1樓:匿名使用者
因為y = e^x 是齊次方程copy的解bai,根據常數變易法可令 y = e^dux * v.
求導有zhi,
y' = e^daox (v' + v)
y'' = e^x (v'' + 2v' + v).
代入原方程有
e^x (v'' + 2v' + v) - 2 * e^x (v' + v) + e^x v = e^x/x
==> v'' = 1/x
兩邊同時積分:
v' = ln x + a'
==> v = (x ln x - x) + a'x + b, 根據分部積分
==> v = x ln x + ax + b, 其中 a = a' - 1.
因此, y = e^x * v = xe^x ln x + (ax + b)e^x.
設二階常係數線性微分方程y''+αy'+βy=γe^x的一個特解為y=e^(2x)+(1+x)e^x試確定常數αβγ,並求通解
2樓:匿名使用者
^y=e^(2x)+(1+x)e^x,
∴y'=2e^(2x)+(2+x)e^x,y''=4e^(2x)+(3+x)e^x,代入原方程得
4e^(2x)+(3+x)e^x+α[2e^(2x)+(2+x)e^x]+β[e^(2x)+(1+x)e^x]=γe^x,
∴(4+2α+β)e^(2x)+[3+x+α(2+x)+β(1+x)-γ]e^x=0,對任意x都成立,
∴4+2α+β=0,
3+2α+β-γ=0,
1+α+β=0.
解得α=-3,β=2,γ=-1.
∴原方程是y''-3y'+2=-e^x,
特徵根是1,2,其通解是y=c1e^(2x)+c2e^x+e^(2x)+(1+x)e^x.
3樓:匿名使用者
4e^(2x)+e^x+e^x+(1+x)e^x+α[2e^(2x)+e^x+(1+x)e^x]+β
[e^(2x)+(1+x)e^x]=γe^xe^(2x)(4+2α+β)+e^x[3+2α+β-γ]+xe^x(1+α+β)=0
4+2α+β=0 (1)
3+2α+β-γ=0 (2)
1+α+β=0 (3)
(1-3) -> α=-3 代入內(3) -> β=2 代入(2) -> γ=-1
原方程變容
為:y''-3y'+2y=-e^x
其通解: y=c1e^x+c2e^(2x)+xe^x
設二階常係數微分方程y"+ay'+βy=γe∧x有一個特解為y=e∧2x+(1+x)e∧x 20
4樓:就不想回那裡
由:y=e2x+(
1+x)ex得: y′=2e2x+(2+x)ex, y′′=4e2x+(3+x)ex,將y,y′,y′′代入原微分方程,整回理可得:(答4+2α+β)e2x +(1+α+β)xex+(3+2α+β-γ)ex=0,1 因為:
y=e2x+(1+x)ex是方程的一個特解,所以對於任意有定義的x,1式恆成立,所以有: 4+2α+β=0 1+α+β=0 3+2α+β?γ=0 .解得:
α=-3,β=2,γ=-1,故原微分方程的具體表示式為: y′′-3y′+2y=-ex,其對應齊次方程的特徵方程為: λ2-3λ+2=0,求得特徵值為:
λ1=1,λ2=2,對應齊次方程的通解為: . y =c1ex+c2e2x,又因為:
非齊次項為-ex,且λ=1為特徵根,所以:可設原微分方程的特解為 y*=axex,代入原微分方程可得:a=1,所以:
y*=xex,由線性微分方程解的結構定理得原方程的通解為: y=. y +y*=c1ex+c2e2x+xex.
求微分方程y 2y y xex的通解
微分方程y 2y y xex對應的齊次微分方程為y 2y y 0 特徵方程為t2 2t 1 0 解得t1 t2 1 故齊次微分方程對應的通解y c cx e x因此，微分方程y 2y y xex對應的非齊次微分方程的特解可設為y ax b ex y ax a b ex y ax 2a b ex 將y...
求微分方程的通解，微分方程的通解怎麼求
微分方程的解通常是一個函式表示式y f x 含一個或多個待定常數，由初始條件確定 例如 其解為 其中c是待定常數 如果知道 則可推出c 1，而可知 y cos x 1。一階線性常微分方程 對於一階線性常微分方程，常用的方法是常數變易法 對於方程 y p x y q x 0，可知其通解 然後將這個通解...
微積分 求下列微分方程的通解，求微分方程通解，要詳細步驟
a dy dx 2xy 0 dy dx 2xy dy y 2x dx ln y x 2 c y c.e x 2 b dy dx xy 2x dy dx x y 2 dy y 2 xdx ln y 2 1 2 x 2 c y 2 ce 1 2 x 2 y 2 ce 1 2 x 2 a dy dx 2x...