1樓：匿名使用者
二重積分是二元函式在空間上的積分，同定積分類似，是某種特定形式的和的極限。本質是求曲頂柱體體積。重積分有著廣泛的應用，可以用來計算曲面的面積，平面薄片重心等。
平面區域的二重積分可以推廣為在高維空間中的（有向）曲面上進行積分，稱為曲面積分。
幾何意義：在空間直角座標系中，二重積分是各部分割槽域上柱體體積的代數和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取負。某些特殊的被積函式f（x，y）的所表示的曲面和d底面所為圍的曲頂柱體的體積公式已知，可以用二重積分的幾何意義的來計算。
擴充套件資料
積分發展的動力源自實際應用中的需求。實際操作中，有時候可以用粗略的方式進行估算一些未知量，但隨著科技的發展，很多時候需要知道精確的數值。要求簡單幾何形體的面積或體積，可以套用已知的公式。
比如一個長方體狀的游泳池的容積可以用長×寬×高求出。但如果游泳池是卵形、拋物型或更加不規則的形狀，就需要用積分來求出容積。物理學中，常常需要知道一個物理量（比如位移）對另一個物理量（比如力）的累積效果，這時也需要用到積分。
2樓：匿名使用者
好好看書吧！好好學習吧！
二重積分是什麼
3樓：河傳楊穎
二重積分是二元函式在空間上的積分，同定積分類似，是某種特定形式的和的極限。本質是求曲頂柱體體積。重積分有著廣泛的應用，可以用來計算曲面的面積，平面薄片重心等。
平面區域的二重積分可以推廣為在高維空間中的（有向）曲面上進行積分，稱為曲面積分。
當被積函式大於零時，二重積分是柱體的體積。
當被積函式小於零時，二重積分是柱體體積負值。
擴充套件資料積分發展的動力源自實際應用中的需求。實際操作中，有時候可以用粗略的方式進行估算一些未知量，但隨著科技的發展，很多時候需要知道精確的數值。要求簡單幾何形體的面積或體積，可以套用已知的公式。
比如一個長方體狀的游泳池的容積可以用長×寬×高求出。但如果游泳池是卵形、拋物型或更加不規則的形狀，就需要用積分來求出容積。物理學中，常常需要知道一個物理量（比如位移）對另一個物理量（比如力）的累積效果，這時也需要用到積分。
4樓：橋樑abc也懂生活
1、二重積分是當被積函式在積分割槽域內是正數是,幾何意義是積分曲面與投影面所圍區域的體積,若有正有負則是正的區域部分體積減去負的區域部分的體積。
2、二重積分的定義：
設二元函式z=f(x,y)定義在有界閉區域d上,將區域d任意分成n個子域δδi(i=1,2,3,…,n)，並以δδi表示第i個子域的面積.在δδi上任取一點(ξi,ηi),作和lim n→+∞ (n/i=1 σ(ξi,ηi)δδi).如果當各個子域的直徑中的最大值λ趨於零時,此和式的極限存在,則稱此極限為函式f(x,y)在區域d上的二重積分,記為∫∫f(x,y)dδ,即
∫∫f(x,y)dδ=lim n→+∞ （σf(ξi,ηi)δδi）
這時,稱f(x,y)在d上可積,其中f(x,y)稱被積函式,f(x,y)dδ稱為被積表示式,dδ稱為面積元素, d稱為積分域,∫∫稱為二重積分號.
