1樓：匿名使用者
分析：①有理數的概念：
“有限小數”和“無限迴圈小數”統稱為有理數。
整數和分數也統稱為有理數。
所有的分數都是有理數，分子除以分母，最終一定是迴圈的。
②無理數的概念：無限不迴圈小數，可引申為“開方開不盡的數”。
③反證法的要領是假設一個明顯荒謬的結論成立，然後正確地證明原假設是錯誤的。
解：假設(√3)是有理數，
∵ 1＜3＜4
∴(√1)＜(√3)＜(√4)
即：1＜(√3)＜2
∴(√3)不是整數。
∵整數和分數也統稱為有理數，而(√3)不是整數
∴在假設“(√3)是有理數”的前提下，(√3)只能是一個分子分母不能約分的分數。
此時假設 (√3) = m/n(m、n均為正整數且互質，二者不能再約分，即二者除1外再無公因數)
兩邊平方，得：
m² / n² = 3
∴m² 是質數3的倍數
我們知道，如果兩個數的乘積是3的倍數，那麼這兩個數當中至少有一個數必是3的倍數。
∴由“m² (m與m的乘積) 是質數3的倍數”得：正整數m是3的倍數。
此時不妨設 m = 3k(k為正整數)
把“m = 3k” 代入“m² / n² = 3” ，得：
(9k²) / n² = 3
∴3k² = n²
即：n² / k² = 3
對比“m² / n² = 3“ 同理可證
正整數n也是3的倍數
∴正整數m和n均為3的倍數
這與“m、n均為正整數且互質”相矛盾。
意即由原假設出發推出了一個與原假設相矛盾的結論，
∴原假設“(√3) = m/n(m、n均為正整數且互質，二者不能再約分，即二者除1外再無公因數)”是不成立的。
∴(√3) 不能是一個分子分母不能約分的分數
而已證(√3) 不是整數
∴(√3) 既 不是整數也不是分數，即(√3) 不是有理數。
∴(√3) 是無理數。
2樓：**座小茶葉
用反證法。假設√3是有理數，則任何一個有理數都可以表示為既約分數m/n（即：m、n為整數，且互質）
因此√3=m/n，得3=m^2/n^2，即m^2=3*n^2，因此m^2含有3的因數，因此m含有3的因數
假設m=3p，則：（3p）^2=3*n^2，得n^2=3p^2,因此n^2含有3的因數，因此n含有3的因數
所以，m、n均含有3的因素，與m、n互為質數矛盾，因此√3是無理數這是一個通用的證法，可以證明√2、√5、√6等等是無理數。
如何證明根號3是無理數
3樓：匿名使用者
用反證法
假設根bai號du3是有理數，則必然能寫zhi成最簡分數daon/m,n與m為互質整數。
令 根號回3=x
x的平方
答=3=n的平方/m的平方
3為正整數，同時也是有理數，n的平方與m的平方互質（由n與m為互質整數得出）即不存在公約數，則m的平方必為1（不然無法等於一個整數3） 3=n的平方=x的平方
推出根號3=x=n, 由於n為整數，則根號3也為整數，顯然是不對的，所以
根號3為無理數
4樓：
^方法du
一：假設根號3=p/q(p、q為互質整zhi數），則p^2=3q^2
所以dao3整除內p^2,因3是質數，容所以3整除p,可設p=3t,則q^2=3t^2,所以3整除q
因此p和q有公約數3,與p和q互質矛盾，所以根號3是無理數
方法二：設x=根號3，則有方程x^2=3
假設x^2=3有有理數解x=p/q(p、q為互質整數），根據牛頓有理根定理p整除3，q整除1,所以p=1或3,q=1，從而x=1或3，顯然x=1或3不是方程x^2=3的根，矛盾。
方法三：設x=根號3=p/q,(p,q)=1,所以存在整數s,t使ps+qt=1
根號3=根號3*1=根號3(ps+qt)=(√3p)s+(√3q)t=3qs+pt為整數，矛盾
5樓：匿名使用者
^可設sqrt(3)=p/q;p,q互素且為正數。copy則p^bai2=3*q^2
所以可令
dup^2=3*k,k>=1且為正數。
則q^2=k；
但是zhiq,p互素，則q^2與p^2也互素，但由上所dao推可知，q^2與p^2有公因子k,矛盾，故sqrt(3)為無理數。
請證明：根號三是無理數
6樓：風之鷂
^^1、假設根號3=p/q(p、q為互質整數）,則p^2=3q^2
所以3整除p^2,因3是質數,所以3整除p,可設p=3t,則q^2=3t^2,所以3整除q
因此p和q有公約數3,與p和q互質矛盾,所以根號3是無理數
2、設x=根號3,則有方程x^2=3
假設x^2=3有有理數解x=p/q(p、q為互質整數）,根據牛頓有理根定理p整除3,q整除1,所以p=1或3,q=1,從而x=1或3,顯然x=1或3不是方程x^2=3的根,矛盾.
