1樓:匿名使用者
^^令s(x)=σ1/(2n!
復)x^2n=1/2!x2+1/4!x^制4+1/6!x^6+....
s'(x)=1/1!baix+1/3! x3+1/5!x^5+......
s''(x)=1+1/2!x2+1/4!x^4+1/6!x^6+....=1+s(x)
s''(x)-s(x)=1
s''(x)-s(x)=0通解
r2-1=0
r=1或du-1
通解為zhic1e^x+c2e^(-x)
s''(x)-s(x)=1特解
s(x)=-1
所以s''(x)-s(x)=1的通解為s(x)=c1e^x+c2e^(-x)-1
s(0)=0,s'(0)=0
s'(x)=c1e^x-c2e^(-x)
c1+c2=1
c1-c2=0
c1=c2=1/2
所以s(x)=[e^x+e^(-x)]/2 -1
從而無窮級數求dao和1/(2n)!,從n=1到無窮 和=s(1)=[e+e^(-1)]/2 -1
高數冪級數求和。n從1到無窮((x)^n+1)/n(n+1)
2樓:
令f(x)=∑
x^(n+1)/n(n+1)
求導du:zhif'(x)=∑x^n/n
再求導:f"(x)=∑x^(n-1)=1/(1-x), 收斂域|daox|<1
積分:回f'(x)=c1-ln(1-x)
由於答f'(0)=0, 故c1=0, 得
f'(x)=-ln(1-x)
再積分:f(x)=c2-xln(1-x)+x+ln(1-x)由於f(0)=0, 故c2=0
從而有f(x)=-xln(1-x)+x+ln(1-x)
高數。級數1/n(n從1開始到無窮)為什麼是發散的??
3樓:甜美志偉
理由如下:
假設∑1/n收斂,記部份和為sn,且設lim(n→∞)sn=s
於是有lim(n→∞)s(2n)=s,有lim(n→∞)(s(2n)-sn)=s-s=0
但是s(2n)-sn=1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+n)>n/(n+n)=1/2,與lim(n→∞)(s(2n)-sn)=s-s=0矛盾
所以級數∑1/n是發散的。
擴充套件資料:
級數收斂
如果每一un≥0(或un≤0),則稱∑un為正(或負)項級數,正項級數與負項級數統稱為同號級數。正項級數收斂的充要條件是其部分和序列** 有上界。
例如∑1/n!收斂,因為:**=1+1/2!+1/3!+···+1/m!<1+1+1/2+1/22+···+1/2^(m-1)<3(2^3表示2的3次方)。
有無窮多項為正,無窮多項為負的級數稱為變號級數,其中最簡單的是形如∑[(-1)^(n-1)]*un(u0)的級數,稱之為交錯級數。
判別這類級數收斂的基本方法是萊布尼茲判別法 :若un ≥un+1 ,對每一n∈n成立,並且當n→∞時lim un=0,則交錯級數收斂。
例如∑[(-1)^(n-1)]*(1/n)收斂。對於一般的變號級數如果有∑|un|收斂,則稱變號級數絕對收斂。如果只有 ∑un收斂,但是∑|un|發散,則稱變號級數條件收斂。
例如∑[(-1)^(n-1)]*(1/n^2)絕對收斂,而∑[(-1)^(n-1)]*(1/n)只是條件收斂。
如果級數的每一項依賴於變數x,x 在某區間i內變化,即un=un(x),x∈i,則∑un(x)稱為函式項級數,簡稱函式級數。若x=x0使數項級數∑un(x0)收斂,就稱x0為收斂點,由收斂點組成的集合稱為收斂域,若對每一x∈i,級數∑un(x)都收斂,就稱i為收斂區間。
顯然,函式級數在其收斂域內定義了一個函式,稱之為和函式s(x),即s(x)=∑un(x)如果滿足更強的條件,**(x)在收斂域內一致收斂於s(x) 。
絕對收斂
一個收斂的級數,如果在逐項取絕對值之後仍然收斂,就說它是絕對收斂的;否則就說它是條件收斂的。
簡單的比較級數就表明,只要∑|un|收斂就足以保證級數收斂;因而分解式(不僅表明∑|un|的收斂隱含著原級數∑un的收斂,而且把原級數表成了兩個收斂的正項級數之差。由此易見,絕對收斂級數同正項級數一樣,很像有限和,可以任意改變項的順序以求和,可以無限分配地相乘。
但是條件收斂的級數,即收斂而不絕對收斂的級數,決不可以這樣。這時式右邊成為兩個發散(到+∞)的、其項趨於零的、正項級數之差,對此有黎曼定理。
4樓:我是一個麻瓜啊
級數1/n,n從1開始到無窮:
1 +1/2+1/3 +1/4 + 1/5+ 1/6+1/7+1/8 +...大於1/2+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+...
因為:1 +1/2>1/2+1/2,1/3 +1/4>1/4+1/4,1/5+ 1/6+1/7+1/8>1/8+1/8+1/8+1/8。
注意後一個級數每一項對應的分數都小於調和級數中每一項,而且後面級數的括號中的數值和都為1/2,這樣的1/2有無窮多個,所以後一個級數是趨向無窮大的,進而調和級數也是發散的。
5樓:匿名使用者
假設∑1/n收斂,記部份和為sn,且設lim(n→∞)sn=s於是有lim(n→∞)s(2n)=s,有lim(n→∞)(s(2n)-sn)=s-s=0
但是s(2n)-sn=1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+n)>n/(n+n)=1/2,與lim(n→∞)(s(2n)-sn)=s-s=0矛盾
所以級數∑1/n是發散的
6樓:阿亮臉色煞白
記s[n]=1+1/2+...+1/n。假設它收斂到s。
可見,s[2n]=s[n]+1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(2n)>s[n]+1/(2n)+1/(2n)+...+1/(2n)
=s[n]+n/(2n)=s[n]+1/2.
兩邊讓n→∞得到s=s+1/2,無解。所以它是發散的。
7樓:幸運的皮皮瞎
可以放縮一下,再用判別法。n>0時有n>ln(n+1)則有1/n>ln(1/n+1)=ln[(n+1)/n]。∑ln[(n+1)/n]=ln(2/1)+ln(3/2)+......+ln[(n+1)/n]=ln2-ln1+ln3-ln2+......+ln(n+1)-lnn=ln(n+1)。
當n趨於正無窮的時候ln(n+1)=∞。則∑ln[(n+1)/n]發散。再由正項級數斂散性判別法可知∑(1/n)也發散
8樓:小情歌
他本身是一個發散級數啊
求無窮級數(-1)^n/(2n+1)
9樓:尹六六老師
^冪級自數
∑(-1)^n/(2n+1)·x^(2n+1)
的收斂域為[-1,1]
根據和函式的性質,
s(x)=∑(-1)^n/(2n+1)·x^(2n+1)
在[-1,1]上連續,(-1,1)內可導
(-1,1)內,易得:
s'(x)=1/(1+x^2)
積分得到,s(x)=arctanx,
因為1在冪級數的收斂域內,
所以,x=1時,s(x)=arctanx也是成立的。
10樓:茹翊神諭者
詳情如圖所示
有任何疑惑,歡迎追問
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