1樓：店小二_吂
主要是單調性，奇偶性，反函式不算。
----------------------再研究就是週期性。
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然後就是是否有最值。
2樓：人之權位
1．函式的單調性
從函式y=x2的圖象(圖2-7)看到：
圖象在y軸的右側部分是上升的，也就是說，當x在區間[0，+∞)上取值時，隨著x的增大，相應的y值也隨著增大，即如果取x1，x2∈[0，+∞)，得到y1=f(x1)，y2=f(x2)，那麼當x1＜x2時，有y1＜y2．這時我們就說函式y=x2在〔0，+∞)上是增函式．
圖象在y軸的左側部分是下降的，也就是說，當x在區間(-∞，0)上取值時，隨著x的增大，相應的y值反而隨著減小，即如果取x1，x2∈(-∞，0)，得到y1=f(x1)，y2=f(x2)，那麼當x1＜x2時，有y1＞y2．這時我們就說函式y=x2在(-∞，0)上是減函式．
一般地，設函式f(x)的定義域為i：
如果對於屬於定義域i內某個區間上的任意兩個自變數的值x1，x2，當x1＜x2 時，都有f(x1)＜f(x2)，那麼就說f(x)在這個區間上是增函式(圖2-9(1))；
如果對於屬於定義域i內某個區間的任意兩個自變數的值x1，x2，當x1＜x2 時，都有f(x1)＞f(x2)，那麼就說f(x)在這個區間上是減函式(圖 2-9(2))．
函式是增函式還是減函式，是對定義域內某個區間而言的．有的函式在一些區間上是增函式，而在另一些區間上不是增函式．例如函式y=x2(圖2-7)，當x∈[0，+∞)時是增函式，當x∈(-∞，0)時是減函式．
如果函式y=f(x)在某個區間是增函式或減函式，那麼就說函式y=f(x)在這一區間具有(嚴格的)單調性，這一區間叫做y=f(x)的單調區間．在單調區間上增函式的圖象是上升的，減函式的圖象是下降的．
2．函式的奇偶性
觀察圖2-7可以看到，函式y=x2的圖象關於y軸對稱，從函式y=f(x)=x2 本身來說，其特點是當自變數取一對相反數時，函式y取同一值．
例如，f(-2)=4，f(2)=4，即f(-2)=f(2)；f(-1)=1，f(1)=1，即f(-1)=f(1)；
…… 由於(-x)2=x2，所以f(-x)=f(x)．
以上情況，反映在圖象上就是，如果點(x，y)是函式y=x2的圖象上任一點，那麼，與它關於y軸對稱的點(-x，y)也在函式y=x2的圖象上．這時，我們說函式y=x2是偶函式．
一般地，如果對於函式f(x)的定義域內任意一個x，都有f(-x)=f(x)，那麼函式f(x)就叫做偶函式．
例如，函式f(x)=x2+1，f(x)=x4-2等都是偶函式．
觀察圖2-8可以看到，函式y=x3的圖象關於原點對稱，從函式y=x3本身來說，其特點是當自變數取一對相反數時，函式值也得到一對相反數．
例如，f(-2)=-8，f(2)=8， 即f(-2)=-f(2)；
f(-1)=-1，f(1)=1， 即f(-1)=-f(1)；
…… 由於(-x)3=-x3，所以f(-x)=-f(x)．
以上情況，反映在圖象上就是，如果點(x，y)是函式y=x3的圖象上的任一點，那麼，與它關於原點對稱的點(-x，-y)也在函式y=x3的圖象上．這時，我們說函式y=x3是奇函式．
一般地，如果對於函式f(x)的定義域內任意一個x，都有f(-x)=-f(x)，那麼函式f(x)就叫做奇函式．
(3)週期性
一般地，對於函式f(x)，如果存在一個非零常數t，使得當x取定義域內的每一個值時，都有
f(x+t)=f(x)，
那麼函式f(x)就叫做周期函式．非零常數t叫做這個函式的週期
回答者：goga - 見習魔法師 二級 7-12 12:58
第四節 函式及其性質
王俊邦[基本內容]
1、函式的定義
