1樓：and狗
解：設數列共有n項，首項為x，則
依題意有x²+a2+......+an≤100即(x²-x)+ (x +a2+......+an )≤100因為公差為4，所以(x²-x)+nx +2n(n-1)≤100x²+(n-1)x+2n(n-1)-100≤0令f(x)=x²+(n-1)x+2n(n-1)-100，則f(x)表示開口向上的二次函式，那麼上面的不等式即f(x)≤0。
要使不等式有解，則f(x)與x軸必有交點，所以判別式△=(n-1)²-4*[2n(n-1)-100]= -7n²+6n+401≥0
解之得(3-16√11)/7≤n≤(3+16√11)/7由於n為正整數，所以1≤n≤8n最大是8，即數列至多有8項。
2樓：匿名使用者
解：設共有n項。
an=a1+4(n-1)
a1²+a2+...+an
=a1²+(n-1)a1+4[1+2+...+(n-1)]/2=a1²+(n-1)a1+2n(n-1)
令a1²+(n-1)a1+2n(n-1)≤100a1²+(n-1)a1+2n(n-1)-100≤0不等式有解，則對於二次函式f(a1)=a1²+(n-1)a1+2n(n-1)-100，其頂點在x軸上或x軸下方。
f(a1)=a1²+(n-1)a1+2n(n-1)-100=[a1+ (n-1)/2]²+2n(n-1)-100-(n-1)²/4
=[a1+(n-1)/2]²+(7n²-6n-401)/4(7n²-6n-401)/4≤0
7n²-6n≤401
(n -3/7)²≤2816/49
(3-16√11)/7≤n≤(3+16√11)/7n為正整數，1≤n≤8
n最大是8，即數列至多有8項。
各項為實數的等差數列的公差為4，其首項的平方與其餘各項之和不超過100，這樣的數列至多有______項
3樓：ak_鏮珕
設a1 ，a2
…，an 是公差為4的等差數列，
則a12 +a2 +a3 +…+an
≤100，即a1
2+(a
1 +4)+[a
1 +4(n-1)] 2
?(n-1)≤100 ，
a12 +（n-1）a1 +（2n2 -2n-100）≤0，因此，7n2 -6n-401≤0，
解得 n1 ≤n≤n2 ，
其中n1 =1 7
（3-2816
）＜0，8＜n2 =3+
2816
7＜9，
所以自然數n的最大值為8．故這樣的數列至多有8項．故答案為：8．
等比數列的練習
4樓：桑田
1．給定公比為q(q≠1)的等比數列，設b1=a1+a2+a3，b2=a4+a5+a6，…，bn=a3n-2+a3n-1+a3n，…，則數列 ( )
(a)是等差數列 (b)是公比為q的等比數列
(c)是公比為q3的等比數列 (d)既是等差數列又是等比數列
【2023年全國高中數學競賽題】
2．等差數列的前m項的和為30，前2m項的和為100，則它的前3m項的和為( )
a．130 b．170 c．210 d．260
【2023年全國高考題】
3．等差數列中，a1=2，公差不為零，且a1，a3，a11恰好是某等比數列的前三項，那麼該等比數列的公比的值等於。
【2023年北京高考理工數學第14題】
4．已知數列是等差數列，且a1=2，a1+a2+a3=12
(i)求數列的通項公式
(ii)(文)令bn=an·3n，求數列的前n項和的公式
(理)令bn=an·xn (x∈r)，求數列的前n項和的公式
【2023年北京夏季高考數學第16題】
5．求和：
(1)s=1+2x+3x2+…+nxn-1
【《數學》教科書第一冊(上)p137複習參考題三b組題第6題】
(2)求數列：1，6，27，…，n-3n-1，的前n項之和sn。
6．已知正整數n不超過2000，且能表示成不少於60個連續正整數之和，那麼這樣的n的個數是 【2023年全國高中數學競賽試題】
7．各項為實數的等差數列的公差為4，其首項的平方與其餘各項之和不超過100，這樣的數列至多有項。【2023年全國高中數學競賽試題】
參***
1．(c)
2．(c)
3．44．(i)an=2n
(ii)
5．6．6個7．8
高一數學題!**!!!
