1樓:匿名使用者
令x=0得y=m-2
交點在x軸的上方,則有:m-2>0,m>2在x軸的下方,則有m-2<0,m<2
拋物線經過原點,m-2=0,m=2
二次函式的性質和影象
2樓:您輸入了違法字
1、二次函式
的性質:
特別地,二次函式(以下稱函式)y=ax2+bx+c(a≠0),當y=0時,二次函式為關於x的一元二次方程(以下稱方程),即ax2+bx+c=0(a≠0)
此時,函式影象與x軸有無交點即方程有無實數根。
函式與x軸交點的橫座標即為方程的根。
2、二次函式的影象:
3樓:匿名使用者
二次函式
i.定義與定義表示式
一般地,自變數x和因變數y之間存在如下關係:
y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數,a≠0,且a決定函式的開口方向,a>0時,開口方向向上,a<0時,開口方向向下,iai還可以決定開口大小,iai越大開口就越小,iai越小開口就越大.)
則稱y為x的二次函式。
二次函式表示式的右邊通常為二次三項式。
ii.二次函式的三種表示式
一般式:y=ax^2;+bx+c(a,b,c為常數,a≠0)
頂點式:y=a(x-h)^2;+k [拋物線的頂點p(h,k)]
交點式:y=a(x-x1)(x-x2) [僅限於與x軸有交點a(x1,0)和 b(x2,0)的拋物線]
注:在3種形式的互相轉化中,有如下關係:
h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a
iii.二次函式的影象
在平面直角座標系中作出二次函式y=x2的影象,
可以看出,二次函式的影象是一條拋物線。
iv.拋物線的性質
1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線
x = -b/2a。
對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點p。
特別地,當b=0時,拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)
2.拋物線有一個頂點p,座標為
p [ -b/2a ,(4ac-b^2;)/4a ]。
當-b/2a=0時,p在y軸上;當δ= b^2-4ac=0時,p在x軸上。
3.二次項係數a決定拋物線的開口方向和大小。
當a>0時,拋物線向上開口;當a<0時,拋物線向下開口。
|a|越大,則拋物線的開口越小。
4.一次項係數b和二次項係數a共同決定對稱軸的位置。
當a與b同號時(即ab>0),對稱軸在y軸左;
當a與b異號時(即ab<0),對稱軸在y軸右。
5.常數項c決定拋物線與y軸交點。
拋物線與y軸交於(0,c)
6.拋物線與x軸交點個數
δ= b^2-4ac>0時,拋物線與x軸有2個交點。
δ= b^2-4ac=0時,拋物線與x軸有1個交點。
δ= b^2-4ac<0時,拋物線與x軸沒有交點。x的取值是虛數(x=-b加減 根號內b2-4ac的值的相反數,乘上虛數i,整個式子除2a
v.二次函式與一元二次方程
特別地,二次函式(以下稱函式)y=ax^2;+bx+c,
當y=0時,二次函式為關於x的一元二次方程(以下稱方程),
即ax^2;+bx+c=0
此時,函式影象與x軸有無交點即方程有無實數根。
函式與x軸交點的橫座標即為方程的根。
二次函式的影象和性質是什麼?
4樓:不讓風吹的歲月
拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x = -b/2a。
對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點p。
特別地,當b=0時,拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)
2.拋物線有一個頂點p,座標為p ( -b/2a ,(4ac-b^2)/4a )
當-b/2a=0時,p在y軸上;當δ= b^2-4ac=0時,p在x軸上。
3.二次項係數a決定拋物線的開口方向和大小。
當a>0時,拋物線向上開口;當a<0時,拋物線向下開口。
|a|越大,則拋物線的開口越小。
4.一次項係數b和二次項係數a共同決定對稱軸的位置。
當a與b同號時(即ab>0),對稱軸在y軸左; 因為若對稱軸在左邊則對稱軸小於0,也就是- b/2a<0,所以b/2a要大於0,所以a、b要同號
當a與b異號時(即ab<0),對稱軸在y軸右。因為對稱軸在右邊則對稱軸要大於0,也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小於0,所以a、b要異號
可簡單記憶為左同右異,即當a與b同號時(即ab>0),對稱軸在y軸左;當a與b異號時
(即ab< 0 ),對稱軸在y軸右。
事實上,b有其自身的幾何意義:拋物線與y軸的交點處的該拋物線切線的函式解析式(一次函式)的
斜率k的值。可通過對二次函式求導得到。
5.常數項c決定拋物線與y軸交點。
拋物線與y軸交於(0,c)
6.拋物線與x軸交點個數
δ= b^2-4ac>0時,拋物線與x軸有2個交點。
δ= b^2-4ac=0時,拋物線與x軸有1個交點。
_______
δ= b^2-4ac<0時,拋物線與x軸沒有交點。x的取值是虛數(x= -b±√b^2-4ac 的值的相反數,乘上
虛數i,整個式子除以2a)
當a>0時,函式在x= -b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b2/4a;在上是減函式,在
上是增函式;拋物線的開口向上;函式的值域是相反不變
當b=0時,拋物線的對稱軸是y軸,這時,函式是偶函式,解析式變形為y=ax^2+c(a≠0)
7.特殊值的形式
1當x=1時 y=a+b+c
2當x=-1時 y=a-b+c
3當x=2時 y=4a+2b+c
4當x=-2時 y=4a-2b+c
8.定義域:r
