1樓：倩倩
勾股定理的證明方法如下：
求證：勾股定理，即直角三角形的兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方。
證明：分兩種情況來討論，即兩條直角邊長度不相等與相等。
兩條直角邊長度不相等。
如圖，分別設直角三角形的邊長為a、b、c，（a將四個同樣大小的三角形拼成右圖形式，則：
則右圖大正方形的面積為四個直角三角形的面積與中間小正方形的面積之和。
得：c^2=4*(ab/2)+(b-a)^2=2ab+a^2+b^2-2ab=a^2+b^2
即a^2+b^2=c^2，原命題得證。
2. 兩條直角邊長度相等。
如圖，分別設直角三角形的直角邊與斜邊長為a、c。
將四個同樣大小的三角形拼成右圖形式，則：
則右圖正方形的面積為四個直角三角形的面積之和。
得：c^2=4*(aa/2)=2a^2=a^2+a^2即a^2+a^2=c^2，原命題得證。
所以，直角三角形的兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方。
2樓：fly永遠的霸主
勾股定理是初等幾何中的一個基本定理。這個定理有十分悠久的歷史，兩千多年來，人們對勾股定理的證明頗感興趣，因為這個定理太貼近人們的生活實際，以至於古往今來，下至平民百姓，上至帝王**都願意**和研究它的證明．下面結合幾種圖形來進行證明。 一、傳說中畢達哥拉斯的證法（圖1） 左邊的正方形是由1個邊長為的正方形和1個邊長為的正方形以及4個直角邊分別為、，斜邊為的直角三角形拼成的。
右邊的正方形是由1個邊長為的正方形和4個直角邊分別為、，斜邊為的直角三角形拼成的。因為這兩個正方形的面積相等(邊長都是)，所以可以列出等式，化簡得。 在西方，人們認為是畢達哥拉斯最早發現並證明這一定理的，但遺憾的是，他的證明方法已經失傳，這是傳說中的證明方法，這種證明方法簡單、直觀、易懂。
二、趙爽弦圖的證法（圖2） 第一種方法：邊長為的正方形可以看作是由4個直角邊分別為、，斜邊為的直 角三角形圍在外面形成的。因為邊長為的正方形面積加上4個直角三角形的面積等於外圍正方形的面積，所以可以列出等式，化簡得。
第二種方法：邊長為的正方形可以看作是由4個直角邊分別為、，斜邊為的 角三角形拼接形成的（虛線表示），不過中間缺出一個邊長為的正方形「小洞」。 因為邊長為的正方形面積等於4個直角三角形的面積加上正方形「小洞」的面積，所以可以列出等式，化簡得。
這種證明方法很簡明，很直觀，它表現了我國古代數學家趙爽高超的證題思想和對數學的鑽研精神，是我們中華民族的驕傲。 三、美國第20任**茄菲爾德的證法（圖3） 這個直角梯形是由2個直角邊分別為、，斜邊為的直角三角形和1個直角邊為 的等腰直角三角形拼成的。因為3個直角三角形的面積之和等於梯形的面積，所以可以列出等式，化簡得。
這種證明方法由於用了梯形面積公式和三角形面積公式，從而使證明更加簡潔，它在數學史上被傳為佳話。
3樓：
證法1 作四個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b ，斜邊長為c. 把它們拼成如圖那樣的一個多邊形，使d、e、f在一條直線上。過點c作ac的延長線交df於點p.
∵ d、e、f在一條直線上， 且rtδgef ≌ rtδebd，
∴ ∠egf = ∠bed，
∵ ∠egf + ∠gef = 90°，
∴ ∠bed + ∠gef = 90°，
∴ ∠beg =180°―90°= 90°
又∵ ab = be = eg = ga = c，
∴ abeg是一個邊長為c的正方形。
∴ ∠abc + ∠cbe = 90°
∵ rtδabc ≌ rtδebd，
∴ ∠abc = ∠ebd.
∴ ∠ebd + ∠cbe = 90°
即 ∠cbd= 90°
又∵ ∠bde = 90°，∠bcp = 90°，
bc = bd = a.
∴ bdpc是一個邊長為a的正方形。
同理，hpfg是一個邊長為b的正方形.
設多邊形ghcbe的面積為s，則
a2+b2=c2證法2 作兩個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b（b>a） ，斜邊長為c. 再做一個邊長為c的正方形。把它們拼成如圖所示的多邊形，使e、a、c三點在一條直線上.