同時二重積分有著廣泛的應用，可以用來計算曲面的面積，平面薄片重心，平面薄片轉動慣量，平面薄片對質點的引力等等。此外二重積分在實際生活，比如無線電中也被廣泛應用。
3、二重積分的性質：
性質1 （積分可加性） 函式和（差）的二重積分等於各函式二重積分的和（差），即
∫∫[f(x,y)±g(x,y)]dσ=∫∫f(x,y)dσ±∫∫g(x,y)dσ
性質2 （積分滿足數成） 被積函式的常係數因子可以提到積分號外，即
∫∫kf(x,y)dσ=k∫∫f(x,y)dσ (k為常數）
性質1與性質2合稱為積分的線性性。
性質3 如果在區域d上有f(x,y)≦g(x,y),則∫∫f(x,y)dσ≦∫∫g(x,y)dσ
推論 ∣∫∫f(x,y)dσ∣≦∫∫∣g(x,y）∣dσ
性質4 設m和m分別是函式f(x,y)在有界閉區間d上的最大值和最小值，σ為區域d的面積，
則mσ≦∫∫f(x,y)dσ≦mσ
性質5 如果在有界閉區域d上f(x,y)=1, σ為d的面積，則sσ=∫∫dσ
性質6 二重積分中值定理
設函式f(x,y)在有界閉區間d上連續，σ為區域的面積，則在d上至少存在一點（ξ，η），使得
∫∫f(x,y)dσ=f(ξ，η）●σ
5樓：匿名使用者
本題要求f(x)在(a,b)上恆正（或恆負）左邊=∫[a→b] f(x)dx∫[a→b] 1/f(x)dx積分變數可隨便換字母
=∫[a→b] f(x)dx∫[a→b] 1/f(y)dy這樣變成一個二重積分
=∫∫ f(x)/f(y)dxdy 其中：積分割槽域是a≤x≤b，a≤y≤b，這個區域具有輪換對稱性
=(1/2)∫∫ [f(x)/f(y) + f(y)/f(x)] dxdy 原因是∫∫ f(x)/f(y)dxdy=∫∫ f(y)/f(x)dxdy
≥(1/2)∫∫ 2 dxdy 這裡用了個平均值不等式
=∫∫ 1 dxdy
=(b-a)²=右邊證畢
6樓：匿名使用者
求二重積分
符號計算
syms x y; %定義兩個符號變數
a=int(int(x^y,x,0,1),y,1,2) %積分x,0,1 ,y,1,2
b=******(a) %化簡
c=vpa(b,4) %得到4位近似解，也可以任意n位解
數值計算
%%二重積分f= @(x,y)exp(sin(x))*ln(y)，y從5*x積分到x^2，x從10積分到20
1 (7.x後版本才有此函式quad2d)
y1=quad2d(@(x,y) exp(sin(x)).*log(y),10,20,@(x)5*x,@(x)x.^2)
2 y2 =quadl(@(x) arrayfun(@(x) quadl(@(y)exp(sin(x)).*log(y),5*x,x.^2),x),10,20)
3 y3 = dblquad(@(x,y)exp(sin(x)).*log(y).*(y>=5*x & y<=x.^2),10,20,50,400)
7樓：匿名使用者
^記擺線為y=y(x)，則
∫∫ y²dxdy = ∫[0,2πa]dx∫[0,y(x)]y²dy
= (1/3)∫[0,2πa]y(x)^3dx= ……（按引數形式
做該定積分）。
8樓：匿名使用者
1、如果被積函式的量綱是長度單位，則二重積分為體積；
2、如果被積函式的量綱是pa，則二重積分的意義為計算總壓力；
3、如果被積函式的量綱是kg/m²，則二重積分的意義就是算總質量；
4、如果被積函式的量綱是c/m² ，則二重積分的意義就是算總電量；
結論：1、二重積分是否有意義，要看被積函式的量綱，由量綱決定是否有物理意義。
2、數學老師出題，一般不會考慮什麼物理模型、量綱，一般均無明確意義。
3、對於數學老師隨意出出來的二重積分題，籠統地講是算體積，其實是錯的。
4、被積函式如果是1，而且這個1不帶任何單位，那二重積分就是算總面積。
5、只要被積函式不是1，一般來說，二重積分沒有明確意義，只是亂積而已。
數學老師給出來的二重積分的題，一般都是為了練習、熟練積分而出的題，
不必認真，只是練習而已。如果你一旦認真起來，無論你的天賦多高，創
造力多強，無論數學老師多爛，都會罵你「鑽牛角尖」，「腦子有問題」。天才
就當成了白痴。
9樓：眾裡尋他千
這個類似於高中求解定積分求面積，只不過高中時微元是dx，就是長度的微元，大學裡是體積的微元dv=dx*dy*dz,本質沒有區別，即先微分後積分。舉個例子切豆腐，你想知道豆腐的體積，用到二重積分就應該是，先知道底面佔多大，上表面方程，然後切成棒狀，無限分割，最後求積分，基本就是這個過程。希望對你有用
10樓：匿名使用者
二重積分的定義
設z=f(x,y)為有界閉區域(σ)上的有界函式：
(1)把區域(σ)任意劃分成n個子域(△σk)(k=1,2,3,…,n）,其面積記作△σk(k=1,2,3,…,n）；
(2)在每一個子域(△σk)上任取一點，作乘積；
(3)把所有這些乘積相加,即作出和數
(4)記子域的最大直徑d.如果不論子域怎樣劃分以及怎樣選取,上述和數當n→＋∞且d→0時的極限存在,那末稱此極限為函式f(x,y)在區域(σ)上的二重積分.記作:
即：=其中x與y稱為積分變數，函式f(x,y)稱為被積函式,f(x,y)dσ稱為被積表示式,(σ)稱為積分割槽域.
