1樓：匿名使用者
^^z = x^4 + 3y^4 -2x^2y^3的二階偏導數:
z"xy = -12xy^2
z''yx = - 12xy^2
z = x^4 + 3y^4 -2x^2y^3的一階偏導數:
z'x = 4x^3 -4xy^3
z'y = 12y^3 - 6x^2y^2
z = x^4 + 3y^4 -2x^2y^3的二階導數:
z"xx = 12x^2 - 4y^3
z"yy = 36y^2 - 12x^2y
在數學中，一個多變數的函式的偏導數，就是它關於其中一個變數的導數而保持其他變數恆定(相對於全導數，在其中所有變數都允許變化)。偏導數在向量分析和微分幾何中是很有用的。
引入在一元函式中，我們已經知道導數就是函式的變化率。對於二元函式我們同樣要研究它的"變化率"。然而，由於自變數多了一個，情況就要複雜的多。
在xoy平面內，當動點由p(x0,y0)沿不同方向變化時，函式f(x,y)的變化快慢一般說來是不同的，因此就需要研究f(x,y)在(x0,y0)點處沿不同方向的變化率。
在這裡我們只學習函式f(x,y)沿著平行於x軸和平行於y軸兩個特殊方位變動時，f(x,y)的變化率。
偏導數的運算元符號為:∂。
偏導數反映的是函式沿座標軸正方向的變化率。
定義x方向的偏導
設有二元函式z=f(x,y)，點(x0,y0)是其定義域d內一點.把y固定在y0而讓x在x0有增量△x，相應地函式z=f(x,y)有增量(稱為對x的偏增量)△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。
如果△z與△x之比當△x→0時的極限存在，那麼此極限值稱為函式z=f(x,y)在(x0,y0)處對x的偏導數(partial derivative)。記作f'x(x0,y0)。
y方向的偏導
函式z=f(x,y)在(x0,y0)處對x的偏導數，實際上就是把y固定在y0看成常數後，一元函式z=f(x,y0)在x0處的導數
同樣，把x固定在x0,讓y有增量△y,如果極限存在那麼此極限稱為函式z=(x,y)在(x0,y0)處對y的偏導數。記作f'y(x0,y0)
求法當函式z=f(x,y)在(x0,y0)的兩個偏導數f'x(x0,y0)與f'y(x0,y0)都存在時，相關書籍我們稱f(x,y)在(x0,y0)處可導。如果函式f(x,y)在域d的每一點均可導，那麼稱函式f(x,y)在域d可導。
此時，對應於域d的每一點(x,y)，必有一個對x(對y)的偏導數，因而在域d確定了一個新的二元函式，
稱為f(x,y)對x(對y)的偏導函式。簡稱偏導數。
幾何意義
表示固定面上一點的切線斜率相關書籍。
偏導數f'x(x0,y0)表示固定面上一點對x軸的切線斜率;偏導數f'y(x0,y0)表示固定面上一點對y軸的切線斜率。
高階偏導數:如果二元函式z=f(x,y)的偏導數f'x(x,y)與f'y(x,y)仍然可導，那麼這兩個偏導函式的偏導數稱為z=f(x,y)的二階偏導數。
二元函式的二階偏導數有四個:f"xx，f"xy，f"yx，f"yy.
注意:f"xy與f"yx的區別在於:前者是先對x求偏導，然後將所得的偏導函式再對y求偏導;後者是先對y求偏導再對x求偏導.
當f"xy與f"yx都連續時，求導的結果與先後次序無關。
2樓：匿名使用者
^^z = x^4 + 3y^4 -2x^2y^3z'x = 4x^3 -4xy^3
z"xx = 12x^2 - 4y^3
z'y = 12y^3 - 6x^2y^2z"yy = 36y^2 - 12x^2yz"xy = -12xy^2
函式z=x4+y4-x2-2xy-y2的極值點是______
3樓：kof多彩uw讓
先令兩個偏導抄數為零，
?z?x
＝襲4x
?2x?2y＝0
?z?y
＝4y?2x?2y＝0
?x＝?1
y＝?1
或bai
x＝0y＝0
或x＝1
y＝1再求三個二du階偏導數，
zhidao
a=?z
?x＝12x
?2，b=?
