1樓：銀色大龍
洛必達法則必須要導函式連續才能使用，請注意這一點，說正確的那個回答相當於用結論證明了結論，請不要誤人子弟
函式在某一點可導，則函式在這點肯定連續，但是在這點的鄰域連續嗎？？高手來回答，如果不是請舉反例
2樓：o客
不是。首先，函式在點
x0處可導，則函式在點x0處連續。進而存在一個x0的鄰域，函式在這個鄰域內連續。注意「存在」二字。
其次，可以認為鄰域是一個微觀的概念。鄰域的半徑是不確定的，一般認為很小很小（甚至可以認為比任意的具體的正實數都要小，但是一個正數），只是一個定性的描述。通俗地，可以想象，可以保證在一個半徑很小很小的鄰域連續，能保證在半徑稍大一點的鄰域連續嗎？
顯然不一定。
最後，舉反例。對於函式y=1/x,在x=1/200處是可導的，在鄰域（1/200-1/200,1/200+1/200)是連續的，但是在鄰域（1/200-1/100,1/200+1/100)是不連續的。前者半徑1/200,後者半徑1/100.
請問，函式在某點既可導又連續，那麼，該函式在該點的鄰域內是否可導？
3樓：匿名使用者
不是。例如：分段函式：
f(x)=x² x為有理數
= -x² x為無理數
函式僅在x=0處連續，且可導。其他點不連續，當然就不可導了。
4樓：姒玉枝希卿
這個問題我跟我得研友爭論了一上午，是因為洛必達法則的問題，如果只給出了x0處可導，則不可以用洛法則，應該用定義或者泰勒公式。但我的研友提出了一個問題，他認為只要某點可導，在某點鄰域內f(x)也可導，可以直接用洛法則…反正我希望各位能給個反例
已知函式在某點的某去心鄰域內可導，在該點某鄰域內連續，求證該函式的導函式在該點某鄰域內連續
5樓：
已知f(x)在
bai(a-t,a+t)連續, 在(a-t,a)∪(a,a+t)可導, 求證f'(x)在a的某du鄰域內連zhi續?
這個結論是不成立dao的, 在此條件下內, f'(x)甚至未必在容a有定義, 例如f(x) = |x|, a = 0.
即便將條件加強為f(x)在(a-t,a+t)可導, 仍然有反例: f(x) = x^2·sin(1/x) (x ≠ 0), f(0) = 0.
可以證明f(x)處處可導, f'(0) = 0, 但對x ≠ 0, f'(x) = 2x·sin(1/x)-cos(1/x).
可知0是f'(x)的第二類間斷點.
即便進一步將結論減弱為f'(x)在a的某去心鄰域內連續也是不成立的.
從上面的構造出發, 用函式項級數可以構造f(x) = ∑ f(x-1/n)/2^n,
其中f(x) = x^2·sin(1/x) (x ≠ 0), f(0) = 0.
f(x)同樣處處可導, 但f'(x)在1, 1/2, 1/3, 1/4,...處都不連續.
因此f'(x)不在0的任意去心鄰域內連續.
