1樓：手機使用者
歐幾里得《幾何原本》中提出了一種證明無理數的經典方法：
證明： √2是無理數。
假設√2不是無理數。
∴√2是有理數。
令 √2=p/q (p、q互質)
兩邊平方得：
2=(p/q)^2
即：2=p^2/q^2
通過移項，得到：
2*q^2=p^2
∴p^2必為偶數。
∴p必為偶數。
令p=2m則p^2=4m²
∴2q^2=4m^2
化簡得：q^2=2m^2
∴q^2必為偶數。
∴q必為偶數。
綜上，q和p都是偶數。
∴q、p互質，且q、p為偶數。
矛盾 原假設不成立。
∴√2為無理數 證明是無理數（整數n>=2）a,b互素。
假設則存在。
則a為偶數，設a=2t, t為自然數 代人上式有。
則b同樣是偶數，與條件（a，b）為互素的最小整數是相互矛盾的。
那麼假設是不成立的。
則成立，那麼必為無理數。 條件（整數n>2）a,b互素，p,q互素，則有。
成立。以下是證明：
假設則：(p^n+q^n)b^n=a^n q^n
（1） p^nb^n=q^n(a^n -b^n)
由於p,q互素那麼q必為b的因子。
設b=qt代人（1）式。
p^n +q^n=(a/t)^n
如果t>=2,則，t必為a的因子，與a b互素相矛盾，所以t必須等於1
則：（2）p^n +q^n=a^n
如果（2）依然成立則有。
要使得a-q為整數，至少a-q的小數部分為有理數，而a-q的式是無限級數，那麼只有一個條件下a-q才可能是有理數，就是級數的係數的絕對值相等，由此只有n趨近無窮大時才會出現此種情況如下：
使a-q是-（p/q）^n的等比數列之和，要求是係數的絕對值相等，上式就是極限狀態也不存在係數的絕對值相等。
所以在有限整數n>2 的條件下a-q不可能是有限的或無限迴圈的，那麼它只能是無理數，所以a也只能是無理數，據此與條件假設a為整數相矛盾，故此假設不成立。
整數n>2時，對於互素的p,q，（q>p）沒有整數a使得（3）等式成立。
（3）那麼必然使得下式（4）成立。
（4）拓展2證明完畢。
無理數的證明
2樓：鄭金生速娟
如果你對反證法很熟悉的話，就沒什麼問題了。
用反證法證明。
假設根號n是有理數，又因為不是完全平方數。
則其必為分數，根號n=p/q,其中p,q互質且q>=1
則n=p^2/q^2,nq^2=p^2,即q^2是p^2的因數，但因為p,q互質，無非1公因子，因此q^2與p^2也無非1公因子所以，必有q^2=1,q=1,n=p^2,這與n不是完全平方數矛盾。
假設不成立，n不是有理數。
證明一個數是無理數的方法,舉例
3樓：暴走愛生活
例子：證明根號2是無理數：
證明：若根號2是有理數，則設它等於m/n（m、n為不為零的整數，m、n互質）
所以 （m/n）^2=根號2 ^2 =2
所以 m^2/n^2=2
所以 m^2=2*n^2
所以 m^2是偶數，設m=2k（k是整數）所以 m^2=4k^2=2n^2
所以 n^2=2k^2
所以 n是偶數。
因為 m、n互質。
所以矛盾，即根號2不是有理數，它是無理數。
4樓：申其童迎
一般採用反正，假設它是有理數，然後把它表示成m/n的形式。
這裡m和n是互質的。然後利用假設推匯出m和n有不是1的公約數。從而得證。
5樓：候文康封冷
證明一個無理數一般從不能用有理數的表達方式入手。
比如用整數、小數、分數來表示該數時出現矛盾，就是無理數。
如何證明π是無理數？
6樓：demon陌
把tan(m/n)寫成一個繁分。
數的形式，如果m/n是有理數，這個繁分數的項數就是無窮的，但是根據繁分數的性質，項數是無窮的繁分數表示的的是一個無理數。
由於這個命題是真(繁分數的性質)，這句話的逆反命題，也就是對於項數有限的繁分數，m/n是無理數也是真。tan(pi/4)=1，1是有限項的繁分數，所以pi/4是無理數。
把圓周率的數值算得這麼精確，實際意義並不大。如果以39位精度的圓周率值，來計算可觀測宇宙的大小，誤差還不到一個原子的體積。
怎麼證明一個數是無理數？
7樓：暴走少女
例子：證明根號2是無理數：
證明：若根號2是有理數，則設它等於m/n（m、n為不為零的整數，m、n互質）
所以 （m/n）^2=根號2 ^2 =2
所以 m^2/n^2=2
所以 m^2=2*n^2
所以 m^2是偶數，設m=2k（k是整數）所以 m^2=4k^2=2n^2
所以 n^2=2k^2
所以 n是偶數。
因為 m、n互質。
所以矛盾，即根號2不是有理數，它是無理數。
8樓：翠北古以彤
無限不迴圈的數為無理數。所以只要證明它無限不迴圈就可以了。
有理數能表示成分數，無理數卻不能，不過證明的話因該是不可能的。
