 1 b 1 2 2b 1 b 1 1 2b 1 b 1 2b 1 b b a 1,b 1 2,原式 1 2b 1 b b 已知a為 根號170 的整數部分,b 1是400的算術平方根,求根號a b.根號a...
已知a,b為實數,m 2a b,n 2a b,r 1 b若a b 0，ab 0，ab 1，且2m n r 11 能否確定a，b
解 a b 0，a b 又 ab 0,a,b異號，又 a b 1 a b的符號和絕對值較大的數值相同，a 0，則 b 0 b 0，則 a b 0 因此 2a b a a b 0 2a b a a b 0，則 m 2a b 2a b n 2a b b 2a 又 b 1，則 b 1 1 b 0 r 1 ...
已知實數ab滿足ab1,ab2,求a2bab
試一下。a b 2 a b 2 4ab 4 4 0所以a b 0 所以a b 1 代入原式得2 a 2b ab 2 ab a b 1 2 2 a2b ab2 ab a b ab 1 a b 2 a2b ab2 ab a b 1 2 2 已知實數a,b滿足等式a 2 2a 1 0,b 2 2b 1 0...