11樓：匿名使用者
是不是積分號裡少寫一個 f 啊？∫∫f(u,v)dudv才對嘛。
解：因為這個積分是定積分，結果肯定是個常數，暫且極記為a。
則f(x,y)=xy＋a
對上式兩邊積分，積分割槽域就是那個d
得：∫∫f(x,y)dxdy=∫∫(xy)dxdy+∫∫a dxdy發現等式左邊又出現了那個常數a
於是a＝∫∫(xy)dxdy+(1/3)a解出a＝1/8
代入原式：f(x,y)＝xy+1/8
12樓：我愛林爽然
沒有！你混淆了定積分＆不定積分的關係。
不定積分是一種運算，和加減是一類，是求導的逆運算。
定積分是一種運用，是一種極限和！記得學定積分的第一堂課嘛？用來求長度、面積、體積、質量等等。
定積分要用不定積分這種運算。但不會出現不定積分。
比如，你在做除法運算時候，會最後保留除號嘛？不會。它只在你的運算中存在。
13樓：盧永慶
沒有。二重積分的過程就是一層一層去掉那個積分符號的過程。如果二重積分有不定積分的話，那第一次脫掉積分符號怎麼脫呢？因為只有有積分上下限的時候才能脫掉第一層積分符號！
用定義證明二重積分的可加性
14樓：匿名使用者
1內容：管類數學就靠函式，極限，微分，積分（包括定分和不定積分）及他們的應用。
理工類考的除上述內容外還有長微分，級數等內容。
2難易度：經管和理工的難易度不同，經管類只要求會簡單運算，而理工類要求要透徹掌握！
一、函式、極限和連續
（一）函式
（1）理解函式的概念：函式的定義，函式的表示法，分段函式。
（2）理解和掌握函式的簡單性質：單調性，奇偶性，有界性，週期性。
（3）瞭解反函式：反函式的定義，反函式的圖象。
（4）掌握函式的四則運算與複合運算。
（5）理解和掌握基本初等函式：冪函式，指數函式，對數函式，三角函式，反三角函式。
（6）瞭解初等函式的概念。
（二）極限
（1）理解數列極限的概念：數列，數列極限的定義，能根據極限概念分析函式的變化趨勢。會求函式在一點處的左極限與右極限，瞭解函式在一點處極限存在的充分必要條件。
（2）瞭解數列極限的性質：唯一性，有界性，四則運算定理，夾逼定理，單調有界數列，極限存在定理，掌握極限的四則運演算法則。
（3）理解函式極限的概念：函式在一點處極限的定義，左、右極限及其與極限的關係，x趨於無窮（x→∞，x→+∞，x→-∞）時函式的極限。
（4）掌握函式極限的定理：唯一性定理，夾逼定理，四則運算定理。
（5）理解無窮小量和無窮大量：無窮小量與無窮大量的定義，無窮小量與無窮大量的關係，無窮小量與無窮大量的性質，兩個無窮小量階的比較。
（6）熟練掌握用兩個重要極限求極限的方法。
（三）連續
（1）理解函式連續的概念：函式在一點連續的定義，左連續和右連續，函式在一點連續的充分必要條件，函式的間斷點及其分類。
（2）掌握函式在一點處連續的性質：連續函式的四則運算，複合函式的連續性，反函式的連續性，會求函式的間斷點及確定其型別。
（3）掌握閉區間上連續函式的性質：有界性定理，最大值和最小值定理，介值定理（包括零點定理），會運用介值定理推證一些簡單命題。
（4）理解初等函式在其定義區間上連續，並會利用連續性求極限。
二、一元函式微分學
（一）導數與微分
（1）理解導數的概念及其幾何意義，瞭解可導性與連續性的關係，會用定義求函式在一點處的導數。
（2）會求曲線上一點處的切線方程與法線方程。
（3）熟練掌握導數的基本公式、四則運演算法則以及複合函式的求導方法。
（4）掌握隱函式的求導法、對數求導法以及由引數方程所確定的函式的求導方法，會求分段函式的導數。
（5）理解高階導數的概念，會求簡單函式的n階導數。
（6）理解函式的微分概念，掌握微分法則，瞭解可微與可導的關係，會求函式的一階微分。
（二）中值定理及導數的應用
（1）瞭解羅爾中值定理、拉格朗日中值定理及它們的幾何意義。
（2）熟練掌握洛必達法則求「0/0」、「∞/ ∞」、「0?∞」、「∞-∞」、「1∞」、「00」和「∞0」型未定式的極限方法。
（3）掌握利用導數判定函式的單調性及求函式的單調增、減區間的方法，會利用函式的增減性證明簡單的不等式。
（4）理解函式極值的概念，掌握求函式的極值和最大（小）值的方法，並且會解簡單的應用問題。
（5）會判定曲線的凹凸性，會求曲線的拐點。