因為無理數是無限不迴圈小數，要算無限次的話是做不到的。
所以，一般來說位數太多而沒有規律可循的，就會被當作是無理數。
9樓：匿名使用者
像無理代數數，e,π，zeta(3)這些可以用反證法證明，像e^π，有理數弧度的三角函式值，非0或1的代數數的無理代數數次方等只能通過證明是超越數來間接證明是無理數，而像zeta(5),尤拉常數和π+e,e^e,π^這種π和e的簡單組合現在還不能證明是無理數，實際上現在很難證明不是類似ln2和ln3這種形式的兩個超越數的各種簡單組合是無理數，所以應該不存在可以證明任何一個無理數是無理數的方法。
無理數的證明怎麼來的
10樓：竇雁釗楓
如果你對反證法很熟悉的話，就沒什麼問題了。
用反證法證明。
假設根號n是有理數，又因為不是完全平方數。
則其必為分數，根號n=p/q,其中p,q互質且q>=1
則n=p^2/q^2,nq^2=p^2,即q^2是p^2的因數，但因為p,q互質，無非1公因子，因此q^2與p^2也無非1公因子所以，必有q^2=1,q=1,n=p^2,這與n不是完全平方數矛盾。
假設不成立，n不是有理數。
如何證明無理數的存在
11樓：匿名使用者
在初等數學中，最初接觸到的無理數是√2，通過反證法，證明了它不可能是一個既約分數，所以，是一個無理數。類似的，可以證明根式中的大部分是無理數。
12樓：網友
有一種證明√2是無理數的方法：
假如√2=p/q，其中p和q是互質數，那麼p^2=2q^2這證明p^2是偶數，從而p是偶數（注意這一步！因為要保證p是整數，所以做這樣的論斷，實際上是沒有這樣的整數p的）
設p=2r，那麼q^2=2r^2，從而q^2是偶數，q是偶數，那麼p和q不互質，矛盾。
無理數是怎樣被證明的？
13樓：匿名使用者
假設∏是有理數，則∏=a/b，（a,b為自然數）
令f(x)=(x^n)[(a-bx)^n]/(n!)
若0分大時，,在[0，∏]區間上的積分有。
0<∫f(x)sinxdx <[n+1)](a^n)/(n!)<1 ……1）
又令：f(x)=f(x)-f"(x)+[f(x)]^4)-…1)^n][f(x)]^2n),(表示偶數階導數)
由於n!f(x)是x的整係數多項式，且各項的次數都不小於n，故f(x)及其各階導數在x=0點處的值也都是整數，因此，f(x)和f(∏)也都是整數。
又因為d[f'(x)sinx-f(x)conx]/dx
=f"(x)sinx+f'(x)cosx-f'(x)cosx+f(x)sinx
=f"(x)sinx+f(x)sinx
=f(x)sinx
所以有：∫f(x)sinxdx=[f'(x)sinx-f(x)cosx]，（此處上限為∏，下限為0）
=f(∏)f(0)
上式表示∫f(x)sinxdx在[0，∏]區間上的積分為整數，這與（1）式矛盾。所以∏不是有理數，又它是實數，故∏是無理數。
14樓：匿名使用者
是證明類似根號2這樣的數是無限不迴圈小數。
如何證明一個數是無理數.請給出儘量多的方法.謝謝.
15樓：網友
這裡，你首先要知道想直接證明無理數是不可能的！
這裡，你只能證明這個數在實數範圍內，而且不時有理數！
想證明不是有理數，就像是a/b,試圖表達，如果不成立，則一個數是無理數謝謝~
16樓：匿名使用者
反證法，先設這個數可以表示成a/b的形式，然後說明其不成立即可。
17樓：海豚戀人
無理數就是無限不迴圈小數。
怎麼證明根號5是無理數
假設存在這樣一個有理數p,p 2 2.再設p a b,a b是兩正整數,且既約,就是沒有除1外的共因子,使得 a b 2 2 變形以後得a 2 2 b 2,推出a 2是個偶數,同時為了滿足a 2是個平方數,那b 2必須包含一個因子2,所以a 2 b 2不是既約的,那a b也不是既約的啦 與前提矛盾,...
全部無理數有哪些數，無理數有哪幾個。
實數分類 無理數是無限不迴圈小數。如圓周率 636f707962616964757a686964616f313333303536312 根號2 等。有理數是由所有分數，整陣列成，它們都可以化成有限小數，或無限迴圈小數。如22 7等。實數 real number 分為有理數和無理數 irrationa...
什麼是無理數，什麼是無理數及其定義是什麼
無理數 就是無限不迴圈小數。例如 圓周率 3.141592653589793238 數學上的定義他們都說了，我就不再提了，我只說說我的理解，無理數，就是毫無規則的數字，比如 這就是一個無限不迴圈小數，毫無規律，但他就是一個數。再比如 0.1001000100001000001.這也是無理數。就是不能...