5樓：匿名使用者
設中間項是第x項
x=(n-1)/2
奇數項與偶數項和
之比為7:6
那麼奇數項和=377*7/13=203
偶數項和=377-203=174
因為奇數項和=a1+a3+a5...+ax+..a(n-2)+an=(a1+an)+[a3+a(n-2)]+[a5+a(n-5)]....+ax=203 (1)
偶數項和=a2+a4+a6+...+a(n-3)+a(n-1)=[a2+a(n-1)]+[a4+a(n-3)]....=174 (2)
注意到等差數列有
(a1+an)=a2+a(n-1)，a3+a(n-2)=a4+a(n-3),....
（1）-（2）
ax=29
6樓：露幻
如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等於同一個常數，這個數列就叫做等比數列。這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母q表示。
等比數列的通項公式是：
an=a1·qn-1
前n項和公式是：
在等比數列中，等比中項：
，且任意兩項am，an的關係為an=am·qn-m
如果等比數列的公比q滿足0＜∣q∣＜1，這個數列就叫做無窮遞縮等比數列，它的各
項的和(又叫所有項的和)的公式為：
從等比數列的定義、通項公式、前n項和公式可以推出：
a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈
若m，n，p，q∈n*，則有：
ap·aq=am·an，
記πn=a1·a2…an，則有
π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1
另外，一個各項均為正數的等比數列各項取同底數數後構成一個等差數列；反之，以任一個正數c為底，用一個等差數列的各項做指數構造冪can，則是等比數列。在這個意義下，我們說：一個正項等比數列與等差數列是「同構」的。
重要的不僅是兩類基本數列的定義、性質，公式；而且蘊含於求和過程當中的數學思想方法和數學智慧，也是極其珍貴的，諸如「倒排相加」(等差數列)，「錯位相減」(等比數列)。
數列中主要有兩大類問題，一是求數列的通項公式，二是求數列的前n項和。
三、 範例
例1．設ap，aq，am，an是等比數列中的第p、q、m、n項，若p+q=m+n，求證：apoaq=amoan
證明：設等比數列的首項為a1，公比為q，則
ap=a1·qp-1，aq=a1·**-1，am=a1·qm-1，an=a1·qn-1
所以：ap·aq=a12qp+q-2，am·an=a12·qm+n-2，
故：ap·aq=am+an
說明：這個例題是等比數列的一個重要性質，它在解題中常常會用到。它說明等比數列中距離兩端(首末兩項)距離等遠的兩項的乘積等於首末兩項的乘積，即：
a1+k·an-k=a1·an
對於等差數列，同樣有：在等差數列中，距離兩端等這的兩項之和等於首末兩項之和。即：
a1+k+an-k=a1+an
例2．在等差數列中，a4+a6+a8+a10+a12=120，則2a9-a10=
a.20 b.22 c.24 d28
解：由a4+a12=2a8，a6+a10 =2a8及已知或得
5a8=120，a8=24
而2a9-a10=2(a1+8d)-(a1+9d)=a1+7d=a8=24。
故選c例3．已知等差數列滿足a1+a2+a3+…+a101=0，則有( )
a.a1+a101＞0 b. a2+a100＜0 c.a3+a99=0 d.a51=51
[2023年北京春季高考理工類第(13)題]
解：顯然，a1+a2+a3+…+a101
故a1+a101=0，從而a2+a100=a3+a99=a1+a101=0，選c
例4．設sn為等差數列的前n項之各，s9=18，an-4=30(n＞9)，sn=336，則n為( )
a.16 b.21 c.9 d8
解：由於s9=9×a5=18，故a5=2，所以a5+an-4=a1+an=2+30=32，而，故n=21選b
例5．設等差數列滿足3a8=5a13，且a1＞0，sn為其前n項之和，則sn(n∈n*)中最大的是( )。 (2023年全國高中聯賽第1題)
(a)s10 (b)s11 (c)s20 (d)s21
解：∵3a8=5a13
∴3(a1+7d)=5(a1+12d)
故令an≥0→n≤20；當n＞20時an＜0
∴s19=s20最大，選(c)
注：也可用二次函式求最值
例6．設等差數列的首項及公差均為非負整數，項數不少於3，且各項的和為972，則這樣的數列共有( )
