1樓：匿名使用者
題目有錯，f '(0)不可能是4的，由於lim f(x)/x=0，因此f '(0)=0
將你題目中f '(0)=4改為f ''(0)=4因此最後結果極限是e²
【數學之美】團隊為您解答，若有不懂請追問，如果解決問題請點下面的「選為滿意答案」。
設f(x)有二階導數，在x=0的某去心鄰域內f(x)≠0，且lim f(x)/x=0,f'(0)=4
2樓：匿名使用者
^由limf(x)/x=0得f'(0)=0ln[1+f(x)/x]~x(x->0)
limln(1+f(x)/x)^(1/x)=limln[1+f(x)/x]/x=limf(x)/x^2=limf'(x)/2x=f''(0)/2=2
原式=e^2
設f(x)在x=0的某一鄰域內具有二階連續導數，且lim(x→0)f(x)/x=0，證明級數f
3樓：小六的煩惱
f ′ (a)=0,f ′′ (a)≠0 只是f(x) 在x=a 處取極值的充分條件,非必要條件.
比如f(x)=x^4 ,有f ′ (0)=f ′′ (0)=0 但在 x=0 處顯然是取極小值.
就這題而言：
因lim(x→0) f ′′ (x) / |x| =1 ,由區域性保號性有,
存在一去心鄰域u° (0,δ) ,使得對在這個去心鄰域內有 f ′′ (x) / |x| > 1 / 2
所以有f ′′ (x)> |x| / 2 >0 ,而由連續性有f ′′ (0)=0
去是,在鄰域u°(0,δ) 內有f ′′ (x)≥0 ,且只x=0 處f ′′ (x)=0
於是f ′′ (x) 在鄰域u°(0,δ) 內嚴格單增
於是在該鄰域內有xf ′ (0)=0 ,
導數是由負變正,所以取極小值.
設f（x）在點x=0的某一鄰域內具有二階連續導數，且limx→0f(x)x=0，證明級數∞n＝1f（1n）絕對收斂
4樓：遺棄的紙湮
∵f（x）在點x=0的某一鄰域內具有二階連續導數，即f（x），f'（x），f''（x）在x=0的某一鄰域均連續
且：lim
x→0f(x)x＝0
∴f（x）=f（0）=0 lim
x→0f(x)?f(0)x＝0
∴f』（0）=0
∴lim
x→0f(x)
x＝lim
x→0f』(x)
2x＝lim
x→0f』(x)?f』(0)
2x＝1
2f』』(0)
∴lim
n→∞|f(1n)
(1n)|是一常數
∴由比值判別法可知原級數絕對收斂
設f（x）在x=0的某鄰域內二階連續可導，且f′（0）=0，limx→0xf″(x)1?cosx=1，則（ ）a．f″（0）≠
5樓：御風踏飛燕
因為lim
x→0xf″(x)
1?cosx
＝1≠0
，所以lim
x→0f″(x)＝0
．又因為f（x）在x=0的某鄰域內有二階連續導數，於是f″（0）=lim
x→0f″(x)＝0．
因為lim
x→0xf″(x)
1?cosx
＝1＞0，
根據極限的保號性，
在x=0的某去心鄰域內必然有xf″（x）＞0，即f″（x）在x=0兩側變號，
於是（0，f（0））為曲線的拐點．
綜上，f″（0）=0，（0，f（0））為曲線的拐點．故選：c．
設f(x)在x=0的鄰域內具有二階導數,且lim(x趨於0)(1+x+f(x)/x)^(1/x)=
6樓：匿名使用者
(1)e³=e^limln(1+x+f(x)/x)/x極限存在，故
f(0)=0，limf(x)/x=0故f'(0)=03=lim(x+f(x)/x)/x=lim1+f(x)/x²，故f''(0)=4
(2)=e^limln(1+f(x)/x)/x=e^limf(x)/x²=e^2
設f（x）在x=x0的某鄰域有定義,在x=x0的某去心鄰域內可導. 10
7樓：匿名使用者
f(x)在x=x0的某去心領域內可導，說明他在x=x0就不連續；然後選項又給出條件f'(x0)=a，就說明f(x)在x=x0也連續了，但並不能說明導函式f'(x)在x=x0也連續，這樣就不能說導函式f'(x)在x=x0的極限一定存在且等於函式值a。
8樓：9武
設f（x）在x=x0的某
鄰域有定義,在x=x0的某去心鄰域內可導：
極限值lim(x0趨於0)f'(x)=a,的條件是f(x)在x=x0處連續,如果他是一個跳躍的函式,就是說在x=x0處函式值斷開取了別的值那麼就不成立了.