（1）傳統定義：如果在某個變化過程中有兩個變數x和y，並且對於x在某個範圍內的每一個確定的值，按照某個對應法則，y都有唯一確定的值和它對應，那麼把y叫做x的函式，x叫做自變數，和x的值對應的y的值叫做函式值，函式值的集合叫做函式的值域。y是x 的函式，可以記作y ＝f（x）（f表示對應法則）。
（2）近代定義：設a、b都是非空的數的集合，f是從a到b的一個對應法則，那麼a到b的對映就叫做a到b的函式，記作y ＝f（x），其中。原象的集合a叫做函式f（x）的定義域，象的集合c叫做函式f（x）的值域，顯然。
注意 ①由函式的近代定義可知，函式是數集間的對映。
②對應法則f是聯絡x、y的紐帶，是函式的核心，常用一個解析式表示，但在不少問題中，對應法則f也可能不便用或不能用上個解析式來表示，而是採用其他方式（如數表或圖象等）。定義域（或原象集合）是自變數的取值範圍，它是函式的一個不可缺少的組成部分，它和對應法則是函式的兩個重要因素。定義域不同而解析式相同的函式，應看作是兩個不同的函式。
③f（a）與f（x）的涵義是不同的，f（a）表示自變數x＝a時所得的函式值，它是一個常量，而f（x）是x的函式，是表示對應關係的。
2、函式的性質
（1）函式的單調性
設y ＝f（x）是給定區間上的一個函式，是給定區間上的任意兩個值，且，如果都有，則稱f（x）在這個區間上是增函式（也稱f（x）在這個區間上單調遞增）；如果都有，則稱f（x）在這個區間上是減函式（也稱f（x）在這個區間上單調遞減）。
如果函式y ＝f（x）在某個區間上是增函式或減函式，就說f（x）在這一區間上具有（嚴格）單調性，這一區間叫做f（x）的單調區間。
（2）函式的奇偶性
①如果對於函式定義域內任意一個x，都有f（－x）＝－f（x），那麼函式f（x）就叫做奇函式。
②如果對於函式定義域內任意一個x，都有f（－x）＝f（x），那麼函式f（x）就叫做偶函式。
奇函式的圖象關於原點成中心對稱圖形；偶函式的圖象關於y軸成軸對稱圖形。
3、反函式
（1）逆對映：設是集合a到集合b上的一一對映，如果對於b中的每一個元素b，使b在a的原象a和它對應；這樣所得的對映叫做對映的逆對映，記作：。
注：對映也是對映的逆對映，而且 也是一一對映（從b到a上的一一對映）。
（2）如果確定函式y ＝f（x）的對映是f（x）的定義域a到值域b上的一一對映，那麼這個對映的逆對映所確定的函式叫做函式y ＝f（x）的反函式。
函式y ＝f（x）的定義域、值域分別是函式的值域、定義域。
函式y ＝f（x）的反函式，習慣上寫成。
一般地，求函式y ＝f（x）的反函式的方法是先由y ＝f（x）解出，然後把改寫成。
函式y ＝f（x）和其反函式的圖象關於直線y＝x對稱。
[例題分析]
例1、判斷下列各題中的兩個函式是否相同。
（1）； （2）；
（3）；
（4）。
解：（1）不同。因為f（x）的定義域是x≠0且x≠－1，而g（x）的定義域是x≠－1，由於定義域不同，故f（x）和g（x）是不同的函式。
（2）不同。因為這兩個函式的對應法則不同。
對應法則f ：
對應法則g ：。
（3）相同。因為這兩個函式的定義域和對應法則都相同，
（4）不同，雖然這兩個函式的解析式相同，但給出的定義域不同。
例2、求下列各函式的定義域：
（1）；（2）；（3）。
解：（1）由。 （2）全體實數。
（3）解不等式組，得0 < x < 1。
例3、（1）已知，求
（2）已知，求。
解：（1）∵，∴，
∵， ∴。
（2）。
例4、已知f（x）為一次函式，且f [f（x）] = 9x－1，求f（x）的解析式。
設，則，即，
∴，∴，
故所求函式為或。
例5、求下列函式的值域：（1）；（2）。
解：（1）把看成是關於x的方程，整理得
，∵x，y是實數，∴當y＝1時，x＝0。當時，，故函式的值域是。
（2）。故函式的值域是y ≤1。
注：配方法是二次函式求值域的主要方法。如果y ＝ f（x）能化成關於x的一元二次方程，則常用根的判別式法求函式的值域。
例6、求函式的值域。