z?x?y
＝?2，c=?z?y
＝12y
?2．（-1，-1）點：ac-b2＞0，a＞0，（-1，-1）為極小值點；
（1，1）點：ac-b2＞0，a＞0，（1，1）為極小值點；
（0，0）點：ac-b2=0，用定義法在原點的領域周圍找點，判斷其函式值：
f（ε，0）＜0，f（-ε，ε）＞0，故在原點周圍鄰域（0，0）不是極值點．
綜上所述：極值點為（-1，-1），（1，1）．
4樓：顧惜朝雲
先令du兩個偏導數為零，
∂z∂x＝zhi4x3−2x−2y＝0∂z∂y＝4y3−2x−2y＝0⇒ x＝−1y＝−1或x＝0y＝0或x＝1y＝1
再求三個二階偏dao導數，
內a= ∂2z∂x2＝12x2−2，b= ∂2z∂x∂y＝−2，c= ∂2z∂y2＝12y2−2．
（-1，-1）點：ac-b2
＞容0，a＞0，（-1，-1）為極小值點；
（1，1）點：ac-b2＞0，a＞0，（1，1）為極小值點；
（0，0）點：ac-b2=0，用定義法在原點的領域周圍找點，判斷其函式值：
f（ε，0）＜0，f（-ε，ε）＞0，故在原點周圍鄰域（0，0）不是極值點．
綜上所述：極值點為（-1，-1），（1，1）．
求z=y^x的二階偏導數
5樓：你愛我媽呀
解答過程如下：
這是一個冪指數函式
先求對函式關於x的一階偏導，則y為常數，這個函式看做指數函式。z'(x)=y^x·lny，再求對函式關於y的一階偏導z'(y)=x·y^(x-1)。
然後繼續對關於x,y分別求二階偏導數：
z'(xx)=y^x·ln²y。
z'(yy)=x(x-1)·y^(x-2)。
z'(xy)=xy^(x-1)lny+y^x·1/y=y^(x-1)+xy^(x-1)lny。
z'(yx)=y^(x-1)+xy^(x-1)lny。
6樓：si陳小七
這是一個冪指數函式
先求對函式關於x的一階偏導，則y為常數，(那這個函式可以看做指數函式)
z'(x)=y^x·lny，再求對函式關於y的一階偏導(這個函式可以看做冪函式)
z'(y)=x·y^(x-1)
然後繼續對關於x,y分別求二階偏導數
z'(xx)=y^x·ln²y
z'(yy)=x(x-1)·y^(x-2)z'(xy)=xy^(x-1)lny+y^x·1/y=y^(x-1)+xy^(x-1)lny
z'(yx)=y^(x-1)+xy^(x-1)lny這個**應該看得更清楚些，希望可以幫到你們。
7樓：吉祿學閣
^^z=e^(xlny)
dz=e^(xlny)*(lnydx+xdy/y)z'|x=e^(xlny)*lny
z'|y=e^(xlny)*(x/y)
則：z''|x^2=e^(xlny)*(lny)*(lny)=(lny)^2*y^x;
z''|y^2=e^(xlny)*(x/y)*(*x/y)+e^(xlny)*(-x/y^2)
=e^(xlny)*(x/y^2)*(x-1)=x*(x-1)*y^(x-2)
z''|xy=e^(xlny)*(x/y)*lny+e^(xlny)*(1/y)
=e^(xlny)*(1/y)*(xlny+1)=y^(x-1)*(xlny+1)
8樓：匿名使用者
^z=y^x
z'x = lny y^x
z''xx = lny lny y^x
z'y = xy^(x-1)
z''yy = x(x-1)y^(x-2)z''xy = y^x/y * y^x + lny xy^(x-1) = y^(2x-1) + lny xy^(x-1)
求函式z x2y3當x 2,y 1,x 0 02,y 0 01時的全微分和全增量
z x bai2 y 3,dz 2xy 3dx 3x 2 y 2dy,當dux 2,y 1,zhix 0.02,y dao0.01時,dz 4dx 12dy,z 4 x 12 y 4 0.02 12 0.01 0.08 0.12 0.2.求函式z x2y3當x 2,y 1,x 0.02,y 0.01...
y的二階導數等於y的一階導數加x求通解
具體回答如下 y y x 特徵方程 r 2 r 0 r 1，r 0 因此齊次通解是 y c1 c2e x 觀察得特解是 y 1 2x 2 x 因此通解是 y c1 c2e x 1 2x 2 x導數的意義 不是所有的函式都有導數，一個函式也不一定在所有的點上都有導數。若某函式在某一點導數存在，則稱其在...
函式Y的二階導數是Y本身,求Y
y y,令y p,則y dp dy dy dx dp dy p 原式化為 dp dy p y 即pdp ydy,得p 2 y 2 c1,整理得dy y 2 c1 dx 得ln y y 2 c1 x c2即結果。y y 兩邊同乘以2y d y 2 dx dy 2 dx d y 2 y 2 dx 0 y...