(a)2個 (b)3個 (c)4個 (d)5個
[2023年全國高中數學聯賽第3題]
解：設等差數列首項為a，公差為d，則依題意有( )
即[2a+(n-1)d]on=2×972 (*)
因為n是不小於3的自然數，97為素數，故數n的值必為2×972的約數(因數)，它只能是97，2×97，972，2×972四者之一。
若d＞0，則d≥1由(*)式知2×972≥n(n-1)d≥n(n-1)故只可能有n=97，(*)式化為：a+48d=97，這時(*)有兩組解：
若d=0，則(*)式化為：an=972，這時(*)也有兩組解。
故符今題設條件的等差數列共4個，分別為：
49，50，51，…，145，(共97項)
1，3，5，…，193，(共97項)
97，97，97，…，97，(共97項)
1，1，1，…，1(共972=9409項)
故選(c)
例7．將正奇數集合由小到大按第n組有(2n-1)個奇數進行分組：
， ，，…
(第一組) (第二組) (第三組)
則1991位於第 組中。
[2023年全國高中數學聯賽第3題]
解：依題意，前n組中共有奇數
1+3+5+…+(2n-1)=n2個
而1991=2×996-1，它是第996個正奇數。
∵312=961＜996＜1024=322
∴1991應在第31+1=32組中。
故填32
例8．一個正數，若其小數部分、整數部分和其自身成等比數列，則該數為 。
[2023年全國高中聯賽試題第4題]
解：設該數為x，則其整數部分為[x]，小數部分為x-[x]，由已知得：x·(x-[x]=[x]2
其中[x]＞0，0＜x-[x]＜1，解得：
由0＜x-[x]＜1知，
∴[x]=1，
故應填例9．等比數列的首項a1=1536，公比，用πn表示它的前n項之積，則πn(n∈n*)最大的是( )
(a)π9 (b)π11 (c)π12 (d)π13
[2023年全國高中數學聯賽試題]
解：等比數列的通項公式為，前n項和
因為故π12最大。
選(c)
例10．設x≠y，且兩數列x，a1，a2，a3，y和b1，x，b2，b3，y，b4均為等差數列，那麼= 。
[2023年全國高中聯賽試題]
解：依題意，有y-x=4(a2-a1) ∴；
又y-x=3(b3-b2) ∴
∴例11．設x,y,z是實數，3x,4y,5z成等比數列，且成等差數列，則的值是 。[2023年全國高中數學聯賽試題]
解：因為3x,4y,5z成等比數列，所以有
3x·5z=(4y)2 即16y2=15xz ①
又∵成等差數列，所以有即②
將②代入①得：
∵x≠0,y≠0,z≠0
∴64xz=15(x2+2xz+z2)
∴15(x2+z2)=34xz
∴ 例12．已知集合m=及n=
並且m=n，那麼的值等於 。
解：由m=n知m中應有一元素為0，任由lg(xy)有意義知xy≠0，從而x≠0，且y≠0，故只有lg(xy)=0， xy=1，m=；若y=1，則x=1，m=n=與集合中元素互異性相連，故y≠1，從而∣x∣=1，x=±1；由x=1 y=1(含)，由x=-1 y=-1，m=n=
此時，從而
注：數列x，x2，x3，…，x2001；以及
在x=y=-1的條件下都是週期為2的迴圈數列，s2n-1=-2，s2n=0，故2001並不可怕。
例13．已知數列滿足3an+1+an=4(n≥1)且a1=9，其前n項之和為sn，則滿足不等式( )
∣sn-n-6∣＜的最小整數n是( )
(a)5 (b)6 (c)7 (d)8
解：[2023年全國高中數學聯賽試題]
由3an+1+an=4(n≥1)
3an+1-3=1-an
故數列是以8為首項，以為公比的等比數列，所以
當n=7時滿足要求，故選(c)
[注]：數列既不是等差數列，也不是等比數列，而是由兩個項數相等的等差數列：1，1，…，1和等比數列：
的對應項的和構成的數列，故其前n項和sn可轉化為相應的兩個已知數列的和，這裡，觀察通項結構，利用化歸思想把未知轉化為已知。
例14．設數列的前n項和sn=2an-1(n=1,2,…)，數列滿足b1=3,bk+1=ak+bk(k=1,2,…)求數列的前n項和。
[2023年全國高中數學聯賽第二試第一題]
解：由sn=2an-1，令n=1，得s1=a1=2a1-1，∴a1=1 ①
又sn=2an-1 ②
sn-1=2an-1-1 ③
②-③得：sn-sn-1=2an-2an-1
∴an=2an-2an-1
故∴數列是以a1=1為首項，以q=2為公比的等比數列，故an=2n-1 ④
由⑤ ∴以上諸式相加，得
