求微分方程的通解,微分方程的通解怎麼求

2022-03-17 05:20:43 字數 4427 閱讀 9355

1樓:匿名使用者

微分方程的解通常是一個函式表示式y=f(x),(含一個或多個待定常數,由初始條件確定)。

例如:其解為:

其中c是待定常數;

如果知道

則可推出c=1,而可知 y=-\cos x+1。

一階線性常微分方程

對於一階線性常微分方程,常用的方法是常數變易法:

對於方程:y'+p(x)y+q(x)=0,可知其通解:

然後將這個通解代回到原式中,即可求出c(x)的值。

二階常係數齊次常微分方程

對於二階常係數齊次常微分方程,常用方法是求出其特徵方程的解

對於方程:

可知其通解:

其特徵方程:

根據其特徵方程,判斷根的分佈情況,然後得到方程的通解

一般的通解形式為:若則有

若則有在共軛複數根的情況下:

r=α±βi

擴充套件資料

一階微分方程的普遍形式

一般形式:f(x,y,y')=0

標準形式:y'=f(x,y)

主要的一階微分方程的具體形式

約束條件

微分方程的約束條件是指其解需符合的條件,依常微分方程及偏微分方程的不同,有不同的約束條件。

常微分方程常見的約束條件是函式在特定點的值,若是高階的微分方程,會加上其各階導數的值,有這類約束條件的常微分方程稱為初值問題。

若是二階的常微分方程,也可能會指定函式在二個特定點的值,此時的問題即為邊界值問題。若邊界條件指定二點數值,稱為狄利克雷邊界條件(第一類邊值條件),此外也有指定二個特定點上導數的邊界條件,稱為諾伊曼邊界條件(第二類邊值條件)等。

偏微分方程常見的問題以邊界值問題為主,不過邊界條件則是指定一特定超曲面的值或導數需符定特定條件。

唯一性存在性是指給定一微分方程及約束條件,判斷其解是否存在。唯一性是指在上述條件下,是否只存在一個解。

針對常微分方程的初值問題,皮亞諾存在性定理可判別解的存在性,柯西-利普希茨定理 [4]  則可以判別解的存在性及唯一性。

針對偏微分方程,柯西-克瓦列夫斯基定理可以判別解的存在性及唯一性。 皮亞諾存在性定理可以判斷常微分方程初值問題的解是否存在。

2樓:兔斯基

非齊次的特解帶入非齊次方程中,如下詳解望採納

3樓:惜君者

^先求對應的齊次方程dy/dx=2y/(x+1)的通解dy/y=2dx/(x+1)

ln|y|=2ln|x+1|+ln|c|

y=c (x+1)²

由常數變易法,令y=c(x)(x+1)²

則dy/dx=c'(x)(x+1)²+2c(x)(x+1)代入原方程得

c'(x)(x+1)²=(x+1)^(5/2)c'(x)=(x+1)^(1/2)

c(x)=2/3 (x+1)^(3/2)+c故原方程的通解為y=2/3 (x+1)^(7/2) +c(x+1)²

微分方程的通解怎麼求?

4樓:汗海亦泣勤

^已知微分方程的通解怎麼求這個微分方程

答:求導!如:

1。x^2-xy+y^2=c等式兩邊對x求導:2x-y-x(dy/dx)+2y(dy/dx)=0故dy/dx=(2x-y)/(x-2y);或寫成2x-y-(x-2y)y′=0

若要求二階微分方程則需再求導一次:

2-y′-(1-2y′)y′+(x-2y)y〃=02。e^(-ay)=c1x+c2

-ay′e^(-ay)=c₁(一階微分方程)-ay〃e^(-ay)-ay′(-ay′)e^(-ay)=0,即a²(y′)²-ay〃=0(二階微分方程)

5樓:秦桑

此題解法如下:

∵ (1+y)dx-(1-x)dy=0

==>dx-dy+(ydx+xdy)=0

==>∫dx-∫dy+∫(ydx+xdy)=0==>x-y+xy=c (c是常數)

∴ 此方程的通解是x-y+xy=c。

6樓:匿名使用者

二階常係數齊次線性微分方程解法:

特徵根法是解常係數齊次線性微分方程的一種通用方法。

(1+y)dx-(1-x)dy=0

==>dx-dy+(ydx+xdy)=0

==>∫dx-∫dy+∫(ydx+xdy)=0==>x-y+xy=c (c是常數)

此方程的通解是x-y+xy=c。

微分方程術語

對一個微分方程而言,它的解會包括一些常數,對於n階微分方程,它的含有n個獨立常數的解稱為該方程的通解。二階常微分方程,在物理中經常會用到,被稱作亥姆霍茲方程(helmholtz equation)。取某個特定值時所得到的解稱為方程的特解。

例如y=6*cos(x)+7*sin(x)是該方程的一個特解。

7樓:逯暮森香梅

祝:學習棒棒噠!^.^

8樓:匿名使用者

[高數]變限積分求導易錯點

9樓:匿名使用者

解:∵(1+y)dx-(1-x)dy=0

==>dx-dy+(ydx+xdy)=0

==>∫dx-∫dy+∫(ydx+xdy)=0==>x-y+xy=c (c是常數)

