1樓:星光下的守望者
∫∫e^(x^2+y^2)dxdy=∫[0->2π]∫[0->2]e^(r^2)rdrdθ
=π∫[0->2]e^(r^2)d(r^2)=π[e^(r^2)] | [0->2]
=π(e^4-1)
二重積分e(x^2+y^2),其中d是由x^2+y^2=4所圍成的閉區域
二重積分根號下(r^2-x^2+y^2)其中d是由圓周x^2+y^2=rx所圍成的區域角度值怎麼確
2樓:弈軒
x^2+y^2=rx 先化為標準方程
=> x² -2(r/2·x) + (r/2)² +y²= (x-r/2)² +y² =(r/2)²
如果以(x,y)=(0,0)為極座標圓點來計算的話,那會非常麻煩。
應該以區域d,這個圓的圓心(x,y)=(r/2,0)為極座標圓點來建系。
即設 x-r/2=ρcosθ ;y=ρsinθ ,解答過程等會追答用圖展示。
如圖,如有疑問或不明白請追問哦!
計算二重積分∫∫y^2dxdy,其中d是由圓周x^2+y^2=1所圍成的閉區域
3樓:demon陌
具體回答如圖:
重積分有著廣泛的應用,可以用來計算曲面的面積,平面薄片重心等。平面區域的二重積分可以推廣為在高維空間中的(有向)曲面上進行積分,稱為曲面積分。
兩重積分∫∫de^(x2+y2)dσ,其中d由圓周x2+y2=4所圍成的閉區間
4樓:匿名使用者
作極坐bai標變換,則積分割槽域du變為
zhi d:0≤r≤2,0≤θ≤2π,dao可得∫∫
內(d)[e^容(x^2+y^2)]dσ
= ∫∫(d)[e^(r^2)]rdrdθ= ∫[0,2π]dθ*∫[0,2][e^(r^2)]rdr= 2π*(1/2)∫[0,2][e^(r^2)]d(r^2)= ……
5樓:西江樓望月
^^是∫
∫e^(x^2+y^2) dd 吧
設 x=rcost
y=rsint
∫(0~回2π)∫(0~2) e^答(r^2) r drdt=0.5 ∫(0~2π)∫(0~2) 2re^(r^2) drdt=0.5 ∫(0~2π) dt
=0.5 ∫(0~2π) dt
=π(e^4-1)
6樓:尹六六老師
你會不會用極座標啊?
選擇適當的座標計算下列二重積分sin(x^2+y^2),其中d是由圓周x^2+y^2=π^2/4所圍成的閉區域 5
7樓:匿名使用者
樓上最後錯來了
顯然用極座標,因為區域自是圓
所以bai
令x=rcosθ
y=rsinθ
所以原二重積分
du=∫∫sin(r^zhi2)rdrdθ其區域在極座標下表
dao示為
0
=∫[0,2π]dθ*∫[0,π/2] sin(r^2)rdr=2π*(1/2)∫[0,π/2] sin(r^2) d(r^2)=π(-cos(r^2))|[0,π/2]=π(-cos(π^2/4)+1)
8樓:
∫∫sin(x²+y²) dxdy=∫∫(sinρ²)ρdρdθ……θ版=0~2π
權,ρ=0~π/2;
=∫(sinρ²)ρdρ∫dθ=-π*(cosρ²)|=π-cos(π²/4);
二重積分:∫∫√(r^2-x^2-y^2)dxdy, 其中d是由圓周x^2+y^2=rx所圍成的閉
9樓:匿名使用者
x² + y² = rx ==> (x - r/2)² + y² = (r/2)² ==> r = rcosθ
這是在y軸右邊,與y軸相切的圓形
所以角度範圍是有- π/2到π/2
又由於被積函式關於x軸對稱
由對稱性,所以∫∫d = 2∫∫d(上半部分),即角度範圍由0到π/2
∫∫ √(r² - x² - y²) dxdy
= ∫∫ √(r² - r²) * r drdθ
= 2∫(0,π/2) dθ ∫(0,rcosθ) √(r² - r²) * r dr
= 2∫(0,π/2) dθ * (- 1/2) * (2/3)(r² - r²)^(3/2) |(0,rcosθ)
= (- 2/3)∫(0,π/2) [(r² - r²cos²θ)^(3/2) - r³] dθ
= (- 2/3)∫(0,π/2) r³(sin³θ - 1) dθ
= (- 2/3)r³ * (2!!/3!! - π/2),這裡用了wallis公式
= (- 2/3)r³ * (2/3 - π/2)
= (1/3)(π - 4/3)r³
二重積分:∫∫√(r^2-x^2-y^2)dxdy, 其中d是由圓周x^2+y^2=rx所圍成的閉區域
10樓:匿名使用者
用極座標來做
,令x=rcosθ,y=rsinθ
則∫∫√(r^2-x^2-y^2)dxdy=∫∫ r *√(r^2-r^2) drdθ,
由積分割槽域d:x^2+y^2=rx可以知道,
r^2<= r*rcosθ,即 r<=rcosθ,
而畫出d的圖形可以知道θ的範圍是[0,π]
所以∫∫ r *√(r^2-r^2) drdθ
=∫∫ 0.5√(r^2-r^2) d(r^2)dθ
化成二次積分,
原積分=∫ [0,π]dθ ∫ [rcosθ,0] 0.5√(r^2-r^2) d(r^2)
顯然 ∫0.5√(r^2-r^2) d(r^2)= -1/3 * (r^2-r^2)^(3/2) +c(c為常數),
代入上下限,
即 ∫ [rcosθ,0] 0.5√(r^2-r^2) d(r^2)
=1/3 * [r^3-(rsinθ)^3]
再對θ積分,
原積分=∫ [0,π] 1/3 * [r^3-(rsinθ)^3]dθ
=r^3/3 ∫ [0,π] [1-(sinθ)^3]dθ
而∫ [1-(sinθ)^3]dθ=θ- ∫(sinθ)^3dθ
=θ+∫(sinθ)^2dcosθ
=θ+∫[1-(cosθ)^2]dcosθ
=θ+cosθ-(cosθ)^3 /3 +c(c為常數)
代入上下限,
即 ∫ [0,π] [1-(sinθ)^3]dθ=[π+cosπ-(cosπ)^3 /3] -[0+cos0-(cos0)^3 /3]=π-4/3
於是原積分=r^3/3 ∫ [0,π] [1-(sinθ)^3]dθ
=r^3/3*(π-4/3)
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說明 其中 x,1 x 表示x為上限,1 x為下限,由圖可觀察誰為上限,誰將做下限的。下面出現同類。原式 x 2dx x,1 x 1 y 2dy x 2 1 y x,1 x dx 2,1 x 3dx 2,1 xdx x 4 4 x 2 2 2,1 1為下限,2為上限 9 4 解 原式 1,2 x d...