1樓:匿名使用者
^^求導和微分不是互逆, 它們和積分互逆。 " x^(-1) 微分是 -x^(-2)" 說法不妥, 應為內:" x^(-1) 的導數是 -x^(-2)" 或 " x^(-1) 微分是 -x^(-2)dx" 。
導數與微容分的關係是 導數:dy/dx=f'(x), 微分: dy=(x)dx.
微分和積分有什麼區別,大一高數,最簡單的解釋
2樓:demon陌
導數和微分在書寫的形式有些區別,如y'=f(x),則為導數,書寫成dy=f(x)dx,則為微分。積分是求原函式,可以形象理解為是函式導數的逆運算。
通常把自變數x的增量 δx稱為自變數的微分,記作dx,即dx = δx。於是函式y = f(x)的微分又可記作dy = f'(x)dx,而其導數則為:y'=f'(x)。
設f(x)為函式f(x)的一個原函式,我們把函式f(x)的所有原函式f(x)+c(c為任意常數),叫做函式f(x)的不定積分,數學表示式為:若f'(x)=g(x),則有∫g(x)dx=f(x)+c。
擴充套件資料:
設函式y = f(x)在x的鄰域內有定義,x及x + δx在此區間內。如果函式的增量δy = f(x + δx) - f(x)可表示為 δy = aδx + o(δx)(其中a是不依賴於δx的常數),而o(δx)是比δx高階的無窮小(注:o讀作奧密克戎,希臘字母)
那麼稱函式f(x)在點x是可微的,且aδx稱作函式在點x相應於因變數增量δy的微分,記作dy,即dy = aδx。函式的微分是函式增量的主要部分,且是δx的線性函式,故說函式的微分是函式增量的線性主部(△x→0)。
通常把自變數x的增量 δx稱為自變數的微分,記作dx,即dx = δx。於是函式y = f(x)的微分又可記作dy = f'(x)dx。函式因變數的微分與自變數的微分之商等於該函式的導數。
因此,導數也叫做微商。
當自變數x改變為x+△x時,相應地函式值由f(x)改變為f(x+△x),如果存在一個與△x無關的常數a,使f(x+△x)-f(x)和a·△x之差是△x→0關於△x的高階無窮小量,則稱a·△x是f(x)在x的微分,記為dy,並稱f(x)在x可微。一元微積分中,可微可導等價。記a·△x=dy,則dy=f′(x)dx。
例如:d(sinx)=cosxdx。
微分概念是在解決直與曲的矛盾中產生的,在微小區域性可以用直線去近似替代曲線,它的直接應用就是函式的線性化。微分具有雙重意義:它表示一個微小的量,因此就可以把線性函式的數值計算結果作為本來函式的數值近似值,這就是運用微分方法進行近似計算的基本思想。
積分發展的動力源自實際應用中的需求。實際操作中,有時候可以用粗略的方式進行估算一些未知量,但隨著科技的發展,很多時候需要知道精確的數值。要求簡單幾何形體的面積或體積,可以套用已知的公式。
比如一個長方體狀的游泳池的容積可以用長×寬×高求出。
但如果游泳池是卵形、拋物型或更加不規則的形狀,就需要用積分來求出容積。物理學中,常常需要知道一個物理量(比如位移)對另一個物理量(比如力)的累積效果,這時也需要用到積分。
勒貝格積分的出現源於概率論等理論中對更為不規則的函式的處理需要。黎曼積分無法處理這些函式的積分問題。因此,需要更為廣義上的積分概念,使得更多的函式能夠定義積分。
同時,對於黎曼可積的函式,新積分的定義不應當與之衝突。勒貝格積分就是這樣的一種積分。
黎曼積分對初等函式和分段連續的函式定義了積分的概念,勒貝格積分則將積分的定義推廣到測度空間裡。