3、設x=根號3=p/q,(p,q)=1,所以存在整數s,t使ps+qt=1
根號3=根號3*1=根號3(ps+qt)=(√3p)s+(√3q)t=3qs+pt為整數,矛盾
拓展資料：
由無理數引發的數學危機一直延續到19世紀下半葉。2023年，德國數學家戴德金從連續性的要求出發，用有理數的“分割”來定義無理數，並把實數理論建立在嚴格的科學基礎上，從而結束了無理數被認為“無理”的時代，也結束了持續2000多年的數學史上的第一次大危機。
7樓：匿名使用者
^證明根號3是無理數，使用反證法
如果√3是有理數，必有√3=p/q（p、q為互質的正整數）兩邊平方：3=p^2/q^2
p^2=3q^2
顯然p為3的倍數，設p=3k（k為正整數）有9k^2=3q^2 即q^2=3k^2
於是q於是3的倍數，與p、q互質矛盾
∴假設不成立，√3是無理數
8樓：雄鷹
分析：①有理數的概念：
“有限小數”和“無限迴圈小數”統稱為有理數。
整數和分數也統稱為有理數。
所有的分數都是有理數，分子除以分母，最終一定是迴圈的。
②無理數的概念：無限不迴圈小數，可引申為“開方開不盡的數”。
③反證法的要領是假設一個明顯荒謬的結論成立，然後正確地證明原假設是錯誤的。
解：假設(√3)是有理數，
∵ 1＜3＜4
∴(√1)＜(√3)＜(√4)
即：1＜(√3)＜2
∴(√3)不是整數。
∵整數和分數也統稱為有理數，而(√3)不是整數
∴在假設“(√3)是有理數”的前提下，(√3)只能是一個分子分母不能約分的分數。
此時假設 (√3) = m/n(m、n均為正整數且互質，二者不能再約分，即二者除1外再無公因數)
兩邊平方，得：
m² / n² = 3
∴m² 是質數3的倍數
我們知道，如果兩個數的乘積是3的倍數，那麼這兩個數當中至少有一個數必是3的倍數。
∴由“m² (m與m的乘積) 是質數3的倍數”得：正整數m是3的倍數。
此時不妨設 m = 3k(k為正整數)
把“m = 3k” 代入“m² / n² = 3” ，得：
(9k²) / n² = 3
∴3k² = n²
即：n² / k² = 3
對比“m² / n² = 3“ 同理可證
正整數n也是3的倍數
∴正整數m和n均為3的倍數
這與“m、n均為正整數且互質”相矛盾。
意即由原假設出發推出了一個與原假設相矛盾的結論，
∴原假設“(√3) = m/n(m、n均為正整數且互質，二者不能再約分，即二者除1外再無公因數)”是不成立的。
∴(√3) 不能是一個分子分母不能約分的分數
而已證(√3) 不是整數
∴(√3) 既 不是整數也不是分數，即(√3) 不是有理數。
∴(√3) 是無理數。
9樓：遲沛山告琳
方法一：假設根號3=p/q(p、q為互質整數），則p^2=3q^2
所以3整除p^2,因3是質數，所以3整除p,可設p=3t,則q^2=3t^2,所以3整除q
因此p和q有公約數3,與p和q互質矛盾，所以根號3是無理數
方法二：設x=根號3，則有方程x^2=3
假設x^2=3有有理數解x=p/q(p、q為互質整數），根據牛頓有理根定理p整除3，q整除1,所以p=1或3,q=1，從而x=1或3，顯然x=1或3不是方程x^2=3的根，矛盾。
方法三：設x=根號3=p/q,(p,q)=1,所以存在整數s,t使ps+qt=1