函式在某點可導可以推出鄰域內也可導嗎？
6樓：匿名使用者
（1）函式
在bai某點可du導，不可以推出它的鄰
zhi域內可導。否則將可以dao推出其在內某區間上甚至在容r上可導，這可是一個 "偉大的" 發現。計算 f'(a) 跟洛必達法則有啥關係？沒聽懂。
（2）函式f(x)在（a,b）內處處可導，但f'(x)未必在（a,b）內處處連續。例如函式
f(x) = (x^2)sin(1/x)，當x不為0時，
= 0， 當x=0時，
其導函式在r上處處存在:
f『(x) = 2xsin(1/x) - cos (1/x)，當x不為0時，
= 0， 當x=0時，
但其在0點不連續。
7樓：月下☆寒心
必須是不定式才能用洛必達法則，比如0/0或無窮/無窮
f '(x)可能是可去間斷點，因為如f '(x)在x。間斷，但是若f '(x)在x。處左右極限都存在且相等，則f '(x)存在，即f(x)在x。處可導
函式在某一去心鄰域內可導可以說函式連續嗎
8樓：小小芝麻大大夢
一元函式範圍內。可導必連續，連續不一定可導。已經說了去心鄰域，就說明版已經有了間斷點。有間斷點就是權不連續。
函式可導的充要條件：左導數和右導數都存在並且相等。
函式可導則函式連續；函式連續不一定可導；不連續的函式一定不可導。
擴充套件資料所有多項式函式都是連續的。各類初等函式，如指數函式、對數函式、平方根函式與三角函式在它們的定義域上也是連續的函式。
絕對值函式也是連續的。
定義在非零實數上的倒數函式f= 1/x是連續的。但是如果函式的定義域擴張到全體實數，那麼無論函式在零點取任何值，擴張後的函式都不是連續的。
非連續函式的一個例子是分段定義的函式。例如定義f為：f(x) = 1如果x> 0，f(x) = 0如果x≤ 0。
取ε = 1/2，不存在x=0的δ-鄰域使所有f(x)的值在f(0)的ε鄰域內。直覺上我們可以將這種不連續點看做函式值的突然跳躍。
另一個不連續函式的例子為符號函式。
9樓：西域牛仔王
不能。如 y = 1/x 在 x = 0 的去心鄰域內可導，但函式在 x = 0 處不連續 。
10樓：星奕聽雨
只能說明在去心鄰域內連續，但是在這一點連續與否不確定。
11樓：匿名使用者
一元函式範圍bai內。可
du導必連續，連續不一定可導zhi。
已經說了去心
dao鄰域，就說回明已經有了間斷點。有間答斷點就是不連續。
你可以說函式在去心領域內連續。就是你選的那個點左右非常小的2個範圍內連續。
西域牛仔王的答案，那個函式在0點根本就沒有定義。
也就不存在連續或者可導的問題。
已知f(x)在x=0的某個鄰域內連續,且limx->0f(x)/1-cosx=2,則在x=0處f(x)？
12樓：小小芝麻大大夢
limx->0f(x)/(1-cosx)=2。
∵x->0分母1-cosx→0。
極限=2，f(0)→0。
洛必達法則：
lim(x->0)f(x)/(1-cosx)=lim(x->0)f'(0)/sin0，分母依舊為0，極限存在，f'(0)=0。
繼續求導：=lim(x->0)f''(0)/cos0=2。
∴f''(0)=2>0。
∴f(0)=0為極小值。
13樓：人生如戲
前面直接用洛必達的不對，因為題目沒有提到且沒辦法推出f(x)在x=0的某鄰域內可導，只是在某鄰域內連續而已。本題主要通過函式連續的定義、導數定義、函式極限的保號性、極值定義求解。注意判定極值的時候，不能用極值的三個充分條件判定，因為他們的前提都是在x0的某鄰域內可導。
14樓：星丶
由於1-cosx在x=0的左鄰域與右鄰域內都有limx→0 1-cosx>0 由保號性與連續性可知鄰域內的點有limx→0 f(x)=f(x)>0=f(0) 即f(0)是極小值點
由極小值的定義如下：一般地，設函式f（x）在x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點，都有f（x）＞f（x0），就說f（x0）是函式f（x）的一個極小值，記作y極小值=f（x0），x0是極小值點。
看了他們的答案好像都用到了導數，實際這題考察的是極值的原始定義
15樓：低言淺唱情詩