值域:(對應解析式,且只討論a大於0的情況,a小於0的情況請讀者自行推斷)1[(4ac-b^2)/4a,
正無窮);2[t,正無窮)
奇偶性:偶函式
週期性:無
解析式:
1y=ax^2+bx+c[一般式]
(1)a≠0
(2)a>0,則拋物線開口朝上;a<0,則拋物線開口朝下;
(3)極值點:(-b/2a,(4ac-b^2)/4a);
(4)δ=b^2-4ac,
δ>0,圖象與x軸交於兩點:
([-b-√δ]/2a,0)和([-b+√δ]/2a,0);
δ=0,圖象與x軸交於一點:
(-b/2a,0);
δ<0,圖象與x軸無交點;
2y=a(x-h)^2+k[頂點式]
此時,對應極值點為(h,k),其中h=-b/2a,k=(4ac-b^2)/4a;
3y=a(x-x1)(x-x2)[交點式(雙根式)](a≠0)
對稱軸x=(x1+x2)/2 當a>0 且x≥(x1+x2)/2時,y隨x的增大而增大,當a>0且x≤(x1+x2)/2時y隨x
的增大而減小
此時,x1、x2即為函式與x軸的兩個交點,將x、y代入即可求出解析式(一般與一元二次方程連
用)。[編輯本段]二次函式與一元二次方程
特別地,二次函式(以下稱函式)y=ax^2+bx+c,
當y=0時,二次函式為關於x的一元二次方程(以下稱方程),
即ax^2+bx+c=0
此時,函式影象與x軸有無交點即方程有無實數根。
函式與x軸交點的橫座標即為方程的根。
1.二次函式y=ax^2;,y=a(x-h)^2;,y=a(x-h)^2+k,y=ax^2+bx+c(各式中,a≠0)的圖象形狀相同,只是位置不同,它們的頂點座標及對稱軸如下表:
解析式 頂點座標 對 稱 軸
y=ax^2 (0,0) x=0
y=ax^2+k (0,k) x=0
y=a(x-h)^2 (h,0) x=h
y=a(x-h)^2+k (h,k) x=h
y=ax^2+bx+c (-b/2a,4ac-b^2/4a) x=-b/2a
當h>0時,y=a(x-h)^2;的圖象可由拋物線y=ax^2;向右平行移動h個單位得到,
當h<0時,則向左平行移動|h|個單位得到.
當h>0,k>0時,將拋物線y=ax^2;向右平行移動h個單位,再向上移動k個單位,就可以得到y=a(x-h)^2+k的圖象;
當h>0,k<0時,將拋物線y=ax^2;向右平行移動h個單位,再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)^2-k的圖象;
當h<0,k>0時,將拋物線向左平行移動|h|個單位,再向上移動k個單位可得到y=a(x+h)2+k的圖象;
當h<0,k<0時,將拋物線向左平行移動|h|個單位,再向下移動|k|個單位可得到y=a(x+h)2-k的圖象;在向上或向下.向左或向右平移拋物線時,可以簡記為「上加下減,左加右減」。
因此,研究拋物線 y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象,通過配方,將一般式化為y=a(x-h)^2;+k的形式,可確定其頂點座標、對稱軸,拋物線的大體位置就很清楚了.這給畫圖象提供了方便.
2.拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象:當a>0時,開口向上,當a<0時開口向下,對稱軸是直線x=-b/2a,頂點座標是(-b/2a,[4ac-b^2;]/4a).
3.拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0),若a>0,當x ≤ -b/2a時,y隨x的增大而減小;當x ≥ -b/2a時,y隨x的增大而增大.若a<0,當x ≤ -b/2a時,y隨x的增大而增大;當x ≥ -b/2a時,y隨x的增大而減小.
4.拋物線y=ax^2+bx+c的圖象與座標軸的交點:
(1)圖象與y軸一定相交,交點座標為(0,c);
(2)當△=b^2-4ac>0,圖象與x軸交於兩點a(x1,0)和b(x2,0),其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0
(a≠0)的兩根.這兩點間的距離ab=|x2-x1| =√△/∣a∣(a絕對值分之根號下△)另外,拋物線上任何一對對稱點的距離可以由|2×(-b/2a)-a |(a為其中一點的橫座標)
當△=0.圖象與x軸只有一個交點;
當△<0.圖象與x軸沒有交點.當a>0時,圖象落在x軸的上方,x為任何實數時,都有y>0;當a<0時,圖象落在x軸的下方,x為任何實數時,都有y<0.
5.拋物線y=ax^2+bx+c的最值:如果a>0(a<0),則當x= -b/2a時,y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.
頂點的橫座標,是取得最值時的自變數值,頂點的縱座標,是最值的取值.
6.用待定係數法求二次函式的解析式
(1)當題給條件為已知圖象經過三個已知點或已知x、y的三對對應值時,可設解析式為一般形式:
y=ax^2+bx+c(a≠0).
(2)當題給條件為已知圖象的頂點座標或對稱軸或極大(小)值時,可設解析式為頂點式:y=a(x-h)^2+k(a≠0).
(3)當題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點座標時,可設解析式為兩根式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).
7.二次函式知識很容易與其它知識綜合應用,而形成較為複雜的綜合題目。因此,以二次函式知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題,往往以大題形式出現.
參見
二次函式的影象與性質，二次函式的影象與性質
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