勒貝格積分的概念定義在測度的概念上。測度是日常概念中測量長度、面積的推廣,將其以公理化的方式定義。黎曼積分實際可以看成是用一系列矩形來儘可能鋪滿函式曲線下方的圖形,而每個矩形的面積是長乘寬,或者說是兩個區間之長度的乘積。
測度為更一般的空間中的集合定義了類似長度的概念,從而能夠「測量」更不規則的函式曲線下方圖形的面積,從而定義積分。在一維實空間中,一個區間a= [a,b] 的勒貝格測度μ(a)是區間的右端值減去左端值,b−a。這使得勒貝格積分和正常意義上的黎曼積分相相容。
在更復雜的情況下,積分的集合可以更加複雜,不再是區間,甚至不再是區間的交集或並集,其「長度」則由測度來給出。
3樓:匿名使用者
1、歷史發展不同:
微分的歷史比積分悠久。希臘時期,人類討論「無窮」、「極限」以及「無窮分割」等概念是微分的**基礎。而積分是由德國數學家波恩哈德·黎曼於19世紀提出的概念。
黎曼的定義運用了極限的概念,把曲邊梯形設想為一系列矩形組合的極限。
2、數學表達不同:
微分:導數和微分在書寫的形式有些區別,如y'=f(x),則為導數,書寫成dy=f(x)dx,則為微分。
積分:設f(x)為函式f(x)的一個原函式,我們把函式f(x)的所有原函式f(x)+c(c為任意常數),叫做函式f(x)的不定積分,數學表示式為:若f'(x)=g(x),則有∫g(x)dx=f(x)+c。
4樓:尋伊使者
積分一般分為不定積分、定積分和微積分三種
1.0不定積分
設f(x)是函式f(x)的一個原函式,我們把函式f(x)的所有原函式f(x)+c(c為任意常數)叫做函式f(x)的不定積分。
記作∫f(x)dx。
其中∫叫做積分號,f(x)叫做被積函式,x叫做積分變數,f(x)dx叫做被積式,c叫做積分常數,求已知函式的不定積分的過程叫做對這個函式進行積分。
由定義可知:
求函式f(x)的不定積分,就是要求出f(x)的所有的原函式,由原函式的性質可知,只要求出函式f(x)的一個原函式,再加上任意的常數c,就得到函式f(x)的不定積分。
也可以表述成,積分是微分的逆運算,即知道了導函式,求原函式.
2.0定積分
眾所周知,微積分的兩大部分是微分與積分。微分實際上是求一函式的導數,而積分是已知一函式的導數,求這一函式。所以,微分與積分互為逆運算。
實際上,積分還可以分為兩部分。第一種,是單純的積分,也就是已知導數求原函式,而若f(x)的導數是f(x),那麼f(x)+c(c是常數)的導數也是f(x),也就是說,把f(x)積分,不一定能得到f(x),因為f(x)+c的導數也是f(x),c是無窮無盡的常數,所以f(x)積分的結果有無數個,是不確定的,我們一律用f(x)+c代替,這就稱為不定積分。
而相對於不定積分,就是定積分。
所謂定積分,其形式為∫f(x) dx (上限a寫在∫上面,下限b寫在∫下面)。之所以稱其為定積分,是因為它積分後得出的值是確定的,是一個數,而不是一個函式。
定積分的正式名稱是黎曼積分,詳見黎曼積分。用自己的話來說,就是把直角座標系上的函式的圖象用平行於y軸的直線把其分割成無數個矩形,然後把某個區間[a,b]上的矩形累加起來,所得到的就是這個函式的圖象在區間[a,b]的面積。實際上,定積分的上下限就是區間的兩個端點a、b。
我們可以看到,定積分的本質是把圖象無限細分,再累加起來,而積分的本質是求一個函式的原函式。它們看起來沒有任何的聯絡,那麼為什麼定積分寫成積分的形式呢?
