1樓：小陽同學
z=√(r²-x²-y²)
zx=-x/√(r²-x²-y²),zy=-y/√(r²-x²-y²)
∫∫zds
=∫∫√(r²-x²-y²)*√[1+(x²+y²)/(r²-x²-y²)] dxdy
=∫∫√(r²-x²-y²)*r/√(r²-x²-y²) dxdy
=r∫∫ dxdy
=r*πr²
=πr³
基本介紹
積分發展的動力源自實際應用中的需求。實際操作中，有時候可以用粗略的方式進行估算一些未知量，但隨著科技的發展，很多時候需要知道精確的數值。要求簡單幾何形體的面積或體積，可以套用已知的公式。
比如一個長方體狀的游泳池的容積可以用長×寬×高求出。但如果游泳池是卵形、拋物型或更加不規則的形狀，就需要用積分來求出容積。物理學中，常常需要知道一個物理量（比如位移）對另一個物理量（比如力）的累積效果，這時也需要用到積分。
2樓：匿名使用者
理解對面積的曲面積分的物理意義對於解題很有幫助。
把被積函式z看做球體表面面密度，然後再對曲面積分，即求球表面質量。
然後看題目給的條件：x^2+y^2+z^2=r^2 ，z是關於x，y的曲面函式（r是已知量）。
z^2=r^2-x^2-y^2 ，等式兩邊開根號得到兩個z的表示式，即
上半球：z1=√（r^2-x^2-y^2)，下半球：z2= —√（r^2-x^2-y^2）。
根據z的物理意義，把z看做球表面面密度。
上班球和下半球密度的絕對值相等，但符號相反。（一個看成正密度，一個看成負密度）。
此題即求曲表面面積大小相等，面積密度互為相反的兩個半球的質量之和。
可以比較直觀地想象出答案，即∫∫ z ds = 0。（對稱性的解釋比較抽象，需要把對面積的曲面積分轉換為二重積分來作解釋。）
這裡有轉換過程的解釋
3樓：匿名使用者
因為被積函式z是變數z的奇函式，而積分曲面（球面）關於座標面z=0對稱，所以曲面積分等於0.
4樓：匿名使用者
由對稱性，∫∫ z ds = 0, 其中∑為球面x^2+y^2+z^2=r^2。
求對面積的曲面積分∫∫ds,其中∑為球面x^2+y^2+z^2=r^2
5樓：尹六六老師
這不就是求曲面的面積嗎？
曲面是球面，面積為
4πr^2
求對面積的曲面積分∫∫ds,其中∑為球面x^2+y^2+z^2=2
6樓：奕馳申屠揚
積分割槽域化為z>0和z<0兩部分，是對稱的，它們積分是相反數，結果=0
設∑為上半球面x^2+y^2+z^2=1(z>=0)則對面積的曲面積分∫∫ds=？
7樓：耿玉枝廉書
同學，這個被積函式為1呀，
那麼結果就是相當於求上半球面的面積了。
球體的面積公式是什麼？
是4π*r的平方。
只有上半球面，而半徑r=1，於是結果是2π了。
你用1l的方法得出的結果也是一樣的，不過就會繁雜很多！
要理解曲面積分的本質哪，不能見題目就套公式！@
高數曲面積分 ，設∑是球面x^2+y^2+z^2=a^2,則曲面積分(x+y+z)^2ds=?
8樓：夢色十年
4πa^4。
原式=∫∫
(x²+y²+z²+2xy+2yz+2xz)ds=∫∫(x²+y²+z²)ds+∫∫2xyds+ ∫∫2yz ds+∫∫ 2xzds
=∫∫a ²ds +0+0+0
=a² •4πa²
=4πa^4
注：1、∫∫(x²+y²+z²)ds=∫∫a ²ds （利用曲面積分可將曲面方程代入）
2、∫∫2xyds+ ∫∫2yz ds+∫∫ 2xzds=0+0+0 （利用曲面積分的對稱性）
9樓：匿名使用者
^高數曲面積分 ，設∑是球面x^2+y^2+z^2=a^2,則曲面積分(x+y+z)^2ds=?
原式=∫∫(x²+y²+z²+2xy+2yz+2xz)ds=∫∫(x²+y²+z²)ds+∫∫2xyds+ ∫∫2yz ds+∫∫ 2xzds
=∫∫a ²ds +0+0+0
=a² •4πa²
=4πa^4
注：1、∫∫(x²+y²+z²)ds=∫∫a ²ds （利用曲面積分可將曲面方程代入）
2、∫∫2xyds+ ∫∫2yz ds+∫∫ 2xzds=0+0+0 （利用曲面積分的對稱性）
設∑為上半球面x^2+y^2+z^2=1(z>=0)則對面積的曲面積分∫∫ds=？
10樓：匿名使用者
同學，這個被積來
函式為1呀，
那麼結源果就是相當於求上半球面的面積了。
球體的面積公式是什麼？
是4π*r的平方。
只有上半球面，而半徑r=1，於是結果是2π了。
你用1l的方法得出的結果也是一樣的，不過就會繁雜很多！
要理解曲面積分的本質哪，不能見題目就套公式！@
11樓：麼辛麼
先化成∫∫（x^2+y^2）/(1-x^2-y^2)
就把他投影到xoy平面上在利用極座標運算
求曲面積分
對於z 0 x 2 y 2 z 2 ds x 2 y 2 dxdy 0 2 0 3 r 3drd 81 2 對於z 2 x 2 y 2 z 2 ds x 2 y 2 4 dxdy 36 0 2 0 3 r 3drd 153 2 對於柱面的那一部分，因為ds 6 dz 所以 x 2 y 2 z 2 d...
第一型曲面積分和第二型曲面積分的區別
1 第一類沒方向,有幾何意義和物理意義 第二類有方向,只有物理意義。2 一類曲線是對曲線的長度,二類是對x,y座標.怎麼理解呢?告訴你一根線的線密度,問你線的質量,就要用一類.告訴你路徑曲線方程,告訴你x,y兩個方向的力,求功,就用二類.二類曲線也可以把x,y分開,這樣就不難理解一二類曲線積分之間的...
曲面積分的幾何意義是什麼第一型曲面積分的幾何意義是什麼？
定義在曲面上的函式或向量值函式關於該曲面的積分。曲面積分一般分成第一型曲面積分和第二型曲面積分。第一型曲面積分幾何意義 於對給定密度函式的空間曲面，計算該曲面的質量。第二型曲面積分幾何意義 對於給定的空間曲面和流體的流速，計算單位時間流經曲面的總流量。曲線積分是在同一個平面上線與線的封閉面積，就是形...