過點q作qp∥bc，交ac於點p.
過點b作bm⊥pq，垂足為m；再過點
f作fn⊥pq，垂足為n.
∵ ∠bca = 90°，qp∥bc，
∴ ∠mpc = 90°，
∵ bm⊥pq，
∴ ∠bmp = 90°，
∴ bcpm是一個矩形，即∠mbc = 90°。
∵ ∠qbm + ∠mba = ∠qba = 90°，
∠abc + ∠mba = ∠mbc = 90°，
∴ ∠qbm = ∠abc，
又∵ ∠bmp = 90°，∠bca = 90°，bq = ba = c，
∴ rtδbmq ≌ rtδbca.
同理可證rtδqnf ≌ rtδaef.即a2+b2=c2證法3 作兩個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b（b>a） ，斜邊長為c. 再作一個邊長為c的正方形。
把它們拼成如圖所示的多邊形.
分別以cf，ae為邊長做正方形fcji和aeig，
∵ef=df-de=b-a，ei=b，
∴fi=a，
∴g,i,j在同一直線上，
∵cj=cf=a，cb=cd=c，
∠cjb = ∠cfd = 90°，
∴rtδcjb ≌ rtδcfd ，
同理，rtδabg ≌ rtδade，
∴rtδcjb ≌ rtδcfd ≌ rtδabg ≌ rtδade
∴∠abg = ∠bcj,
∵∠bcj +∠cbj= 90°，
∴∠abg +∠cbj= 90°，
∵∠abc= 90°，
∴g,b,i,j在同一直線上，
a2+b2=c2。證法4 作三個邊長分別為a、b、c的三角形，把它們拼成如圖所示形狀，使h、c、b三點在一條直線上，連結
bf、cd. 過c作cl⊥de，
交ab於點m，交de於點l.
∵ af = ac，ab = ad，
∠fab = ∠gad，
∴ δfab ≌ δgad，
∵ δfab的面積等於，
δgad的面積等於矩形adlm
的面積的一半，
∴ 矩形adlm的面積 =.
同理可證，矩形mleb的面積 =.
∵ 正方形adeb的面積
= 矩形adlm的面積 + 矩形mleb的面積
∴ 即a2+b2=c2證法5（歐幾里得） 《幾何原本》中的證明
在歐幾里得的《幾何原本》一書中提出勾股定理由以下證明後可成立。設△abc為一直角三角形，其中a為直角。從a點劃一直線至對邊，使其垂直於對邊上的正方形。
此線把對邊上的正方形一分為二，其面積分別與其餘兩個正方形相等。
在正式的證明中，我們需要四個輔助定理如下：
如果兩個三角形有兩組對應邊和這兩組邊所夾的角相等，則兩三角形全等。（sas定理） 三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。任意一個正方形的面積等於其二邊長的乘積。
任意一個四方形的面積等於其二邊長的乘積（據輔助定理3）。證明的概念為：把上方的兩個正方形轉換成兩個同等面積的平行四邊形，再旋轉並轉換成下方的兩個同等面積的長方形。
其證明如下：
設△abc為一直角三角形，其直角為cab。其邊為bc、ab、和ca，依序繪成四方形cbde、bagf和acih。畫出過點a之bd、ce的平行線。
此線將分別與bc和de直角相交於k、l。分別連線cf、ad，形成兩個三角形bcf、bda。∠cab和∠bag都是直角，因此c、a 和 g 都是線性對應的，同理可證b、a和h。
∠cbd和∠fba皆為直角，所以∠abd等於∠fbc。因為 ab 和 bd 分別等於 fb 和 bc，所以△abd 必須相等於△fbc。因為 a 與 k 和 l是線性對應的，所以四方形 bdlk 必須二倍面積於△abd。
因為c、a和g有共同線性，所以正方形bagf必須二倍面積於△fbc。因此四邊形 bdlk 必須有相同的面積 bagf = ab^2。同理可證，四邊形 ckle 必須有相同的面積 acih = ac^2。
把這兩個結果相加， ab^2+ ac^2= bd×bk + kl×kc。由於bd=kl，bd×bk + kl×kc = bd(bk + kc) = bd×bc 由於cbde是個正方形，因此ab^2+ ac^2= bc^2。此證明是於歐幾里得《幾何原本》一書第1.