根號3=根號3*1=根號3(ps+qt)=(√3p)s+(√3q)t=3qs+pt為整數，矛盾
10樓：樸卉吾嘉懿
^反證：假設根號3是有理數，則存在兩個互質整數m和n使得根號3=m/n.兩邊平方並整理得m^2=3n^2,
於是m是3的倍數，令m=3q,
代入上式整理得：n^2=3q^2,
故n也是3的倍數，這與m,n互質矛盾。故根號3是無理數。證畢。
如何證明根號3是無理數？？？？？？？
11樓：淺唱湘雪
剛做過這種題目……我想想哈。
無理數是不能夠被寫成兩個整數比的
設根號3=a/b（a和b是互版質的整數，公約數權只有1）
則3=a²/b²
∴a²=3b²
可以得出a是3的倍數 ，設a=3n
∴（3n）²=3b²
這就跟a/b中a和b是互質的兩個整數相悖逆，因為a和b有公約數3，也就是用反證法的方式證明根號3是無理數
全部手打tat
12樓：匿名使用者
^方法一來：假設根號3=p/q(p、q為互質整數），源則p^2=3q^bai2
所以du3整除
zhip^2,因3是質dao
數，所以3整除p,可設p=3t,則q^2=3t^2,所以3整除q因此p和q有公約數3,與p和q互質矛盾，所以根號3是無理數方法二：設x=根號3，則有方程x^2=3
假設x^2=3有有理數解x=p/q(p、q為互質整數），根據牛頓有理根定理p整除3，q整除1,所以p=1或3,q=1，從而x=1或3，顯然x=1或3不是方程x^2=3的根，矛盾。
方法三：設x=根號3=p/q,(p,q)=1,所以存在整數s,t使ps+qt=1
根號3=根號3*1=根號3(ps+qt)=(√3p)s+(√3q)t=3qs+pt為整數，矛盾
13樓：晁溫嶽雁
證明:若
3是有理bai數，則3=p/q;(p,q是du互素的整數zhi,即p,q的最大
dao約數是1)
則有3q=p;
則可令p=3k;(k大於專0的整數)
可得q=k;
但是k,3k的最大公約數為
屬k即p,q的最大公約數為k;
這與最大公數約為1矛盾。
故3不是有理數，即是無理數。
如何證明根號2根號3是無理數需要嚴謹證明
益智數學題 請證明 3 2一定為無理數。設m 根號2 根號3 為有理數 則m 2亦為有理數,而m 2 5 2根號6 為無理數,矛盾 所以m為有理數 反證法 若根bai號2加根號3是分數 即du整數與整數的比 zhi或說是有dao 理數回吧 則平方以答後也應是有理數 即5 2根號6也是有理數 即根號6...
怎麼證明根號5是無理數
假設存在這樣一個有理數p,p 2 2.再設p a b,a b是兩正整數,且既約,就是沒有除1外的共因子,使得 a b 2 2 變形以後得a 2 2 b 2,推出a 2是個偶數,同時為了滿足a 2是個平方數,那b 2必須包含一個因子2,所以a 2 b 2不是既約的,那a b也不是既約的啦 與前提矛盾,...
證明根號7是無理數,如何證明跟好5根號7都是無理數
假設 7是有理數，那麼它可以表示成p q的形式，其中p q為互質的正整數。將 7 p q左右同時 回平方並變換 p 2 7 答q 2 因為等式右邊包含7的因數，所以p必定為7的倍數。令p 7m，其中m為正整數 49 m 2 7 q 2 7 m 2 q 2 因為等式左邊包含7的因數，所以q必定為7的倍...