1樓：俱懷逸興壯思飛欲上青天攬明月
對於z=0
∫∫(x^2+y^2+z^2)ds=∫∫(x^2+y^2)dxdy=∫(0->2π)∫(0->3) r^3drdθ=81π/2
對於z=2
∫∫(x^2+y^2+z^2)ds=∫∫(x^2+y^2+4)dxdy=36π+∫(0->2π)∫(0->3) r^3drdθ=153π/2
對於柱面的那一部分，因為ds=6πdz
所以∫∫(x^2+y^2+z^2)ds=∫(0->2) (9+z^2) *6πdz=124π
所以原積分=81π/2+153π/2+124π=241π
2樓：匿名使用者
σ = σ1 + σ2 + σ3
σ1為平面z = 0，d：x² + y² ≤ 9
∫∫σ1 (x² + y² + z²) ds
= ∫∫d (x² + y²) * √(1 + 0 + 0) dxdy
= ∫(0→2π) dθ ∫(0→3) r³ dr
= 81π/2
σ2為平面z = 2，x² + y² ≤ 9
∫∫σ2 (x² + y² + z²) ds
= ∫∫d (x² + y² + 4) * √(1 + 0 + 0) dxdy
= ∫(0→2π) dθ ∫(0→3) (r² + 4) * r dr
= 153π/2
σ3為柱面x² + y² = 9 ==> x = ± √(9 - y²)
把σ3投影到yz面，前面和後面部分的積分相同，所以用對稱性
m：0 ≤ z ≤ 2，- 3 ≤ y ≤ 3
ds = √(1 + y²/(9 - y²)) = 3/√(9 - y²) dydz
∫∫σ3 (x² + y² + z²) ds
= 2∫∫m (9 + z²) * 3/√(9 - y²) dydz
= 2∫(0→2) (9 + z²) dz * 3∫(- 3→3) 1/√(9 - y²) dy
= 124/3 * 3π = 124π
所以整個積分結果 = 81π/2 + 153π/2 + 124π = 241π
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