47節所提出的證法6（射影定理） 如圖1，rt△abc中，∠abc=90°，bd是斜邊ac上的高
通過證明三角形相似則有射影定理如下：
圖1⑴（bd）^2=ad·dc，
⑵（ab）^2=ad·ac ，
⑶（bc）^2=cd·ac。
由公式⑵+⑶得：（ab）^2+（bc）^2=ad·ac+cd·ac =（ad+cd）·ac=（ac）^2，
圖1即 （ab）^2+（bc）^2=（ac）^2，這就是勾股定理的結論。證法7（趙爽弦圖） 在這幅「勾股圓方圖」中，以弦為邊長得到正方形abde是由4個相等的直角三角形再加上中間的那個小正方形組成的。每個直角三角形的面積為ab/2；中間懂得小正方形邊長為b-a，則面積為（b-a）^2。
於是便可得如下的式子： 4×（ab/2)+（b-a）^2 =c^2；
趙爽弦圖
化簡後便可得：a^2 +b^2 =c^2;
青朱出入圖
亦即：c=(a2 +b2 )1/2證法8（達芬奇）
達芬奇的證法
三張紙片其實是同一張紙，把它撕開重新拼湊之後，中間那個「洞」的面積前後仍然是一樣的，但是面積的表示式卻不再相同，讓這兩個形式不同的表示式相等，就能得出一個新的關係式——勾股定理，所有勾股定理的證明方法都有這麼個共同點。觀察紙片一，因為要證的事勾股定理，那麼容易知道eb⊥cf，又因為紙片的兩邊是對稱的，所以能夠知道四邊形abof和cdeo都是正方形。然後需要知道的是角a'和角d'都是直角，原因嘛，可以看紙片一，連結ad，因為對稱的緣故，所以∠bad=∠fad=∠cda=∠eda=45°，那麼很明顯，圖三中角a'和角d'都是直角。
證明：第一張中多邊形abcdef的面積s1=s正方形abof+s正方形cdeo+2s△bco=of2+oe2+of·oe
第三張中多邊形a'b'c'd'e'f'的面積s2=s正方形b'c'e'f'+2△c'd'e'=e'f'2+c'd'·d'e'
因為s1=s2
所以of2+oe2+of·oe=e'f'2+c'd'·d'e'
又因為c'd'=cd=oe,d'e'=af=of
所以of2+oe2=e'f'2
因為e'f'=ef
所以of2+oe2=ef2
勾股定理得證。證法9 從這張圖可以得到一個矩形和三個三角形，推導公式如下：
b ( a + b )= 1/2 c^2 + ab + 1/2 (b + a)(b - a)
矩形面積 =（中間三角形）+（下方）2個直角三角形+（上方）1個直
角三角形。
（簡化） 2ab + 2b^2= c^2 + b^2- a^2+ 2ab
2b^2- b^2 + a^2 = c^2;
a2 + b2 = c2;
注：根據加菲爾德圖進一步得到的圖形。證法10 在rt三角形abc中，角c=90度，作ch垂直於ab於h。
令a/sina=b/sinb=c/sinc=d
=(a^2+b^2)/c^2=1
所以a^2+b^2=c^2得證。
勾股定理的證明在初中數學教學中的意義
嘿嘿 可以撒 趕緊背 明早上好考 o o哈哈 勾股定理對初中教學的意義 1文化功能 2 德育功能 3 由勾股定理到發現無理數，進而到證明費爾馬大定理，培養學生獻身科學 追求真理的精神 4 以生動的數學史料揭示課題 勾股定理，激發學生學習的興趣和求知慾。通過 勾股定理的證明方法，培養學生的思維能力，深...
勾股定理的作用是什麼，勾股定理的意義
生活中的普通人除了考試,勾股定理的用處幾乎沒有.不過工程技術人員用的比較多,比如農村房屋的屋頂構造，就可以用勾股定理來計算,設計工程圖紙也要用到勾股定理,在求與圓 三角形有關的資料時，多數可以用勾股定理 物理上也有廣泛應用，例如求幾個力，或者物體的合速度，運動方向 古代也是大多應用於工程，例如修建房...
達芬奇的勾股定理，勾股定理的達芬奇證法？
觀察紙片一，因為要證的事勾股定理，那麼容易知道eb cf，又因為紙片的兩邊是對稱的，所以能夠知道四邊形abof和cdeo都是正方形。然後需要知道的是角a 和角d 都是直角，原因嘛，可以看紙片一，連結ad，因為對稱的緣故，所以 bad fad cda eda 45 那麼很明顯，圖三中角a 和角d 都是...