∴此方程的通解是x-y+xy=c。

10樓:糜穆嶽葉舞

題目是不是弄錯了啊,是y''+2y'-3y=0吧如果是y"+2y'-3y=o過程如下:

解:該微分方程的特徵方程為r∧2+2r-3=0解得r1=-3,r2=1

∴微分方程的通解為y=c1e∧-3x+c2e∧x

求微分方程通解,要詳細步驟

11樓:勿忘心安

1)特徵方程為r²-5r+6=0, 即(r-2)(r-3)=0, 得r=2, 3

設特解y*=a, 代入方程得:6a=7, 得a=7/6

故通解y=c1e^(2x)+c2e^(3x)+7/6

2) 特徵方程為2r²+r-1=0, 即(2r-1)(r+1)=0, 得r=1/2, -1

設特解y*=ae^x, 代入方程得:

2a+a-a=2, 得a=1

因此通解y=c1e^(x/2)+c2e^(-x)+e^x

拓展資料:微分方程論是數學的重要分支之一。大致和微積分同時產生,並隨實際需要而發展。

含自變數、未知函式和它的微商(或偏微商)的方程稱為常(或偏)微分方程。

介紹含有未知函式的導數,如

的方程都是微分方程。一般的凡是表示未知函式、未知函式的導數與自變數之間的關係的方程,叫做微分方程。未知函式是一元函式的,叫常微分方程;未知函式是多元函式的叫做偏微分方程。

微分方程有時也簡稱方程。

概述大致與微積分同時產生。事實上,求y′=f(x)的原函式問題便是最簡單的微分方程。i.

牛頓本人已經解決了二體問題:在太陽引力作用下,一個單一的行星的運動。他把兩個物體都理想化為質點,得到3個未知函式的3個二階方程組,經簡單計算證明,可化為平面問題,即兩個未知函式的兩個二階微分方程組。

用叫做「首次積分」的辦法,完全解決了它的求解問題。17世紀就提出了彈性問題,這類問題導致懸鏈線方程、振動弦的方程等等。總之,力學、天文學、幾何學等領域的許多問題都導致微分方程。

在當代,甚至許多社會科學的問題亦導致微分方程,如人口發展模型、交通流模型……。因而微分方程的研究是與人類社會密切相關的。當初,數學家們把精力集中放在求微分方程的通解上,後來證明這一般不可能,於是逐步放棄了這一奢望,而轉向定解問題:

初值問題、邊值問題、混合問題等。但是,即便是一階常微分方程,初等解(化為積分形式)也被證明不可能,於是轉向定量方法(數值計算)、定性方法,而這首先要解決解的存在性、唯一性等理論上的問題。

12樓:撒念風

只能是c

2x-cosx是對應的齊次微分方程的解,原方程的通解為c(2x-cosx)+cosx

微分方程的通解,通解是什麼意思,可以舉例說明嗎?

13樓:我是一個麻瓜啊

對於一個微分方程而言,其解往往不止一個,而是有一組,可以表示這一組中所有解的統一形式,稱為通解。

對一個微分方程而言,它的解會包括一些常數,對於n階微分方程,它的含有n個獨立常數的解稱為該方程的通解。

舉例說,y'=2x的通解為y=x^2+c,表示一族拋物線,如果給出初始條件y(0)=0,代入通解得到

0=0+c--->c=0於是通解化作特解:y=x^2,表示一條拋物線。所以,微分方程的通解表示解曲線族,特解則表示該曲線族中的一條。

14樓:匿名使用者

舉例說,y'=2x的通解為y=x^2+c,表示一族拋物線,如果給出初始條件y(0)=0,代入通解得到

0=0+c--->c=0於是通解化作特解:y=x^2,表示一條拋物線。

所以,微分方程的通解表示解曲線族,特解則表示該曲線族中的一條。

微分方程通解問題,微分方程的通解怎麼求

非齊次通解 齊次通解 非齊次特解,齊次解 非齊次解 非齊次解 微分方程的通解怎麼求 微分方程的解通常是一個函式表示式y f x 含一個或多個待定常數,由初始條件確定 例如 其解為 其中c是待定常數 如果知道 則可推出c 1,而可知 y cos x 1。一階線性常微分方程 對於一階線性常微分方程,常用...

微積分 求下列微分方程的通解,求微分方程通解,要詳細步驟

a dy dx 2xy 0 dy dx 2xy dy y 2x dx ln y x 2 c y c.e x 2 b dy dx xy 2x dy dx x y 2 dy y 2 xdx ln y 2 1 2 x 2 c y 2 ce 1 2 x 2 y 2 ce 1 2 x 2 a dy dx 2x...

微分方程的通解是不是全部解,微分方程的通解是否包含了微分方程的所有解了

上面說的通積分其實就是你問題裡面的通解。如同上面說的一樣,常數解有時候是包含在通解中的,但是有時候也不包含在通解中,如果不包含在通解中的話,就必須把常數解寫出來。所以微分方程的通解不是全部的解。微分方程的通解是否包含了微分方程的所有解了 又找了一下。好像不屬於通解的特殊解 叫做奇解。我也在想這個問題...