（6）會求曲線的水平漸近線與垂直漸近線。
三、一元函式積分學
（一）不定積分
（1）理解原函式與不定積分概念及其關係，掌握不定積分性質，瞭解原函式存在定理。
（2）熟練掌握不定積分的基本公式。
（3）熟練掌握不定積分第一換元法，掌握第二換元法（限於三角代換與簡單的根式代換）。
（4）熟練掌握不定積分的分部積分法。
（二）定積分
（1）理解定積分的概念與幾何意義，瞭解可積的條件。
（2）掌握定積分的基本性質。
（3）理解變上限的定積分是變上限的函式，掌握變上限定積分求導數的方法。
（4）掌握牛頓—萊布尼茨公式。
（5）掌握定積分的換元積分法與分部積分法。
（6）理解無窮區間廣義積分的概念，掌握其計算方法。
（7）掌握直角座標系下用定積分計算平面圖形的面積。
四、向量代數與空間解析幾何
（一）向量代數
（1）理解向量的概念，掌握向量的座標表示法，會求單位向量、方向餘弦、向量在座標軸上的投影。
（2）掌握向量的線性運算、向量的數量積與向量積的計算方法。
（3）掌握二向量平行、垂直的條件。
（二）平面與直線
（1）會求平面的點法式方程、一般式方程。會判定兩平面的垂直、平行。
（2）會求點到平面的距離。
（3）瞭解直線的一般式方程，會求直線的標準式方程、引數式方程。會判定兩直線平行、垂直。
（4）會判定直線與平面間的關係（垂直、平行、直線在平面上）。
五、多元函式微積分
（一）多元函式微分學
（1）瞭解多元函式的概念、二元函式的幾何意義及二元函式的極值與連續概念（對計算不作要求）。會求二元函式的定義域。
（2）理解偏導數、全微分概念，知道全微分存在的必要條件與充分條件。
（3）掌握二元函式的
一、二階偏導數計算方法。
（4）掌握複合函式一階偏導數的求法。
（5）會求二元函式的全微分。
（6）掌握由方程f（x，y，z）=0所確定的隱函式z=z（x，y）的一階偏導數的計算方法。
（7）會求二元函式的無條件極值。
（二）二重積分
（1）理解二重積分的概念、性質及其幾何意義。
（2）掌握二重積分在直角座標系及極座標系下的計算方法。
六、無窮級數
（一）數項級數
（1）理解級數收斂、發散的概念。掌握級數收斂的必要條件，瞭解級數的基本性質。
（2）掌握正項級數的比值數別法。會用正項級數的比較判別法。
(3）掌握幾何級數、調和級數與p級數的斂散性。
（4）瞭解級數絕對收斂與條件收斂的概念，會使用萊布尼茨判別法。
（二）冪級數
（1）瞭解冪級數的概念，收斂半徑，收斂區間。
（2）瞭解冪級數在其收斂區間內的基本性質（和、差、逐項求導與逐項積分）。
（3）掌握求冪級數的收斂半徑、收斂區間（不要求討論端點）的方法。
七、常微分方程
（一）一階微分方程
（1）理解微分方程的定義，理解微分方程的階、解、通解、初始條件和特解。
（2）掌握可分離變數方程的解法。
（3）掌握一階線性方程的解法。
（二）二階線性微分方程
（1）瞭解二階線性微分方程解的結構。
（2）掌握二階常係數齊次線性微分方程的解法。v
二重積分問題，一個二重積分問題！！！！！！！！
因為這是一個二bai重積分，也du 就是對一個區域的 zhi積分。而x 2 y 2 4只是區域dao的邊界版，是一條曲線，如果將權x 2 y 2 4直接代入計算，就相當於忽略了在x 2 y 2 4範圍內的所有點。注 如果這道題改為曲線積分 x 2 y 2 dl，積分域l x 2 y 2 4，則可以把...
高數，二重積分，高數中二重積分
這是我的理解 二重積分和二次積分的區別 二重積分是有關面積的積分，二次積分是兩次單變數積分。當f x,y 在有界閉區域內連續，那麼二重積分和二次積分相等。對開區域或無界區域這關係不衡成立。可二次積分不一定能二重積分。如對 0,1 0,1 區域，對任意x 0,1 可定義一個對y連續的函式g x,y y...
高數二重積分，高數中二重積分
這是我的理解 二重積分和二次積分的區別二重積分是有關面積的積分，二次積分是兩次單變數積分。當f x,y 在有界閉區域內連續，那麼二重積分和二次積分相等。對開區域或無界區域這關係不衡成立。可二次積分不一定能二重積分。如對 0,1 0,1 區域，對任意x 0,1 可定義一個對y連續的函式g x,y y ...