9樓：老子津門第一
可導必連續
，但並不代表連續的情況下，當x值變化了△x時，y的值不會突變。例如sin1/x，當他在x-＞0時，畫一下影象你就會發現，影象在-1～1間來回跳躍，而x只變化了很小的一個△x的值，但此函式是連續的無疑，所以此函式在趨近於0處的導數值一直在變化且變化很快
10樓：會飛の水泥
李王全書的題？
我感覺他那個題是錯的，可導不是已經連續了嗎？，但是他給的分析是 f(x)在x=x0處不一定連續。。。我也搞不懂這個問題，要是你懂了教教我好嗎？
11樓：匿名使用者
你所說的情況的確滿足了洛必達法則的前兩個條件，但不滿足第三條：上下求導後的值是存在的數a或者無窮大，而你說的情況下求導後可能是cos(1/x)那麼這種情況就不能使用洛必達法則
12樓：匿名使用者
你可以這麼理解，x0的某鄰域內可導，說明除xo這一點外其他點均連續
13樓：風痕雲跡
洛必達條件之一是 lim（x趨於x0）f'(x）存在, 而題中 要證明 不但 lim（x趨於x0）f'(x）存在，而且 =a。
所以不滿足 洛必達法則的條件，不能用洛必達法則來證明。
結論不成立。反例：
f(x)= x^2 sing(1/x^2), x 不=0f(0)=0
函式在x0=0處， f'(0)=0, 但 lim（x趨於0）f'(x）不存在。
大一高數題 函式f（x）在x0的某一去心鄰域內無界是limx→x0 f(x)=無窮 的
14樓：我是一個麻瓜啊
必要但不充分條件
如果趨於無窮，在那領域無界是顯然的。現在找一個在0點某鄰域無界，但不為無窮的例子.考慮 f(x)= 1/x*sin(1/x),在x→0時，取 an= 1/(2nπ),得到f(an)=0,說明有子列收斂於0。
取 bn = 1/(2nπ+π/2),得到f(bn)= 2nπ+π/2，說明有子列趨向無窮，所以無界.，但兩個子例並不全趨無窮,x→0時,不是無窮大。
設f(x)在點x=o的某一鄰域內具有連續的二階導數,且lim(x->0)f(x)/x=0,證明:級數∑(n=1,∞)f(1/n)絕對收斂
15樓：匿名使用者
f(x)在點x=o的某一鄰域內具有連續的二階導數
lim(x->0)f(x)/x=0，則：
f(0)=f'(0)=0
則：lim(x->0)f(x)/x^2=lim(x->0)f'(x)/2x=0
等價於lim(n->∞)f(1/n)*n^2=0，因此
lim(n->∞)∑f(1/n)∞)∑1/n^2絕對收斂
或利用泰勒公式：f(x)＝f(0)＋f'(0)x＋f''(ξ)/2×x^2，ξ介於x與0之間.
f(x)在點x=0處具有連續的二階導數，所以f''(x)有界，即存在正數m，使得|f''(x)|≤m.
因為lim(x→0)f(x)/x＝0，所以f(0)＝lim(x→0)f(x)＝lim(x→0)f(x)/x×x＝0，f'(0)＝lim(x→0)f(x)/x＝0
所以，f(x)＝f''(ξ)/2×x^2，從而f(1/n)＝f''(ξn)/2×1/n^2，ξn介於0與1/n之間.
所以，|f(1/n)|≤m/2×1/n^2
因為∑(1/n^2)收斂，所以∑|f(1/n)|收斂，得∑f(1/n)絕對收斂.
16樓：
利用泰勒公式：f(x)＝f(0)＋f'(0)x＋f''(ξ)/2×x^2，ξ介於x與0之間.
f(x)在點x=0處具有連續的二階導數，所以f''(x)有界，即存在正數m，使得|f''(x)|≤m.
因為lim(x→0)f(x)/x＝0，所以f(0)＝lim(x→0)f(x)＝lim(x→0)f(x)/x×x＝0，f'(0)＝lim(x→0)f(x)/x＝0
所以，f(x)＝f''(ξ)/2×x^2，從而f(1/n)＝f''(ξn)/2×1/n^2，ξn介於0與1/n之間.
所以，|f(1/n)|≤m/2×1/n^2
因為∑(1/n^2)收斂，所以∑|f(1/n)|收斂，得∑f(1/n)絕對收斂.
設f x 具有連續的二階導數,且當x 0時,F x0,x x 2 t 2 ft dt與 x 3 3是等價無窮小,試求f
因為f x 與 x 3 3是等價無窮小，故limf x x 3 3 1 由於 f x 0,x x 2 t 2 f t dt x 2 0,x f t dt f x 0,x t 2f t dt f x 2x 0,x f t dt x 2f x x 2f x 2x 0,x f t dt f x 2 0,x...
設函式y f（x）具有二階導數，且f（x）0，f（x）0，x為自變數x在x0處的增量，y與dy分別為f
利用泰勒公式可得來 y f x x 源 f x f x x 12f x 其中 在x與x x之間 因為f x 0，所以 y f x x 又因為dy f x dx f x x，所以 y dy 因為f x 0，故當 x 0時，y f x x 1 2f x f x x 0 綜上，當 x 0時，0 y dy ...
設f x 在x 0的某一鄰域內具有二階連續導數，且lim x
lim x 0 f x x a，所以在x 0的某個小的鄰域 a,0 和 0,a 內，x 0,那麼f x 0。儘管f 0 0,但是在x 0的兩側，f x 是同號的，所以x 0不是拐點，所以c,d不對。由於f x 在 a,a 內滿足f x 0,所以 a,a 內f x 單調遞增，因為f 0 0,所以 a,...