1樓：匿名使用者
f(x) =1/(1-x)^2 => f(0) = 1
f'(x) =2/(1-x)^3 => f'(0)/1! = 2
f''(x) =6/(1-x)^4 => f''(0)/2! = 3
...f^(n)(x) =(n+1)!/(1-x)^4 => f^(n)(0)/n! = (n+1)
1/(1-x)^2
=f(x)
=f(0) +[f'(0)/1! ]x + [f''(0)/2! ]x^2+...+[f^(n)(0)/n! ]x^n +...
=1+2x+3x^2+...+(n+1)x^n +....
2樓：匿名使用者
你好！可以利用等比級數的求和公式如圖寫出式。經濟數學團隊幫你解答，請及時採納。謝謝！
、將x^4/(1-x^2)成x的冪級數
3樓：
^x^4/(1-x)
=x^4(1+x+x²+...)
=x^4+x^5+x^6+...
=σx^(n+4)n
=0→∞
冪級數是函式項級數中最基本的一類，它的特點是在其收斂區間絕對收斂，且冪級數在收斂區間內可逐項微分和積分，由此第一次得到了一種函式的無限形式的表示式（即冪級數式）。
擴充套件資料
函式成冪級數的一般方法是：
1、直接
對函式求各階導數，然後求各階導數在指定點的值，從而求得冪級數的各個係數。
2、通過變數代換來利用已知的函式式
例如sin2x的式就可以通過將sinx的式裡的x全部換成2x而得到。
3、通過變形來利用已知的函式式
例如要將1/(1+x)成x−1的冪級數，就可以將函式寫成x−1的函式，然後利用1/(1+x)的冪級數式。
4、通過逐項求導、逐項積分已知的函式式
例如coshx=(sinhx)′，它的冪級數式就可以通過將sinhx的式逐項求導得到。需要注意的是，逐項積分法來求冪級數式，會有一個常數出現。而確定這個常數的方法就是通過在點對函式與式取值，令兩邊相等，就得到了常數的值。
圖中1/(1-x)^2怎麼為冪級數的？
4樓：
f(x)=x/(1+^2) f(x)/x=1/(1+x^2)
同取積分：
∫(0,x) f(t)/t dt =∫(0,x) 1/(1+t^2) dt =arctanx =∑(n=0,∞) (-1)^n * 1/(2n+1) * x^(2n+1)
然後，同對x求導
f(x)/x=[∑(n=0,∞) (-1)^n * 1/(2n+1) * x^(2n+1)]' =∑(n=0,∞) [(-1)^n * 1/(2n+1) * x^(2n+1)]' =∑(n=0,∞) (-1)^n * x^(2n)
因此， f(x)=∑(n=0,∞) (-1)^n * x^(2n+1)，x∈(-1,1)
x/(1+x^2)=x/(1-(-x^2)) =lim(n→∞) x(1-0)/(1-(-x^2)) =lim(n→∞) x(1-(-x^2)^n)/(1-(-x^2))
這正是首項為x，公比為-x^2的等比級數的收斂函。
因此，直接可推：f(x)=x-x^3+x^5-……=∑(n=0,∞) (-1)^n * x^(2n+1)，x∈(-1,1)
擴充套件資料：
冪級數，是數學分析當中重要概念之一，是指在級數的每一項均為與級數項序號n相對應的以常數倍的（x-a）的n次方（n是從0開始計數的整數，a為常數）。
冪級數是數學分析中的重要概念，被作為基礎內容應用到了實變函式、複變函式等眾多領域當中。
5樓：
1/(1-x)²=【1/（1-x）】』
=（∞∑n²·xⁿ）'
=∞∑n1·nx^n-1
其他類似題型參考
1、求x/(1-x^2)為x的冪級數
f(x)=x/(1-x^2)
=x/(1-x)(1+x)
=(1/2)*[1/(1-x) - 1/(1+x)]
因為1/(1-x)=∑(n=0,∞) x^n，x∈(-1,1)
1/(1+x)=∑(n=0,∞) (-x)^n，x∈(-1,1)
所以f(x)=(1/2)*∑(n=0,∞) [1-(-1)^n] x^n，x∈(-1,1)
寫得再清楚一點，就是：
f(x)=x+x^3+x^5+……=∑(n=0,∞) x^(2n+1)，x∈(-1,1)
其實，如果細心一點觀察，就可以發現：
x/(1-x^2)=lim(n→∞) x(1-0)/(1-x^2)
=lim(n→∞) x(1-(x^2)^n)/(1-x^2)
這正是首項為x，公比為x^2的等比級數的收斂函式~~~
因此，直接可推：f(x)=x+x^3+x^5+……=∑(n=0,∞) x^(2n+1)，x∈(-1,1)
2、求x/(1+x^2)為x的冪級數
f(x)=x/(1+^2)
f(x)/x=1/(1+x^2)
同取積分：
∫(0,x) f(t)/t dt =∫(0,x) 1/(1+t^2) dt
=arctanx
=∑(n=0,∞) (-1)^n * 1/(2n+1) * x^(2n+1)
然後，同對x求導
f(x)/x=[∑(n=0,∞) (-1)^n * 1/(2n+1) * x^(2n+1)]'
=∑(n=0,∞) [(-1)^n * 1/(2n+1) * x^(2n+1)]'
=∑(n=0,∞) (-1)^n * x^(2n)
因此，f(x)=∑(n=0,∞) (-1)^n * x^(2n+1)，x∈(-1,1)
6樓：茹翊神諭者
利用1/1-x的冪級數
詳情如圖所示
有任何疑惑，歡迎追問
1x2的原函式,11x2的原函式
arctan x c 原因如下 三角變換 令x tan t,t 2,2 t arctan x dx dt cos 版2 t 1 x 2 1 1 tan 2 t 1 cos 2 t所以 權dx x 2 1 dt cos 2 t cos 2t dt t c arctan x c 1 2 x 2 的原函式...
把函式f x 1 x 2 5x 6 展開成x的冪級數
f x 1 x 3 1 x 2 這樣就好展了。f x 1 x 3 1 x 2 將函式f x 1 x 2 5x 6 成x 1的冪級數 將函式f x 1 x 2 5x 6成x 1的冪級數 明顯的，後一張 的答案列印錯了，x 2 應為 x 1 x 的取值範圍是兩個級數收斂域的交集。將函式f x 1 x 成...
將（x）1 x展開成x 3的冪級數，並求收斂域
解 f x 1 x 1 3 x 3 1 3 1 1 x 3 3 1 3 1 x 3 3 x 3 2 9 x 3 3 27 1 n x 3 n 3 n 1 3 x 3 3 2 x 3 2 3 3 x 3 3 3 4 1 n x 3 n 3 n 1 收斂區間 1 x 3 3 1，即0函式收斂 定義方式與...