證明：由(x→0)limg(x)/x=-1 （極限為-1,分母趨於0,則分子必趨於0）
可知(x→0)limg(x)=0 即g(0)=0於是(x→0)lim[g(x)-g(0)]/(x-0)=-1則g(x)在該鄰域內可導且g'(0)=-1(x→0)limf(x)/g²(x)=2
因為(x→0)limg²(x)=0
則(x→0)limf(x)=0
f(0)=0
對(x→0)limf(x)/g²(x)=2進行變形(x→0)limf(x)/g²(x)
=(x→0)lim[f(x)/x][x²/g(x)]=(x→0)lim[f(x)/x²]•(x→0)limx²/g(x) （變成兩個極限之積,並對右邊的極限用洛必達法則）
=(x→0)lim[f(x)/x²]•(x→0)limx/g(x)•(x→0)lim1/g'(x)
=(x→0)lim[f(x)/x²]•(-1)•(-1)=2因此f(x)=2x²+o(x)
於是可以得到(x→0)limf(x)/x=0即f'(0)=0
16樓：匿名使用者
前面所bai
有用洛必達的也真是不du
怕誤人子弟啊。
zhi。這題考的是定義啊，偏偏dao正版
確答案放在了最下面。
連續卻未告權知可導，洛洛洛，泰勒都要哭了誒。下面答案中有用定義做的建議提到推薦答案，答案中1-cosx用了泰勒近似1/2x^2+o（x^2）
17樓：緊抱著大神腿
首先 有f(0) = 0; 等價來無窮小 1-cosx ~1/2x2
lim x->0 (f(x)-f(0))/(x-0) = lim x->0 x * f(x)/x2 = 0 所以f'(0) = 0;
lim x->0 ((f(x)-f(0))/(x-0) -f'(0))/(x-0) = f''(x) = lim x->0 f(x) /x2 =1>0;
顯然自因為bai f'(0) = 0; f''(0)>0。所以在x=0處有極小值du！
純手打，有bug的地
zhi方請提出，水平有限有dao誤地方請見諒 謝謝！
函式在某點鄰域內可導 導函式在這點連續嗎
18樓：匿名使用者
函式只有連續了才可能可導
即連續不一定可導
而可導是連續的充分條件
也就是說可導原函式一定連續
但是不能確定導函式是否連續
連續函式在某一點的導數符號可否判斷此函式在此點鄰域內的函式的單調性? 5
19樓：匿名使用者
函式只要滿足，任意一個x都有唯一的相應的y與之對應，只需函式值大於零，與增減性何干。比如指數函式（x^n),f(x)都大與0，但不是在定義域都遞增
20樓：匿名使用者
樓主說的是導數值
bai大於零，又不是函式du值f(x)都大zhi與0，樓上的導數含義dao都沒注意吧。
x0的小鄰域有且內只有一種單容調性，摟主的命題是成立的。你看書上都是由導數值的符號判定單調性，
對吧？自己在琢磨琢磨。
你是說的連續函式啦！
複變函式中若fz在z0的某鄰域內可導,則函式fz在
這兩個問題都與 解析函式的定義有關 定義 如果函式f z 在z0以及z0的鄰域內處處可專導 那末稱屬f z 在z0解析 如果f z 在區域d內每一點解析,那末稱f z 在d內解析 由定義可知,函式在區域內解析與在區域內可導是等價的 但是,函式在一點解析和在一點可 高等數學中的函式如何學習 要學好高等...
設f x 在x x0的某鄰域可導，且f x A，則存在當x趨向於x0時limf x 等於A這個4號命題為什麼是錯的
唉,你要知道,導數 來f x 這個地方已經有自一個bai極限du符號了.現在要zhi求導函式的極限,也就是說會有兩dao個極限符號啊姐姐,你用洛必達只用了一次好嗎?函式可導,但導函式不一定連續的例子比比皆是,最經典的就是分段函式f x x sin 1 x x 0.f x 0,x 0.顯然這個函式在x...
如何證明分段函式在某點處的連續性和可導性
分段函式在分段點上的可導性的證明,需要用左右導數的定義去求其左右導數是否存在並且相等.比如你的例子裡 f x 在0處的左導數是1,右導數也是1,所以,函式在該點是可導的 分別比較函式的左右極限和左右導數的極限。如何證明函式在x 0處的可導性與連續性 首先求出x在0出的bai左極du限zhi與右極限 ...