定積分與積分看起來風馬牛不相及,但是由於一個數學上重要的理論的支撐,使得它們有了本質的密切關係。把一個圖形無限細分再累加,這似乎是不可能的事情,但是由於這個理論,可以轉化為計算積分。這個重要理論就是大名鼎鼎的牛頓-萊布尼茲公式,它的內容是:
若f'(x)=f(x)
那麼∫f(x) dx (上限a下限b)=f(a)-f(b)
牛頓-萊布尼茲公式用文字表述,就是說一個定積分式的值,就是上限在原函式的值與下限在原函式的值的差。
正因為這個理論,揭示了積分與黎曼積分本質的聯絡,可見其在微積分學以至更高等的數學上的重要地位,因此,牛頓-萊布尼茲公式也被稱作微積分基本定理。
3.0微積分
積分是微分的逆運算,即知道了函式的導函式,反求原函式。在應用上,積分作用不僅如此,它被大量應用於求和,通俗的說是求曲邊三角形的面積,這巧妙的求解方法是積分特殊的性質決定的。
一個函式的不定積分(亦稱原函式)指另一族函式,這一族函式的導函式恰為前一函式。
其中:[f(x) + c]' = f(x)
一個實變函式在區間[a,b]上的定積分,是一個實數。它等於該函式的一個原函式在b的值減去在a的值。
積分 integral 從不同的問題抽象出來的兩個數學概念。定積分和不定積分的統稱。不定積分是為解決求導和微分的逆運算而提出的。
例如:已知定義在區間i上的函式f(x),求一條曲線y=f(x),x∈i,使得它在每一點的切線斜率為f′(x)= f(x)。函式f(x)的不定積分是f(x)的全體原函式(見原函式),記作 。
如果f(x)是f(x)的一個原函式,則 ,其中c為任意常數。例如, 定積分是以平面圖形的面積問題引出的。y=f(x)為定義在[a,b〕上的函式,為求由x=a,x=b ,y=0和y=f(x)所圍圖形的面積s,採用古希臘人的窮竭法,先在小範圍內以直代曲,求出s的近似值,再取極限得到所求面積s,為此,先將[a,b〕分成n等分:
a=x0 當f(x)的原函式存在時,定積分的計算可轉化為求f(x)的不定積分:這是c牛頓萊布尼茲公式 微分一元微分 定義:設函式y = f(x)在x.的鄰域內有定義,x0及x0 + δx在此區間內。 如果函式的增量δy = f(x0 + δx) − f(x0)可表示為 δy = aδx + o(δx)(其中a是不依賴於δx的常數),而o(δx0)是比δx高階的無窮小,那麼稱函式f(x)在點x0是可微的,且aδx稱作函式在點x0相應於自變數增量δx的微分,記作dy,即dy = aδx。 通常把自變數x的增量 δx稱為自變數的微分,記作dx,即dx = δx。於是函式y = f(x)的微分又可記作dy = f'(x)dx。函式的微分與自變數的微分之商等於該函式的導數。 因此,導數也叫做微商。 當自變數x改變為x+△x時,相應地函式值由f(x)改變為f(x+△x),如果存在一個與△x無關的常數a,使f(x+△x)-f(x)和a·△x之差關於△x→0是高階無窮小量,則稱a·△x是f(x)在x的微分,記為dy,並稱f(x)在x可微。函式可導必可微,反之亦然,這時a=f′(x)。再記a·△x=dy,則dy=f′(x)dx。 例如:d(sinx)=cosxdx。 幾何意義: 設δx是曲線y = f(x)上的點m的在橫座標上的增量,δy是曲線在點m對應δx在縱座標上的增量,dy是曲線在點m的切線對應δx在縱座標上的增量。當|δx|很小時,|δy-dy|比|δy|要小得多(高階無窮小),因此在點m附近,我們可以用切線段來近似代替曲線段。 多元微分 同理,當自變數為多個時,可得出多元微分得定義。 運演算法則: dy=f'(x)dx d(u+v)=du+dv d(u-v)=du-dv d(uv)=du·v+dv·u d(u/v)=(du·v-dv·u)/v^2 分享一種解法,bai應用du尤拉公式 e zhi ix cosx isinx 求解。dao 設i1 專e 屬 ax cos bx dx,i2 e ax sin bx dx。i1 ii2 e ax ibx dx 1 a bi e ax ibx c1 a bi a2 b2 cosbx isinbx e ... 當然不滿足，你弄反了，df x f x dx 你這個跟不定積分有什麼關係？不是微分問題嗎？而且 要注意是誰的微分，跟著寫下去就行 ssgnjesxfrfv 滾滾滾滾滾滾滾滾滾滾滾滾滾滾滾滾滾滾滾滾滾滾滾滾滾 不定積分問題？這可以通過integration by parts得來的來。我這裡簡單做 自其... 關鍵 微積分 積分與積分變數記號無關 對勾函式的基本不等式。不定積分證明 假設原函式存在 f x limit x 0 f x limit x 0 f x 1 limit x 0 f x limit x 0 f x 0 由於 limit x 0 f x limit x 0 f x 所以 f x 0 不...不定積分問題,不定積分的問題
不定積分問題，不定積分問題計算
不定積分的證明，不定積分證明