1樓：匿名使用者
令g(x)=f(x)-x，則g(0)=0，g(1/2)=-1/2，g(1)=0，根據介值定理，存在a∈(0,1/2)，使得g(a)=-1/4，存在b∈(1/2,1)，使得g(b)=-1/4。再根據羅爾中值定理，存在ξ∈(a,b)，使得g'(ξ)=0，也就是f'(ξ)=1。
2樓：
注意（η²+η）'=2η+1，與（2）結果形式一致。
（1）根據連續性。
f(η)=η²+η，可以看成兩個函式y=f(x),與y=g(x)=x²+x的交點。定義函式h(x)=f(x)-g(x),h在[0,1]連續，可導。
h(0)=f(0)-g(0)=0,h(1/2)=f(1/2)-g(1/2)=1-(1/4+1/2)=1/4,h(1)=f(1)-g(1)=0-2=-2
根據連續性，在{1/2,1)內，函式h必然過0點，設其0點的x座標為η
h(η)=f(η)-g(η)=0,f(η)=g(η)=η²+η
(2)用中值定理
在[0,η],h(0)=0,h(η)=0,必然有ξ∈(0,η),使得h'(ξ)=0
h'(x)=f'(x)-g'(x)=f'(x)-(2x+1)
h'(ξ)=f'(ξ)-(2ξ+1)=0,
f'(ξ)=2ξ+1
設函式f(x)在[0,1]上連續,在(0,1)內可導,且f(0)=f(1)=0,證明:至少存在一點,使得f'
3樓：字染碧亥
構造輔助函式
f(x)=f(x)e^(2x)，它在[0，1]上連續，在(0，1)內可導
且f(1)=f(0)=0
那麼，根據羅爾中值定理，存在一點§，使得f'(§)=0即f'(§)+2f(§)=0
希望對樓主有幫助~~
設函式f(x)在[0,1]上連續,在(0,1)內可導,有f(1)=0.證明:至少存在一點ε∈(0,1),使f'(x)=-f(ε)/ε。
4樓：你愛我媽呀
證明過程如下：
設g(x)=xf(x)，
則g'(x)=xf'(x)+f(x) , g(1)=1f(1)=0 , g(0)=0*f(0)=0。
所以g(x)在[0，1]上連續，在(0，1)內可導且g(0)=g(1)，由羅爾中值定理得：
存在一點ε∈(0，1)，使g'(ε)=εf'(ε)+f(ε) =(g(1)-g(0))/(1-0)=0.
所以f'(ε)=-f(ε)/ε。
5樓：匿名使用者
證明：設g(x)=xf(x),
則g'(x)=xf'(x)+f(x) , g(1)=1f(1)=0 , g(0)=0*f(0)=0
所以g(x)在[0,1]上連續,在(0,1)內可導且g(0)=g(1),由羅爾中值定理得：
存在一點ε∈(0,1),使g'(ε)=εf'(ε)+f(ε) =(g(1)-g(0))/(1-0)=0
所以f'(ε)=-f(ε)/ε
設f x在0 1上連續在0 1內可導,證明 必存在一點0,1 ,使得F 1 2 f
由條件f 0 f 1 0,根據羅爾定理，存在 0,1 滿足f 0。令f x 1 x f x 則f f 1 0 再次運用它羅爾定專理 存在 屬 1 使f 0，即 1 f 2 1 f 0 由於 1，所以1 不等於0，所以 1 f 2f 0，即f 2f 1 證畢 設f x 在 0,1 上連續,在 0,1 ...
設函式fx在上連續,在a,b上可導,且f
limx趨於baia正du f 3x 2a x a存在 f a limx趨於zhia正 f dao3x 2a limx趨於a正 f 3x 2a x a limx趨於a正 x a 0f x 0 f x 是遞版增函式權。a,b 內 f x f a 0 設函式f x 在 a,b 上連續,在 a,b 上可導...
設fx在連續證明01fx
解 設 0,1 f x dx m，那麼 f x m 2 0，因此 0,1 f x m 2dx 0，又 f x m 2 f x 2 2m f x m 2，那麼 0,1 f x m 2dx 0,1 f x 2dx 0,1 2m f x dx 0,1 m 2dx 0,1 f x 2dx 2m 0,1 f ...