1樓：匿名使用者
1.由題意可知：向量oc=t向量om+(1-t)向量onc點的方程為x-y-4=0
與y^2=4x的交點相交可得x1x2=16 y1y2=-16所以向量oa⊥向量ob
2.設直線方程為y=k(x-m) ①
與拋物線方程聯立得：
k^2x^2-(2mk^2+4)+m^2k^2=0 ②由弦de為直徑的圓都過原點可知oe⊥od
所以x1x2+y1y2=0 ③
由①②③得：
m=4 x=(x1+x2)/2=(4k^2+2)/k^2 y=(y1+y2)/2=-1/k
圓心方程為x=4+2y^2
2樓：匿名使用者
解：（ⅰ）解：由＝t＋(1－t) (t∈r)
知點c的軌跡是m、n兩點所在的直線，
故點c的軌跡方程是：即y＝x－4．
由得x2－12x＋16＝0．
∴x1x2＝16, x1＋x2＝12
∴y1 y2＝(x1－4) (x2－4)＝x1x2－4(x1＋x2)＋16＝－16
∴x1x2＋y1 y2＝0 故 ⊥.
（ⅱ）解：由題意知：弦所在的直線的斜率不為零.故設弦所在的直線方程為：x＝ky＋m，
代入 y2＝4x 得 y2－4ky－4m＝0， ∴y1＋y2＝4k，y1y2 ＝－4m．
若以弦de為直徑的圓都過原點，則od⊥oe ，∴．
即，解得（不合題意，捨去）或．
∴存在點p(4，0)，使得過p點任作拋物線的一條弦，以該弦為直徑的圓都過原點．
設弦ab的中點為m(x，y) 則x＝(x1＋x2) ， y＝( y1＋y2) ，
x1＋x2＝ky1＋4＋ky2＋4＝k(y1＋y2)＋8＝4k2＋8，
∴弦ab的中點m的軌跡方程為：
消去k得: y2＝2x－8．
∴圓心的軌跡方程為y2＝2x－8．
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