解：。因為，∴y的值域是。
例7、設f（x）為偶函式，f（x）在（0，＋∞）內單調減少，求證f（x）在（－∞，0）內單調增加。
證明：設，則，∵，f（x）在（0，＋∞）內單調減少，∴，∵f（x）為偶函式，∴。由於在（－∞，0）內的任意性，根據增函式的定義，可知f（x）在（－∞，0）內單調增加。
例8、判斷下列函式的奇偶性：
（l）y＝2x；（2）y＝2x－3；（3）；（4）；
（5）；（6）；（7）；（8）；
（9）；（10）。
解：偶函式：（3），（4），（5），（9）； 奇函式：（1），（6），（7）；
非奇非偶函式：（2），（8），（10）。
注：的定義域為x≠5的一切實數，所以其圖象顯然不關於原點或y軸對稱。故f（x）為非奇非偶函式。
例9、函式f（x）的定義域為x≠0的一切實數，且滿足，判斷函式f（x）的奇偶性。
解：原等式中以代替x，得。解方程組：
，得f（x）＝0，（x≠0）。所以f（x）既是奇函式， 又是偶函式。
例10、求函式的反函式及這個反函式的值域。
解：從解出x，得到，改寫成。∵原來函式的定義域為x≥1，值域為y≥2，∴所求的反函式為：，（x≥2），這個反函式的值域為y≥1。
練習 1、選擇題：
（1）下列各組函式中，為同一個函式的是（ ）。
（a）與y＝x－2；（b）與y＝x （a>0，a≠1）；
（c）與；（d）與y＝x－1。
（2）已知，那麼f（2）的值是（ ）。
（a）e2；（b）2e；（c）；（d）2。
（3）已知函式f（x）的定義域是[1，2]，那麼函式f（x2）的定義域是（ ）。
（a）[1，4]；（b）；（c）；（d）。
（4）已知是偶函式，那麼函式是（ ）。
（a）奇函式；（b）偶函式；（c）既不是奇函式，也不是偶函式；
（d）結論不確定。
（5）若是奇函式，則是（ ）。
（a） 奇函式；（b）非奇非偶函式；（c）偶函式；
（d）既是奇函式又是偶函式。
（6）偶函式f（x）在[0，4]上單調遞增、則下列關係或說法正確的是（ ）。
（a）；（b）；（c）；
（d）不能確定。
（7）下列哪一個函式是指定區間上的單調函式。
（a）； （b）；
（c）； （d）。
（8）下列互為反函式的一組函式是（ ）。
（a）； （b）；
（c）；（d）。
2、設函式f（x）滿足條件：。
求證：（1）f（0）＝0；（2）f（－1）＝－a；
（3）為不等於0的整數）。
3、求函式的值域。
練習解答
1、（1）d；（2）c；（3）c；（4）a；（5）c；（6）c；（7）a；（8）d。
2、…① …②
（1）在①中，設x＝y＝0，則f（0）＝2 f（0），∴f（0）＝0。
（2）由①得f（0）＝f（1－1）＝f（1）＋ f（－1）。∴0＝a＋f（－1），
∴f（－1）＝－a。
（3）當n＞0時，（括號內為n個1的和）。
即， 當n＜0時，－n＞0，由於，，
∴。 注：在一般的函式問題中，常用0，±1等代入x和y等來證明等式。
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一 有界性 定義 設函式 f x 在數集 a 有定義，若函式值的集合 f a 有上界 有下界 有界 則稱函式 f x 在 a 有上界 有下界 有界 否則稱函式 f x 在 a 無上界 無下界 無界 1 函式 f x 在 a 有上界 存在 b r 對任意的 x a 有 f x b 2 函式 f x 在...
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一取x o因為對於任意x,y r,恆有f x y f x x f y 則恆有f 0 y f 0 x f y 即恆有f y f 0 f y 則f 0 1 令x 0則1 f 0 f x x f x f x 因為 x 0則 0 f x 1 所以f x 1 二在r上任取a,b令a b 由一得f x 0則由f...