注：本題綜合應用了a1-s1，a3=sn-sn-1(n≥2)以及等差數列、等比數列求和公式以及疊加等方法，從基本知識出發，解決了較為複雜的問題。選準突破口，發現化歸途徑，源於對基礎知識的深刻理念及其聯絡的把握。
例15．n2個正數排成n行n列
a11，a12，a13，a14，…，a1n
a21，a22，a23，a24，…，a2n
a31，a32，a33，a34，…，a3n
a41，a42，a43，a44，…，a4n
an1，an2，an3，an4，…，ann。
其中每一行的數成等差數列，每一列的數成等比數列，並且所有公比相等。已知
[2023年全國高中數學聯賽第一試第四題]
解：設第一行數列公差為d，縱行各數列公比為q，則原n行n列數表為：
故有：②÷③得，代入①、②得④
因為表中均為正數，故q＞0，∴，從而，因此，對於任意1≤k≤n，有
記s=a11+a22+a33+…+ann ⑤
⑥⑤-⑥得：
即評註：本題中求和，實為等差數列an=n與等比數列的對應項乘積構成的新數列的前n項的和，將⑤式兩邊同乘以公比，再錯項相減，化歸為等比數列求各。這種方法本是求等比數列前n項和的基本方法，它在解決此類問題中非常有用，應予掌握。
課本p137複習參考題三b組題第6題為：求和：s=1+2x+3x2+…+nxn-1；2023年北京高考理工類第(16)題：
已知數列是等差數列，且a1=2,a1+a2+a3=12，(i)求數列的通項公式；(ii)令bn=an·xn(x∈r)，求數列的前n項和公式。都貫穿了「錯項相減」方法的應用。
練習 1．給定公比為q(q≠1)的等比數列，設b1=a1+a2+a3，b2=a4+a5+a6，…，bn=a3n-2+a3n-1+a3n，…，則數列 ( )
(a)是等差數列 (b)是公比為q的等比數列
(c)是公比為q3的等比數列 (d)既是等差數列又是等比數列
[2023年全國高中數學競賽題]
2．等差數列的前m項的和為30，前2m項的和為100，則它的前3m項的和為( )
a．130 b．170 c．210 d．260
[2023年全國高考題]
3．等差數列中，a1=2，公差不為零，且a1，a3，a11恰好是某等比數列的前三項，那麼該等比數列的公比的值等於 。
[2023年北京高考理工數學第14題]
4．已知數列是等差數列，且a1=2，a1+a2+a3=12
(i)求數列的通項公式；
(ii)(文)令bn=an·3n，求數列的前n項和的公式；
(理)令bn=an·xn (x∈r)，求數列的前n項和的公式
[2023年北京夏季高考數學第16題]
5．求和：
(1)s=1+2x+3x2+…+nxn-1
[《數學》教科書第一冊(上)p137複習參考題三b組題第6題]
(2)求數列：1，6，27，…，n-3n-1，的前n項之和sn。
6．已知正整數n不超過2000，且能表示成不少於60個連續正整數之和，那麼這樣的n的個數是 [2023年全國高中數學競賽試題]
7．各項為實數的等差數列的公差為4，其首項的平方與其餘各項之和不超過100，這樣的數列至多有 項。[2023年全國高中數學競賽試題]
參***
1．(c)
2．(c)
3．44．(i)an=2n
(ii)
5．6．6個7．8
等差數列的公差怎麼求，等差數列求公差的公式
首先你要了解 等差公式的特性 即相鄰的任意2項的差是相等的，這就是等差！假設有n個數字 那麼用an表示第n個 a1表示第1個 d表示他們的公差 a2 d a1 容易吧！能推出an d a n 1 即第n項減d等於第 n 1 項 那麼an n 1 d a1這個你能理解了吧！化簡後an a1 n 1 d...
設an是等差數列，公差d不等於0，Sn為其前n項和
1.an a1 n 1 d sn na1 n n 1 d 2 sn n a1 n 1 d 2 設am am,smm m a1 m 1 d，a1 m 1 d 2 an an,sn n a1 n 1 d，a1 n 1 d 2 經過兩點的斜率k m n d 2 m n d 1 2 與m,n無關 所以這些點...
已知等差數列An的前n項和為Sn,公差d 0,且S3 S5 50，A1,A4,A13成等比數列。設An分之Bn是首相為
解 a1 a4 a13成等比數列，則 a4 a1 a13 a1 3d a1 a1 12d 整理，得 9d 6a1d 0 d 3d 2a1 0 d 0，因此只有3d 2a1 0 a1 3 2 d s3 s5 3a1 3d 5a1 10d 8a1 13d 8 3 2 d 13d 25d 50 d 2a1...